|
Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>>Математика: Степенные функции, их свойства и графики
§ 44. СТЕПЕННЫЕ ФУНКЦИИ, ИХ СВОЙСТВА И ГРАФИКИ
Обычно степенными функциями называют функции вида у = хr, где r-любое действительное число. В этом параграфе мы ограничимся случаями рационального показателя r.
Целый ряд таких функций мы с вами уже изучили. Так, если r— натуральное число (r = п), то получаем функцию у = хп; графики и свойства таких функций вам известны из курса алгебры 7—9-го классов. На рис. 180 изображен график функции у =х1 (прямая), на рис. 181 изображен график функции у =хг (парабола), на рис. 182 изображен график функции у =х3 (кубическая парабола). График
степенной функции у = хп в случае четного п (п =4, 6, 8, ...) похож на параболу, а график степенной функции у = х" в случае нечетного п(п= 5, 7, 9,...) похож на кубическую параболу.
Если г = -п, то получаем функцию у = х~", т.е. у=—; о таких
хп
функциях мы говорили в курсе алгебры 9-го класса. В случае четного п график имеет вид, изображенный на рис. 183; в случае нечетного п график имеет вид, изображенный на рис. 184.
Наконец, если г=0, т.е. речь идет о функции у=х°, то о ней и говорить неинтересно, поскольку это — функция у = 1, где х Ф 0; график этой функции изображен на рис. 185.
кУ
1
0 X
Рис. 183
Рис. 184
Рис. 185
положитель-
Шш
у = хг\
Теперь познакомимся с функциями у = хг, где г ное или отрицательное дробное число.
Рассмотрим в качестве примера функцию Область ее определения — луч [0, + ■»). Построим на этом луче графики функций у = х2 (ветвь параболы) и у=х3 (ветвь кубической параболы) — эти графики изображены на рис. 186. Обратите внимание: на интервале (0, 1) кубическая парабола располагается ниже, а на открытом луче (1, +°о) выше параболы.
Нетрудно убедиться в том, что график функции у =х2,ъ проходит через точки (0; 0) и (1; 1), как и графики функций у = х2, у = х3. При остальных значениях аргумента х график функции у=х2 Ъ находится между графиками функций у=х2иу=х3 (рис. 186). Почему? Смотрите: 1)ЕслиО<х< 1,то:
х6 <х6 <х*;
4х* <4х?
х3 <Х2'6 <х2.
Рис. 186
236
2) Если х> 1, то:
х4 < хъ < х6
х4 <л/х°"<л/хг; х2 < х2,6 < х3.
Примерно так же обстоит дело для любой степенной функции
вида у=хг, где г = — — неправильная дробь (числитель больше зна-п
менателя). Ее графиком является кривая, похожая на ветвь параболы. Чем больше показатель г, тем «круче» устремлена эта кривая вверх.
— т
Свойства функции у = х" , где — > 1:
п
1Щ/)=[0,+°=);
2) не является ни четной, ни нечетной;
3) возрастает на [0, + <*>);
4) не ограничена сверху, ограничена снизу;
5) не имеет наибольшего значения; унаим =0;
6) непрерывна;
7)Д(/)=[0, + оо);
8) выпукла вниз.
т
Рассмотрим степенную функцию у = хп для случая, когда — —
п
правильная дробь I 0 < — < 1
п
Все рассмотренное в § 40 в отношении
функции у = 4~х или, что то же самое, у = хп (ее график изображен на рис. 169) имеет место и по отношению к любой степенной
функции вида у = хг, где г = — — правиль-
п
ная дробь (числитель меньше знаменателя). График функции у = хг изображен на рис. 187.
1У I I I I I I
> -1
11—
0| 1 X
I
Рис. 187
т
Свойства функции у = хп, где О < — <1:
п
1)2)(/)=[0,+оо);
2) не является ни четной, ни нечетной;
3) возрастает на [0, +
4) не ограничена сверху, ограничена снизу;
237
5) не имеет наибольшего значения; унаим =0;
6) непрерывна;
7)Д(/)=[0, + оо);
8) выпукла вверх.
