|
Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>>Математика: Функция у = logaх, ее свойства и график
ФУНКЦИЯ у=logах, ЕЕ СВОЙСТВА И ГРАФИК
В § 48 мы ввели понятие логарифма положительного числа по положительному и отличному от 1 основанию а. Для любого положительного числа можно найти логарифм по заданному основанию. Но тогда следует подумать и о функции вида  , о ее графике и свойствах. Этим и займемся в настоящем параграфе.
Рассмотрим одновременно две функции: показательную у=ах и логарифмическую у =logaх. Пусть точка (Ь; с) принадлежит графику функции у=ах; это значит, что справедливо равенство с=аb. Перепишем это равенство «на языке логарифмов»: Ь = logа с. Последнее равенство означает, что точка (с; Ь) принадлежит графику функции у=logaх.
Итак, если точка (Ъ; с) принадлежит графику функции у=ах, то точка (с;Ь) принадлежит графику функции у =logaх.
В § 40 мы доказали теорему о том, что точки координатной плоскости хОу с координатами (Ь; с) и (с; Ь) симметричны относительно прямой у = х (рис. 215). Таким образом, справедливо следующее утверждение:
График функции у = logа х симметричен графику функции у =ах относительно прямой у -х.
На рис. 216 схематически изображены графики функций у=ах и у=logах случае, когда а >1; на рис. 217 схематически изображены графики функций у—ах и у=logаx в случае, когда 0 <а <1.
График функции у=logaх называют логарифмической кривой, хотя на самом деле нового названия можно было не придумывать. Ведь это та же экспонента, что служит графиком показательной функции, только по-другому расположенная в координатной плоскости.
Если значение основания а указано, то график логарифмической функции можно построить по точкам. Пусть, например, нужно построить график функции у- 1о|»2 х. Составляя таблицу контрольных точек, будем руководствоваться соотношением 1о§2 2Г -г (см. § 48). Поэтому в таблицу в качестве значений аргумента х мы включим числа, являющиеся степенями числа 2.
Имеем:
1°е2 -
(1 Л
ч2,
=1оё22'2 =-2,
=1ое„2-1 =-1,
\оё21 =1ое2 2° =0, 1ое22=1ое221 =1, 1оё24=1оё222 =2, 1ое28=1ое223 =3. Сведем полученные результаты в таблицу:
X 1 1 1 2 4 8
4 2
у=\ое2х -2 -1 0 1 2 3
Построив на координатной плоскости точки
/1 VI 4 -;-2 , -;-1 2
(1; 0), (2; 1), (4; 2), (8; 3), проводим через них логарифмическую кривую (рис. 218).
Свойства функции у — 1о§а х, а > 1
Необходимую информацию извлекаем из геометрической модели, представленной на рис. 216.
1)Я(/)=(0,+оо);
2) не является ни четной, ни нечетной',
3) возрастает на (0, -н»);
4) не ограничена сверху, не ограничена снизу;
5) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
6) непрерывна; Рис. 218
1 1 1 1
1 1 1
у-юд 2х
- 2 - 1 |
0
- -1 --2 1 < 4 С ' X
1
1
265
7)Д/)=(-оо,+оо);
8) выпукла вверх.
Сравните график функции у = 1оёах, изображенный на рис. 216, и график функции у = яг(0 < г < 1), изображенный на рис. 187 (в § 44). Не правда ли, они похожи (при х > о)? На самом деле между ними есть принципиальная разница: график функции у = х' «набирает обороты» быстрее. Иными словами, для достаточно больших значений х ордината графика степенной функции у = хг (при 0 < г < 1 и уж тем более при г 1) значительно больше соответствующей ординаты графика логарифмической функции с любым основанием, большим, чем 1. В курсе математического анализа доказано, что при о >1 и г> 0 выполняется равенство
д-г
Свойства функции у = 1о§а х, О < а < 1
Необходимую информацию извлекаем из геометрической модели, представленной на рис. 217.
1)ЩГ)=(0,+оо);
2) не является ни четной, ни нечетной;
3) убывает на (0,
4) не ограничена сверху, не ограничена снизу;
5) нет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
6) непрерывна;
7)Д/)=(-оо,+оо);
8) выпукла вниз.
Отметим, что ось у является вертикальной асимптотой графика логарифмической функции и в случае, когда о > 1, и в случае, когда О <а <1.
