Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>>Математика: Предел числовой последовательности

§ 30. ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
1. Определение предела последовательности
Рассмотрим две числовые последовательности

Изобразим члены этих последовательностей точками на координатной прямой (рис. 99 для (y_n) и рис. 98 для (х_п)). Замечаем, что члены второй последовательности (х_п) как бы "сгущаются" около точки 0, а у первой последовательности (у_п) такой «точки сгущения» нет. В подобных случаях математики говорят так: последовательность (х_п) сходится, а последовательность (у _п) расходится.

Возникает естественный вопрос: как узнать, является ли конкретная точка, взятая на прямой, «точкой сгущения» для членов заданной последовательности. Чтобы ответить на этот вопрос, введем новый математический термин.
Определение 1. Пусть а — точка прямой, а г— положительное число. Интервал (а-г,а + г) называют окрестностью точки а (рис. 100), а число г— радиусом окрестности.

Например, (5,98, 6,02) — окрестность точки 6, причем радиус этой окрестности равен 0,02.
Теперь мы можем ответить на поставленный выше вопрос. Но сразу уточним: математики не любят термин «точка сгущения для членов заданной последователь^ ности», они предпочитают использовать термин «предел последовательности».
Определение 2. Число Ь называют пределом последовательности (у_п), если в любой заранее выбранной окрестности точки Ь содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера.
Пишут либо так: (читают: у_п стремится к Ь или уп сходится к Ъ), либо так: (читают: предел последовательности у_п при стремлении п к бесконечности равен Ъ; но обычно слова «при стремлении п к бесконечности» опускают).
Дадим несколько пояснений к определению 2. Пусть
Возьмем интервал т.е. окрестность точки Ь; г, — радиус этой окрестности(/\ >0). Существует номер п,, начиная с которого вся последовательность содержится в указанной окрестности:
А что будет, если взять интервал т.е. если уменьшить радиус окрестности? Опять найдется номер п₂, начиная с которого вся последовательность содержится в указанной окрестности, но этот номер будет больше, т.е. п₂ >п₁.
Замечание. Если число Ь — предел последовательности (у„), то, образно выражаясь, окрестность точки Ь — это «ловушка» для последовательности: начиная с некоторого номера п0 эта ловушка «заглатывает»
и все последующие члены последовательности. Чем «тоньше» ловушка, т.е. чем меньшая выбирается окрестность, тем дольше «сопротивляется» последовательность, но потом все равно «подписывает акт о капитуляции» — попадает в выбранную окрестность.
Пример 1. Дана последовательность (y„):

Решение. Возьмем любую окрестность точки 0, пусть ее радиус равен г (рис. 101). Ясно, что всегда можно подобрать натуральное число n
так, чтобы выполнялось неравенство Если, например, г = 0,001, то в качестве п₀ можно взять 1001, поскольку то в качестве n₀ можно взять 5774, поскольку   и т.д. Но это значит, что член последовательности у с номером n₀, т.е. у_п , попадает в выбранную окрестность точкн 0. Тем более в этой окрестности будут находиться все последующие члены заданной убывающей
последовательности . В соответствии с определением 2 это и означает, что

Пример 2. Найтн предел последовательности:

Решение. Здесь, как и в предыдущем примере, последовательность сходится к 0:

Результат: полученный в примере 2, является частным случаем более общего утверждения:

А что будет с последовательностью Пусть, например, q =2, т.е. речь идет о последовательности 2, 2², 2³, 2⁴, ..., 2², ... Эта последовательность явно не имеет предела (нет «точки сгущения»). Вообще, справедливо утверждение:
Пример 3. Найти предел последовательности:
Решение. Выполним некоторые преобразования выражения

Это значит, в частности, что

и т.д., а потому заданную последовательность можно переписать так:

Теперь ясно, что «точкой сгущения» является 2; иными словами, последовательность сходится к числу 2:

А теперь обсудим результаты, полученные в примерах 1—3, с геометрической точки зрения. Для этого построим графики последовательностеи

График первой из этих трех функций изображен на рис. 97. Он состоит из точек с абсциссой 1, 2, 3, 4, ..., лежащих на ветви гиперболы

У второй функции аргумент х содержится в показателе степени, поэтому такую функцию называют показательной. На рис. 102 изображен график функции
Он состоит из точек с абсциссами 1, 2, 3, ..., лежащих на некоторой кривой, — ее называют зкс-понентой. Подробнее о показательной функции и ее графике речь пойдет в главе 7.
Осталось рассмотреть третью функцию. Сначала надо построить график функции
Графиком этой функции является гипербола, которая получается из гиперболы сдвигом на 1 влево по оси х и на 2 вверх по оси у (рис. 103).
Теперь мы имеем представление о графике последовательности Он состоит из точек с абсциссами 1, 2, 3, 4, ..., лежащих на правой ветви гиперболы (рис. 104).