т
Нам осталось рассмотреть степенную функцию вида у = х " . Область ее определения — открытый луч(0, + оо). Выше мы построили
график степенной функции у = х~", где п — натуральное число. При х > 0 график функции у =х'п пцхож на ветвь гиперболы (рис. 184). Точно так же обстоит дело для
т
любой степенной функции вида у = х л , график которой изображен на рис. 188. Отметим, что график данной функции имеет горизонтальную асимптоту у = 0 и вертикальную асимптоту х = 0.
м
Свойства функции у = х ":
1)Ж/)=(0, +оо);
2) не является ни четной, ни нечетной;
3) убывает на (0, + оо);
4) не ограничена сверху, ограничена снизу;
5) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения;
6) непрерывна;
7)Д(/)=(0, +оо);
8) выпукла вниз.
Вы заметили, наверное, что мы пока ничего не сказали о свойстве дифференцируемости степенной функции. Начнем издалека.
Мы знаем, чему равна производная функции у =х", где п — натуральное число:
(х")'=пхп'1. (1)
Нетрудно найти производную степенной функции у = х~п, где п — натуральное число. Для этого надо переписать выражение х'я
в виде—и воспользоваться правилом дифференцирования дроби: хп
Итак, для любого х * 0 справедлива формула
(х-*)' =-пх-"-1. (2)
у|
к
1
1
у=х'"
ч
0 - 1 - X
Рис. 188
238
Формулы (1) и (2) можно объединить в одну:
(хп)'=тхт-1,
(3)
где т — любое целое число.
Идем дальше. Мы знаем, что (л/х)' Эту формулу можно за-
2-]х
писать следующим образом:
( 1Л \ /
= — X
(4)
И формула (3), и формула (4) являются частными случаями общего утверждения (которое мы приводим без доказательства).
Теорема. Если х > 0 и г — любое рациональное число, то производная степенной функции у =хг вычисляется по формуле
(хТ)'= гх
г -1
Например,
(х1000)' = 1000х999; (х-5)' =-5х"в;
( \ \
\
1 -
= -х 3
(мы учли, что — 1 = —).
3 3
Нетрудно получить и соответствующую формулу для интегрирования степенной функции: если г * -1, то
(5)
В самом деле,
Гхг + М _(г+1)хг
г+1
г+1
= х .
. г +1
Значит, функция у =
г+1
является первообразной для функ-
ции у = хг, а потому справедлива формула (5). Например,
239
1 3
1 х5 1 -5+1 -4 4х4
2 , 3
-? ~5 5 с 3
' -1 + 1 » 3 5 5
Рассмотрим ряд примеров.
Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции у=хг\ а) на отрезке [1, 9]; б) на интервале (0, 4); в) на луче [25, +
Решение. Нам нет необходимости строить график функции, можно воспользоваться тем, что она возрастает и, следовательно, свое наименьшее и наибольшее значения достигает соответственно в левом и правом концах заданного промежутка, если, разумеется, концы промежутка принадлежат самому промежутку.
а)Унаим. =/Ш=ч/1*" = 1; унаи6.=л/9Г=33 =27.
б) Здесь нет ни наименьшего, ни наибольшего значения функции, поскольку концы промежутка — точки 0 и 4 — интервалу (0, 4) не принадлежат.
в)г/нанм. =л/257 = 53 =125; уит6 не существует. <Ц
Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
г 1 8 П т
у = -х2--х на отрезке [1, 9].
Решение. Воспользуемся алгоритмом отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке (см. § 36).
1) Имеем у'
3 2 3
2) Производная существует при всех х, значит, критических точек у функции нет, а стационарные найдем из условия у'=0. Имеем:
Ых-х2 =0;
8л/я =лс2;
(8-Ух)2 =(лс2)2;
64* = х4;
х(х3 -64)=0;
^ =0, х2 =4.
Отрезку [1,9] принадлежит лишь точка х = 4.
16 — 1
3) Составим таблицу значений функции у- — хг —дс3, включив в
3 3
нее концы отрезка — точки дс = 1 и дс = 9 — и найденную стационарную точку х = 4:
240
X 1 4 9
У 5 64 3 -91
Таким образом, у,
наим. =-91 (достигается в точке х = 9);
унаи6 = — (достигается в точке х = 4). 3
Пример 3. Решить уравнение х3 = 12 - х.