Прежде чем переходить к решению примеров, заметим, что логарифмическая функция, как и показательная, существенно отличается от всех функций, которые вы изучали в курсе алгебры 7—9-го классов. Поэтому есть смысл повторить сказанное в § 45: чтобы основательно изучить новый объект, надо рассмотреть его с разных сторон, в разных ситуациях, поэтому примеров будет много.
Пример 1. Найти наименьшее и наибольшее значения функций на заданном промежутке:
а)г/ = 18х, *е[1,1000]; б)у = \ое1_х, хе[±27].
3 9
Решение, а) Функция у = \%х — непрерывная и возрастающая, поскольку основание этой логарифмической функции больше 1 (вы, конечно,
266
помните, что = 1о8ю Следовательно, своих наименьшего и наибольшего значений функция достигает на концах заданного отрезка [1,1000]. Имеем: Утт = 1§1=0;
Ути6 = 18Ю00=1о&10103=3.
б) Функция у = 1об1 х — непрерывная и убывающая, поскольку основа-
» 1 ние этой логарифмической функции, т.е. число—, меньше 1. Следователь-
3
но, своих наибольшего и наименьшего значений функция достигает на
1
концах заданного отрезка
9'27
Имеем: Уккиб = 1ое, - = 10^1 з у
^.='8x27 = 1^^ =-3. <1
Пример 2. Решить уравнение и неравенства:
а)1ое6*=0; б) 1о&5 х>0; в)1о&6 х<0. Решение. График функции у=1о§6 х схематически изображен на рис. 216. Заданные уравнение и неравенства нетрудно решить, используя эту геометрическую модель.
а) Уравнение 1о§5 х=0имеет один корень * = 1, поскольку график функции у = 1о&6 х пересекает ось х в единственной точке (1; 0).
б) График функции у = 1о§6 х расположен выше оси х при * > 1. Значит, решение неравенства 1о&6 х > 0 имеет вид х >1. .
в) График функции у = 1ое6 х расположен ниже оси х при 0 < х < 1. Значит, решение неравенства 1ое5 * < 0 имеет вид 0 < х < 1.
Ответ: а)х = 1; б)х>1; в)0<*<1.
Пример 3. Решить уравнение и неравенства: * а) 1о§2 х = 0; б) \о%2 х > 0; в) 1о&2 х<0.
5 5 5
Решение. График функции у- 1о&2х схематически изображен на
5
рис. 217. Заданные уравнение и неравенства нетрудно решить, используя эту геометрическую модель.
а) Уравнение \о§2 х=0имеет один корень х~1, поскольку график фун-
5
кции у = 1о^2 х пересекает ось х в единственной точке (1; 0).
5
б) График функции у - 1о§2 х расположен выше оси у при0<х<1. Зна-
5
чит, решение неравенства 1о%2 х>0имеет вид 0<х<1.
5
267
в) График функции у = \о%2 х расположен ниже оси х при х > 1. Значит,
5
решение неравенства 1о%2 х<0 имеет вид х > 1.
5
Ответ: а) * = 1; б)0сс<1; в)я>1.
Пример 4. Построить графики функций: а)у = 1ое2(х + 2)-3; б) у = 1ое2(-х);
в)у = -31о82|.
Решение. В этом примере нужно выполнить различные преобразования графика функции у = 1о&2 х (см. рис. 218).
а) Перейдем к вспомогательной системе координат с началом в точке (-2; -3) (пунктирные прямые * = -2 и у = -3 на рис. 219). «Привяжем» график функции у = 1об2 х к новой системе координат — это и будет требуемый график (рис. 219).
б) Напомним, что график функции у = /(-*) симметричен графику функции у = /(*)относительно оси у. Учтя это, строим график функции у = 1о&г х, а затем, подвергнув его преобразованию симметрии относительно оси у, получаем график функции у = 1ое2(-х)(рис. 220).
в) Построение графика функции
у = -31ое2 — осуществим в несколько шагов: 2
1) Построим график функции у = 1о§2 х (пунктирная линия на рис. 221).
2) Осуществим растяжение построенного графика от оси * с коэффициентом 3 и симметрию «растянутого» графика относительно оси х. Получим график функции у = -31ое2 х (тонкая линия на рис. 221).
3) Осуществим сжатие построенного
графика к оси у с коэффициентом — (т.е.
2
растяжение графика от оси у с коэффициентом 2). Получим график функции
х
у = -31об2 — (жирная линия на рис. 221). <Я 2
Пример 5. Построить и прочитать график функции
12', если х <1; 10&! х, если х>\.