Замечаете ли вы кое-что общее в характере трех построенных графиков последовательностей (см. рис. 97,102 и 104)? Смотрите: на всех трех рисунках точки графика, по мере их ухода вправо, все ближе и ближе подходят к некоторой горизонтальной прямой: на рис. 97 — к прямой у = 0, на рис. 102 — к прямой у= 0, на рис. 104 — к прямой у = 2. Каждую из этих прямых называют горизонтальной асимптотой графика.
Подведем итоги. Имеем:

и прямая у = 0 является горизонтальной асимптотой графика функции
и прямая у = 0 является горизонтальной асимптотой графика функции
и прямая у = 2 является горизонтальной асимптотой графика функции
Вообще, равенство означает, что прямая у =b является горизонтальной асимптотой графика функции у = f(п) (рис. 105).

На практике используется еще одно истолкование равенства

связанное с приближенными вычислениями: если последовательность у_п = f(n) сходится к числу Ъ, то выполняется приближенное равенство f(п) = Ь, причем это приближенное равенство тем точнее, чем больше

  Свойства сходящихся последовательностей
Сходящиеся последовательности обладают рядом интересных свойств. Формальные доказательства этих свойств — прерогатива вузовского курса высшей математики. Основаны доказательства на формализованном варианте данного выше определения 2 (этот вариант определения — опять-таки прерогатива курса высшей математики). Мы дадим лишь формулировки свойств.
Свойство 1. Если последовательность сходится, то только к одному пределу.
Свойство 2. Если последовательность сходится, то она ограниченна.
Заметим, что обратное утверждение неверно: например, 1, 2, 3, 1, 2, 3,..., 1, 2, 3,... — ограниченная последовательность, но она не сходится.
Оказывается, если последовательность не только ограниченна, но и монотонна (убывает или возрастает), то она обязательно сходится; это доказал в XIX в. немецкий математик Карл Вейерштрасс.
Свойство 3. Если последовательность монотонна и ограниченна, то она сходится (теорема Вейерштрасса).
Приведем классический пример из геометрии, в котором используется теорема Вейерштрасса. Возьмем окружность и будем последовательно вписывать в нее правильные многоугольники: 4-угольник, 8-угольник, 16-угольник и т.д. Последовательность площадей этих правильных многоугольников возрастает и ограниченна (снизу числом 0, а сверху, например, числом, выражающим площадь описанного около окружности квадрата). Значит, построенная последовательность сходится, ее предел принимается за площадь круга. Именно с помощью таких рассуждений и получена в математике формула площади круга 5 = пг2 (установлено, что пг2 — предел последовательности площадей вписанных в окружность радиуса г правильных многоугольников).
3.    Вычисление пределов последовательностей
К установленным ранее двум важным результатам:
Нт-^=0; Итд" =0, если|д|<1,
П—»оо Д    п—»оо
добавим еще один: ИтС =С.
Иными словами, предел стационарной последовательности равен значению любого члена последовательности.
136
Для вычисления пределов последовательностей в более сложных случаях используются указанные соотношения и следующая теорема.
Теорема. Если Иш*. = Ь, Ншул = с,то:
п—п—»°о
1)    предел суммы равен сумме пределов:
Нт(х„ +уп)=Ь + с,
П-> оо
2)    предел произведения равен произведению пределов:
Кт(хпуп) = Ьс,
3) предел частного равен частному от деления пределов: Иш
<х.
хУп ^
— (но, разумеется, при дополнительных условиях: с
с фо и уп ф 0 для любого п);
4) постоянный множитель можно вынести за знак предела:
Нт(А хя) = кЬ.
Пример 4. Найти пределы последовательностей:
а)хп=-\; б )уп=\, в)2„    г )1п=---1 + а
п    п    п    п п
Решение.а) Имеем: — =---• Применив правило « предел произведете п п
ния», получим:
ИтГ-^-1= 1ип—• Ит —=0-0=0. «-»- 1 п I п->™ п п~>°с п
б) Рассуждая, как в п. а), получим: ИтГ1=0,
п-»~> л*
в)Имеем: 1ип(-^- |= Иш(к \ |=А-    |=й 0=0.
')    п )    )
Вообще, для любого натурального показателя т и любого коэффициента к справедливо соотношение:
■Г-»
Иш — =0.
г) Применив правило «предел суммы», получим: Иш
Г--4- + з)=Иш--Иш4-+ИтЗ=0-0 + 3 = 3.    <Ш
