Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>>Математика: Обобщение понятия о показателе степени

§ 43. ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ О ПОКАЗАТЕЛЕ СТЕПЕНИ
Вы умеете вычислять значение степени с любым целочисленным показателем, руководствуясь при этом следующими определениями:

Но математики на этом не остановились, они научились работать не только с целочисленными показателями. В этом параграфе мы обсудим, какой смысл придается в математике понятию степени с дробным показателем, т.е. выясним, что означают такие символы математического языка, как 2⁵, З^-0'3 и т.д.

Зададимся вопросом: если вводить символ то каким математическим содержанием его наполнить? Хорошо бы, рассуждали математики, чтобы сохранялись привычные свойства степеней, например, чтобы при возведении степени в степень показатели перемножались, в частности, чтобы выполнялось следующее равенство:

Положим Тогда интересующее нас равенство можно переписать в виде а⁵=2³, откуда получаем Значит, появились основания определить

Подобные соображения и позволили математикам принять следующее определение.
Определение 1. Если — — обыкновенная дробь(д *1)и а> 0, то под Я
р _
а" понимают л/а^, т. е.
а4 =Цар , а>О.
Л    о. __
Например,З2 =л/3; 74 =л/7б ит.д.
Самое любопытное, что введенное определение оказалось настолько удачным, что при нем сохранились все привычные свойства степеней, которые были доказаны для натуральных показателей: при умножении степеней с одинаковыми основаниями
показатели складываются, при делении — вычитаются и т.д. Пусть,
1 1
например, нам нужно выполнить умножение а2 а3. Поскольку
1 1
а2 =>/а, а3 =\[а, то задача сводится к умножению радикалов:
а* а* =4а-\[а=Ча? -^[а?    а2 =а*.
111    115 1 1 Ы
Итак, а2 а3 =а6. Но, между прочим, - + -= —, т.е. а2 а3 -а2 3.
Поскольку складывать дроби легче, чем применять свойства радикалов, на практике предпочитают заменять радикалы степенями с дробными показателями. Для иллюстрации этого положения вернемся к примеру 5аиз § 42: л/?-1^*11. Если перейти к дробным показателям, то получим:
_ _ з и з и 31
Видите, насколько быстрее и проще мы получили здесь тот же результат, что и в § 42.
I    1 51    I
Пример 1. Вычислить: а)646; б)273; в)04; г)(-8)3.
Решение. а)646 =3/64=2.
2
б)    273 =3/27^=(3/27Уг=32=9.
51
в)    о4 =№г=*/д=о.
г) Это задание некорректно, поскольку нет определения степени с дробным показателем для случая отрицательного основания. Математики договорились возводить в дробные степени только неотрицательные числа
(и это оговорено в определении). Так что запись вида (-8)3 считается в математике лишенной смысла.    <И|
232
(
Замечание. Иногда приходится слышать возражения: неверно, что
1
запись(-8)3 лишена смысла, ведь можно вычислить корень 3-й степени из
числа -8; получится ^/(-8) =-2. Так почему бы не считать, что(-8)3 = -21
Если бы математики не запретили себе возводить в дробные степени отрицательные числа, то вот с какими неприятностями пришлось бы столкнуться:
I    2 _
—2 =(—8)3 =(-8)6    = ^64 =2.
Получилось «равенство» -2 = 2. Выбирая определения, математики как раз и заботятся о том, чтобы все было точно, определенно, недвусмысленно. Поэтому в определении степени с нулевым показателем а° появилось
ограничение а а в определении степени с положительным дробным по-р
казателем ая появилось ограничение а>0.
Разумеется, математики не ограничились понятием степени с положительным дробным показателем, они ввели и определение степени с отрицательным дробным показателем, используя известную идею:
"7 1
а 4 =—. р
а"
Но наличие дробного показателя заставляет сделать ограничение а>0, а наличие знаменателя заставляет сделать ограничение а* 0; в итоге приходится накладывать ограничение а > 0.
Определение 2. Если — — обыкновенная дробь (ц * 1) и а >0, то
Я
-Е 1 пода " понимают—:
а"
- 1
а 4 =—, а> О.
а®
-- 11 -- 1 1 Например, 3 2 =-=-=, 7 4 = —=-— и т.д.
- л/3    - 4т*
32    V»
Итак, теперь мы знаем, что такое степень с любым рациональным показателем. Справедливы следующие свойства (мы считаем, что а> 0, Ь> 0, 8 и* — произвольные рациональные числа):
1    )а' а' =ам;
2    )а':а' =а'"';
233
3)(а')' =а"; 4 )(аЬ)' =а'Ъ'\
Ъ"'
Частичные обоснования указанных свойств были сделаны выше; этим мы и ограничимся.
5)

Пример 2. Упростить выражение:
X3 + у3
-2$Гху--Д-г.
V (3/УГ2
Решение.
1)
\2
х3 + у3
Г 1 Л2
+ 2х3 у3 +
V У 1 1
Г 1 V
У
\ У
= х3 + 2х3 у3 + у3.
2)фсу=(ху)3    =х3 у3. 1 _ . ( ^
3)
4)
2    ^ г
х3 +2х3 у3 +у3
= у 3.
11 2 2 -2д:3у3 -у3 =х3.
Ответ: х3.
Пример 3. Решить уравнения: а) л/? = 1; б) *3 = 1.
Решение, а) Возведя обе части уравнения в куб, получаем:
х2=1, х = ±1.
б) Это практически то же самое уравнение, что и в п. а), но с одной существенной оговоркой: поскольку переменная х возводится в дробную степень, она, по определению, должна принимать только неотрицательные значения. Значит, из найденных выше двух значений х в качестве корня уравнения мы имеем право взять лишь значение х = 1.
Ответ: а) ±1; б) 1.
2
Пример 4. Решить уравнение: х 3 -2х 3-8 = 0.
Решение. Введем новую переменную у = х 3. Тогда
\2
= у2. Значит, получаем квадратное уравнение относительно
новой переменной у:
у2 -2у-8 = 0. Решив это уравнение, получим: уг =-2, уг =4. Теперь задача сводится к решению двух уравнений:
-1 _1 дГ3 = -2; х 3 =4.
Первое уравнение не имеет корней, поскольку (напомним еще раз) область допустимых значений для переменной х в подобных случаях опреде-
234
ляется условием х > 0. Решая второе уравнение, последовательно
1 л Г 1 вГ 1 Г1!' 1 находим: -т= 4; х3 =-; Ух=-\ х= - ; *=—.
Х1    4    4 {4) 64
Ответ: —.
64
Уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня или возводится в дробную степень, называют иррациональными. Первое знакомство с иррациональными уравнениями состоялось у вас в курсе алгебры 8-го класса, где встречались уравнения, содержащие переменную под знаком квадратного корня. В этой главе мы рассмотрели еще несколько примеров решения иррациональных уравнений — пример 2 из § 39, пример 2 из § 40 и примеры 3 и 4 из § 43.
Основные методы решения иррациональных уравнений:
—    метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень;
—    метод введения новых переменных;
—    функционально-графический метод.
Если используется метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень, то возможно появление посторонних корней, значит, обязательна проверка всех найденных решений — об этом мы говорили и раньше, в курсе алгебры 8-го класса.

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

_{Материалы по математике онлайн, задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике скачать}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников
 
Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 
 
Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.