Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>>Математика: Преобразование выражений, содержащих радикалы

§ 42. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ РАДИКАЛЫ
В 7-м и 8-м классах вы выполняли преобразования рациональных выражений, используя для этого правила действий над многочленами и алгебраическими дробями, формулы сокращенного умножения и т.д. В 8-м классе вы изучили новую операцию — операцию извлечения квадратного корня из неотрицательного числа и, используя свойства квадратных корней, выполняли преобразования выражений, содержащих квадратные корни. В предыдущих параграфах мы познакомились с операцией извлечения корня п-й степени из действительного числа, изучили свойства этой операции, а именно (для неотрицательных значений а и b):

Используя эти формулы, можно осуществлять преобразования выражений, содержащих операцию извлечения корня (выражений с радикалами), — такие выражения называют иррациональными. Рассмотрим несколько примеров на преобразования иррациональных выражений.
Пример 1. Упростить выражения:

Решение: а) Представим подкоренное выражение 32а⁵ в виде 16- а⁴- 2а и воспользуемся формулой (2); получим:
Полученное выражение считается более простым, чем заданное, поскольку под знаком корня содержится более простое выражение. Подобное преобразование называют вынесением множителя за знак радикала.
б) Воспользовавшись формулой (4), получим:

Представим подкоренное выражение а¹⁰ в виде а⁹ -а и воспользуемся формулой (2); получим:

Как видите, и здесь удалось вынести множитель за знак радикала.
Вспомните формулу которую вы изучали в курсе алгебры 8-го класса. Она обобщается на случай любого четного показателя корня
Эту формулу следует иметь в виду в тех случаях, когда нет уверенности в том, что переменные принимают только неотрицательные значения. Например, вынося множитель за знак корня в выражении , следует (если о знаке числа х ничего не известно) рассуждать так:

Наряду с вынесением множителя за знак радикала в необходимых случаях используется и преобразование, так сказать, противоположной направленности: внесение множителя под знак радикала. Это преобразование мы используем в следующих двух примерах.
Пример 2. Сравнить числа
Решение. Имеем:

Пример 3. Упростить выражение
Решение. Сначала внесем множитель х¹ под знак корня 3-й степени:

Теперь заданное выражение можно записать так:
Воспользовавшись формулой (5), мы можем последнее выражение записать в виде

Пример 4. Выполнить действия:

Решение: а) Здесь можно применить формулу сокращенного умножения «разность квадратов»:

Воспользовавшись формулой (6), разделим в каждом из полученных радикалов показатели корня и подкоренного выражения на 2; это существенно упростит запись:

б) Здесь можно применить формулу сокращенного умножения «разность кубов»:
229
Пример 5. Выполнить действия:
6)775 - 2-7475 + 9.
Решение, а) Поскольку перемножать можно корни только одной и той же степени, начнем с уравнивания показателей у имеющихся радикалов. Для этого дважды воспользуемся формулой (6):
Чх* = = 2Чх*; 147г=п4Х^=247;.
А теперь воспользуемся формулой (2):
Осталось вынести множитель за знак радикала:
_    г4^=247Г^7=г47Г-247=х247.
б) Первый способ. Преобразуем первый множитель в корень 4-й степени: 775- 2 =^/(75- 2/ =^/(>/5/-2-2>/5 + 22 =^5-475 +4 = ^9-475.
А теперь уже нетрудно выполнить умножение радикалов: 79 -475 • 79 + 475 = д/(9 - 475 Х9 + 475) = ^ -(475)? = 781 - 80 = 1.
Второй способ. Сначала поработаем с подкоренным выражением во втором множителе. Имеем:
9 + 475=5 + 4>/5 + 4=(75)2+2-275 + 22=(75 + 2)2.
Значит,
^9 + 475 =^/(75 + 2/. Разделив показатели корня и подкоренного выражения на 2, получим: 775 + 2 (формулой (6) мы здесь имеем право пользоваться, поскольку подкоренное выражение 75 + 2 — положительное число). Осталось выполнить умножение квадратных корней:
775- 2 -775+ 2 = -у/(75-2)(7б+ 2)=д/(7б)2-22 =75^4=1. <1
Пример 6. Разложить на множители:
Решение. Заданное выражение можно переписать следующим образом:
Теперь видно, что это — полный квадрат, квадрат разности выражений Чх2 и 2\[у.
Окончательно получаем:
+ <1
Пример 7. Сократить дробь-——
► I—1-1—
у!х-2Цху + 7У
Решение. Первый способ. Знаменатель дроби можно преобразовать следующим образом:
Значит, есть резон представить числитель как «разность квадратов»:
71- Чу-= 47-&=№)г-(Чу)г=№-Чу ЧУ )■
Далее, имеем:
230
Второй способ. Введем новые переменные: V* =а,\[у=Ь и учтем, что
аг —Ъг
при этом у[х = а2, 4у=Ь2. Тогда заданная дробь примет вид: —----.
а -2аЬ+Ь
Что дала нам замена переменных? Она позволила заменить иррациональное выражение (с переменными хну) рациональным выражением (с переменными а и Ь). А оперировать с рациональными выражениями намного проще, чем с иррациональными. Имеем:
а2 -Ь2 =(а-Ь)(а + Ь) = а + Ь _4х+$[у а2 - 2аЬ + Ь2 (а-Ь? а-Ь~*[х-\[у'

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

_{Материалы по математике онлайн, задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике скачать}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников
 
Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 
 
Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.