д2 ^ п п~*°° п" п_>°° Пример 5. Даны числа Ъг и д, такие, что Ьг |<?|<1. Вычислить Нт Зп, Ь,(Ч°-1)
д-1
Решение. Прежде всего воспользуемся тем, что постоянный множи-Ь.
тель-можно вынести за знак предела. Получим:
9-1
137
ЬАа"-1) Ь,    Ь.
Иш5 = Ит-^—-- = Иш——(д" -1) = —Ит(дп -1).
п-^ — 1 пц \ п~
Далее воспользуемся тем, что Ишд"=0 и, следовательно, 11т(д" -1)=0-1 =-1. Тогда:
Ьл    Ьл    Ьл
1 11т(9"-1)=—4 (-1)-- 1
Ответ: Ит 8Я = Пример 6. Вычислить Ит
л->-    1 — <7
Ьг
2п2 + 3
п ~ 4
Решение.В подобных случаях применяют искусственный прием: делят и числитель, и знаменатель дроби почленно на наивысшую из имеющихся степень переменной п. В данном примере разделим числитель и знаменатель дроби почленно на пг. Получим:
2пг 3 „3
—+ -Т 2 + -т цт_Пи—П_ = цт-
(1-)- я' 4 <1-»~ 4
~Т г
п п    п
Далее воспользуемся правилом «предел частного». Поскольку предел числителя равен 2 + 0=2, а предел знаменателя равен 1-0 = 1, то предел
2 о
дроби равен - = 2.
г 2/12+3 о Ответ: иш———-=2.
п - 4
4. Сумма бесконечной геометрической прогрессии
Рассмотрим бесконечную геометрическую прогрессию:
Будем последовательно вычислять суммы двух, трех, четырех и т.д. членов прогрессии:
82 =Ь1 +Ь2; 83 =ЪХ +Ь2 +63; 54 =Ь,+Ь2+Ь3+Ь4;
8п =Ь1+Ь2+Ь3+...+Ьп.
Получилась последовательность 81,82,83,...,8п>... Как всякая числовая последовательность, она может сходиться или расходиться. Если последовательность 5„ сходится к пределу 5, то число 8 называют суммой геометрической прогрессии (обратите внимание: не суммой п членов геометрической прогрессии, а суммой гео-
138
метрической прогрессии). Если же эта последовательность расходится, то о сумме геометрической прогрессии не говорят, хотя о сумме п членов геометрической прогрессии можно, разумеется, говорить и в этом случае.
Предположим, что знаменатель ^ геометрической прогрессии удовлетворяет неравенству |<?|<1.
Напомним формулу суммы первых п членов геометрической
М<7"-1)
прогрессии: еслиЗп =Ь1 +Ь2 +Ь3+...+Ьл ,то 8п =-
<7-1
В примере 5 мы установили, что Нш 8П = . Но Иш. 8п мы иаз-
^—Ц    П~* оо
вали выше суммой геометрической прогрессии. Таким образом, мы доказали следующее утверждение:
Если знаменатель 9 геометрической прогрессии (Ья) удовлетворяет неравенству |д|<1» то сумма 8 прогрессии вычисляется
Ь,
по формуле 8 =——.
1-д
Пример 7. Найти сумму геометрической прогрессии:
4 2 1 — —
2' 4""
Решение. Имеем: Ь}= = Поскольку знаменатель прогрессии
удовлетворяет неравенству |д|< 1, мы имеем право воспользоваться только
Ь. 4 что полученной формулой 5 =-. Значит, 5 =-г- = 8.
1-9    1_А
2
Ответ: 5 = 8.
Пример 8. Сумма геометрической прогрессии равна 9, а сумма квадратов ее членов 40,5. Найти пятый член прогрессии.
Решение. Первый этап. Составление математической модели. Дана
геометрическая прогрессия: Ь1г Ь2, Ь3.....Ьп, ... со знаменателем д(|д|<1),
Ь1
ее сумма вычисляется по формуле-. По условию эта сумма равна 9. Та-
1-д
ким образом, получаем уравнение-=9.
1-д
Последовательность Ь\, Ь\, ..., Ъ\, ... также является геометрической прогрессией: ее первый член равен Ь\, знаменатель равен д2, а сумма
Ь\
вычисляется по формуле-По условию эта сумма равна 40,5. Таким
1 ~<Г
образом, получаем уравнение -—^ = 40,5.
А
1-д2
139
В итоге задача сводится к решению системы уравнений относительно переменных Ь\ и д:
Ьг
1-д Ь\
=9, =40,5.
1-д2
Второй этап. Работа с составленной моделью.
Для решения системы используем метод подстановки: выразим из первого уравнения переменную Ьг Получим Ь, = 9 (1 - д). Подставим это выражение вместо Ь, во второе уравнение системы. Получим:
1-д2
Далее последовательно находим:
1 + д    о
' Г
^ =9(1-0=9
Итак,
1

Третий этап. Ответ на вопрос задачи. По условию требуется найти Ь5. Имеем: Ьъ =Ь1д4 =6
2_ 27
Ответ: Ь. =—.
5 27

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

_{Материалы по математике онлайн, задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике скачать}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников
 
Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 
 
Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.