Решение. Нетрудно подобрать один корень этого уравнения: х = 8. В самом деле,
2
83 =#"=4и 12-8=4,
значит, при х-4 уравнение обращается в верное числовое равенство 4=4.
2
Так как степенная функция у = х3 возрастает, а линейная функция у = 12 - х убывает, то других корней у уравнения нет. Ответ: х = 8.
Пример 4. Построить график функции
2
1/=(х-1)~3-2.
Решение. 1) Перейдем к вспомогательной системе координат с началом в точке (1; -2) — пунктирные прямые ж = 1иу = -2на рис. 189.
2
2) «Привяжем» функцию у = х 3 к новой системе координат. Для этого выберем контрольные точки для
ПП Л й
, но строить их бу-
у I
I
л -1
0 1 X
-2 1 2
1
Рис. 189
Ш
функцииу = х 3:(1;1),|8; ^Д^ 4
дем не в старой, а в новой системе координат. Затем по этим точкам построим кривую того вида, какой представлен на рис. 188. Это и будет требуемый график (рис. 190). <1
Пример 5. Составить уравнение касательной к
1 -графику функции: а) у = — в точке зс = 1; б) у = х 3 в
х
точке х = 1.
Решение. Напомним общий вид уравнения касательной:
у = Ка)+Г(а)(х-а). Воспользуемся алгоритмом составления уравнения касательной (см. § 34).
а)Л*) = -:
х
1) а = 1;
2)/(а)=/(1)Л = 1;
Рис. 190
(6)
241
3 )Г(х) = -\; /'(«)=/'( 1)=-1 = -1;
х 1
4) Подставим найденные три числа: а = 1, /(а) = 1, /'(а)=-1 в формулу (6). Получим:
у = 1-(*-1),
у = 2-х. 2 У
б )Г(х) = х~~':
1) а = 1;
2)/(а)=Я1) = | = 1;
2 ---1 о -- 2
3)/'(*) = -- * 3 = з. /'(1)=--.
2
4) Подставим найденные три числа: а = 1, /(а)=1, /'(а) = —вформулу
3
(6). Получим:
у = 1-|(лс-1Х
2 5 у =—х + -. * 3 3
2 5
Ответ: &)у = 2-х; б)у = — лс+ -.
3 3
л 1 Замечание. График функции у = х 3 похож на ветвь гиперболы у = —'.
х
оба графика имеют своими асимптотами оси координат, оба графика проходят через точку (1; 1). Но их поведение в точке (1; 1) различное, у них, как мы увидели при решении примера 5, разные касательные в этой точке (см. рис. 191,192).
Пример 6. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = Чх, у=0, х=8.
у
У= 2/:
0 1_ ? X
1
У
Ч=*1х
— 2 1-
////
2 1 X
1
Рис. 191
Рис. 192
Рис. 193
Решение. Фигура, площадь которой требуется вычислить, изображена на рис. 193. Имеем (см. § 38):
+ 1
3
= -• х-
4
8 3 ( 4 4 \
83 -О3
о ~4 V У
= - (16-0)=12.
Ответ: 5 = 12.
242
А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс
Материалы по математике онлайн, задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике скачать
Содержание урока
 конспект урока
опорный каркас
презентация урока
акселеративные методы
интерактивные технологии
Практика
задачи и упражнения
самопроверка
практикумы, тренинги, кейсы, квесты
домашние задания
дискуссионные вопросы
риторические вопросы от учеников
Иллюстрации
аудио-, видеоклипы и мультимедиа
фотографии, картинки
графики, таблицы, схемы
юмор, анекдоты, приколы, комиксы
притчи, поговорки, кроссворды, цитаты
Дополнения
рефераты
статьи
фишки для любознательных
шпаргалки
учебники основные и дополнительные
словарь терминов
прочие
Совершенствование учебников и уроков
исправление ошибок в учебнике
обновление фрагмента в учебнике
элементы новаторства на уроке
замена устаревших знаний новыми
Только для учителей
идеальные уроки
календарный план на год
методические рекомендации
программы
обсуждения
Интегрированные уроки
Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.
Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.
|