Решение. Построим график функции у = 2' и выделим его часть на луче (-<*>, 1] (выделенная часть пунктирной линии на рис. 222). Построим
268
= . 7
2 0 6 X
■ -3
-г
1о -2)
1 '
| 1 1 1
Рис. 219
II II
|||| _у=1од2(-х) II 1 1
у=1одах _
0
-1 V / 1 'х
\
1 1
Рис. 220
1 ,У
эд гХг
}
1 —
*
<5 1- X
/ \
1 \ -
1 у=-31од2у
1
У= ;1о Яг
Рис. 221
график функции у - х и выделим его часть
2
на открытом луче (1, +о°) (выделенная часть тонкой линии на рис. 222). Объединение двух выделенных на рис. 222 линий и представляет собой график заданной функции.
Прочтем график, т.е. укажем иллюстрируемые графиком свойства заданной функции.
1) Х>(/)= (—, + «).
2) Не является ни четной, ни нечетной.
3) Возрастает на луче (-», 1], убывает на открытом луче (1, +о°).
4) Не ограничена снизу, ограничена сверху.
5) у,^ = 2 (достигается в точке х=1), наименьшего значения у функции нет.
6) Функция претерпевает разрыв в точке * = 1; в остальных точках она непрерывна.
7)Д/) = (-~,0)Щ0,2].
8) Выпукла вниз на промежутках (-«о, 1] и(1,+
Заметим, что прямая у = 0 (ось х) является горизонтальной асимптотой графика функции при х-* Это значит, что Нт /(х)=0. <Д
Пример 6. Решить уравнение 1§х = 11 - х.
Решение. Достаточно очевидно, что х = 10 — корень уравнения. В самом деле 1^10 = 1и11-10 = 1,т.е. при * = 10 заданное уравнение обращается в верное числовое равенство 1 = 1.
Так как функция у =1& х возрастает, а функция у = 11-х убывает, то заданное уравнение имеет только один корень, который уже найден путем подбора: * = 10. <Я
Завершая разговор о логарифмических функциях и их графиках, рассмотрим более сложный пример, где речь идет о построении графиков нескольких так называемых «экзотических» функций.
Пример 7. Построить графики функций:
а)у=1оёхх; б)у = 21о"х; в)у = х^'9.
Решение, а) Мы знаем, что * = 1, но при этом следует учесть, что х — основание логарифма, а потому * >0 и * . Значит, речь идет о построении графика функции у = 1, область определения которой задается условиями: * > 0, хф1. График функции изображен на рис. 223.
б) Мы знаем, что 2>0 = х, но при этом следует учесть, что * — логарифмируемое число, а потому х >0. Значит, речь идет о построении графика функции у — х, область определения которой задается условием * >0. График функции изображен на рис. 224.
1 1 1
1
1
г
2 1 /
>
л г" к* п
6 X
у=1од,х_ 1112 1
Рис. 222
|У
1
0 ,1 X
I
|У *
/
/
/
/
/
о'
Рис. 223
Рис. 224
Рис. 225
269
в) Мы знаем, что =2, но при этом следует учесть, что х — основание логарифма, а потому * >0 и х Значит, речь идет о построении графика функции у = 2, область определения которой задается условиями: х >0, хф\. График функции изображен на рис. 225. <Д
А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс
Материалы по математике онлайн, задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике скачать
Содержание урока
 конспект урока
опорный каркас
презентация урока
акселеративные методы
интерактивные технологии
Практика
задачи и упражнения
самопроверка
практикумы, тренинги, кейсы, квесты
домашние задания
дискуссионные вопросы
риторические вопросы от учеников
Иллюстрации
аудио-, видеоклипы и мультимедиа
фотографии, картинки
графики, таблицы, схемы
юмор, анекдоты, приколы, комиксы
притчи, поговорки, кроссворды, цитаты
Дополнения
рефераты
статьи
фишки для любознательных
шпаргалки
учебники основные и дополнительные
словарь терминов
прочие
Совершенствование учебников и уроков
исправление ошибок в учебнике
обновление фрагмента в учебнике
элементы новаторства на уроке
замена устаревших знаний новыми
Только для учителей
идеальные уроки
календарный план на год
методические рекомендации
программы
обсуждения
Интегрированные уроки
Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.
Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.
|
