Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 9 класс>>Математика: Методы решения систем уравнений

 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ

В этом параграфе мы обсудим три метода решения систем уравнений, более надежные, чем графический метод, который рассмотрели в предыдущем параграфе.
1. Метод подстановки
Этот метод мы применяли в 7-м классе для решения систем линейных уравнений. Тот алгоритм, который был выработан в 7-м классе, вполне пригоден для решения систем любых двух уравнений (не обязательно линейных) с двумя переменными х и у (разумеется, переменные могут быть обозначены и другими буквами, что не имеет значения). Фактически этим алгоритмом мы воспользовались в предыдущем параграфе, когда задача о двузначном числе привела к математической модели, представляющей собой систему уравнений. Эту систему уравнений мы решили выше методом подстановки (см. пример 1 из § 4).
Алгоритм использования метода подстановки при решении системы двух уравнений с двумя переменными х, у.
1.    Выразить у через х из одного уравнения системы.
2.    Подставить полученное выражение вместо у в другое уравнение системы.
3.    Решить полученное уравнение относительно х.
4.    Подставить поочередно каждый из найденных на третьем шаге корней уравнения вместо х в выражение у через х, полученное на первом шаге.
5.    Записать ответ в виде пар значений (х; у), которые были найдены соответственно на третьем и четвертом шаге.
Переменные х и у, разумеется, равноправны, поэтому с таким же успехом мы можем на первом шаге алгоритма выразить не у через х, а х через у из одного уравнения. Обычно выбирают то уравнение, которое представляется более простым, и выражают ту переменную из него, для которой эта процедура представляется более простой.
Пример 1. Решить систему уравнений
Р е ш е н и е. 1) Выразим х через у из первого уравнения системы: х = 5 - 3у.
2)    Подставим полученное выражение вместо х во второе уравнение системы: (5 - 3у) у — 2.
3)    Решим полученное уравнение:
4)    Подставим поочередно каждое из найденных значений у в формулу х = 5 - Зу. Если то
5)    Пары (2; 1) и решения заданной системы уравнений.

О тв е т: (2; 1);
2. Метод алгебраического сложения
Этот метод, как и метод подстановки, знаком вам из курса алгебры 7-го класса, где он применялся для решения систем линейных уравнений. Суть метода напомним на следующем примере.
Пример 2. Решить систему уравнений
Решение. Умножим все члены первого уравнения системы на 3, а второе уравнение оставим без изменения:
Вычтем второе уравнение системы из ее первого уравнения:

В результате алгебраического сложения двух уравнений исходной системы получилось уравнение, более простое, чем первое и второе уравнения заданной системы. Этим более простым уравнением мы имеем право заменить любое уравнение заданной системы, например второе. Тогда заданная система уравнений заменится более простой системой:
Эту систему можно решить методом подстановки. Из второго уравнения находим Подставив это выражение вместо у в первое уравнение системы, получим

Осталось подставить найденные значения х в формулу

Если х = 2, то
Таким образом, мы нашли два решения системы:

Ответ: 

3. Метод введения новых переменных
С методом введения новой переменной при решении рациональных уравнений с одной переменной вы познакомились в курсе алгебры 8-го класса. Суть этого метода при решении систем уравнений та же самая, но с технической точки зрения имеются некоторые особенности, которые мы и обсудим в следующих примерах.
Пример 3. Решить систему уравнений
— + — = 2,5, У х
х2 - у2 = 3.
х
Решение. Введем новую переменную *--• Тогда первое
У
уравнение системы можно будет переписать в более простом виде: Ь + ~ = 2,5. Решим это уравнение относительно переменной I:
I 2
2;2 + 2 - ы _ л 21
2*2 -5* +2 = 0;
Оба эти значения удовлетворяют условию 21Ф 0, а потому являются корнями рационального уравнения с переменной I.
X    X
Но I = - , значит, либо — = 2, откуда находим, что х = 2у, либо У    У
х 1
— = - , откуда находим, что у = 2х. У 2
Таким образом, с помощью метода введения новой переменной нам удалось как бы «расслоить» первое уравнение системы, достаточно сложное по виду, на два более простых уравнения:
х=2у; у — 2х.

Что же дальше? А дальше каждое из двух полученных простых уравнений нужно поочередно рассмотреть в системе с уравнением х2 - у2 = 3, о котором мы пока не вспоминали. Иными словами, задача сводится к решению двух систем уравнений:
50
2.5.
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ
х = 2 у,    Г у = 2х,
х2 - у2 = 3; \х2 - у2 = 3. Надо найти решения первой системы, второй системы и все полученные пары значений включить в ответ. Решим первую систему уравнений:
х = 2 у, х2 - у2 = 3.
Воспользуемся методом подстановки, тем более что здесь для него все готово: подставим выражение 2у вместо х во второе уравнение системы. Получим
(2у)2-у2 = 3; 4 У2 - у2 —3; Зу2 = 3; У2 = 1; 2/1 = !> У2 = -1-
Так как х = 2у, то находим соответственно хх = 2, х2 = -2. Тем самым получены два решения заданной системы: (2; 1) и (-2; -1). Решим вторую систему уравнений:
у = 2х,
х2 - у2 = 3.
Снова воспользуемся методом подстановки: подставим выражение 2х вместо у во второе уравнение системы. Получим
х2-(2х)2 = 3; х2 -4.x2 = 3; -Зх2 = 3; х2 = -1.
Это уравнение не имеет корней, значит, и система уравнений не имеет решений. Таким образом, в ответ надо включить только решения первой системы.
Ответ: (2; 1); (-2;-1).
Метод введения новых переменных при решении систем двух уравнений с двумя переменными применяется в двух вариантах. Первый вариант: вводится одна новая переменная и используется только в одном
4*
51
2.6. I
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
уравнении системы. Именно так обстояло дело в примере 3. Второй вариант: вводятся две новые переменные и используются одновременно в обоих уравнениях системы. Так будет обстоять дело в примере 4.
Пример 4. Решить систему уравнений 2    3
х-3у 8
2 х + у 9
= 2, = 1.
х-3у 2 х + у Решение. Введем две новые переменные: а =
6 =
Учтем, что тогда
8
х-3 у
- 4а,
= 36.
2х + у    '    х-Зу " ' х ~ Зу
Это позволит переписать заданную систему в значительно более простом виде, но относительно новых переменных а и Ь:
\а + Ь = 2,
[4а - 36 = 1.
Применим для решения этой системы метод алгебраического сложения:
ГЗа + ЗЬ = 6, [4а- 36 = 1.
7а =7; а=1.
Так как а = 1, то из уравнения а + 6 = 2 находим: 1 + 6 = 2; 6=1. Таким образом, относительно переменных а и 6 мы получили одно решение:
[а = 1, [6 = 1.
Возвращаясь к переменным х и у, получаем систему уравнений
2
х-3у 3
2х + у
= 1, = 1,
т.е.
х-3 у = 2, 2х + у = 3.
52
2.6. I
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
Применим для решения этой системы метод алгебраического сложения:
+ Г*-3 у-2, [6х + 3у = 9.
7х = 11; 11
11
И 7 22
Так как х = у, то из уравнения 2* + у = 3 находим: у~3-2х =
= 3-2-у=3- ?
Таким образом, относительно перемен-
ных хиу мы получили одно решение:
11
1

Ответ:
Г11 1
7 ' 7
обратите внимание
равносильность систем уравнений
Завершим этот параграф кратким, но достаточно серьезным теоретическим разговором. Вы уже накопили некоторый опыт в решении различных уравнений: линейных, квадратных, рациональных, иррациональных. Вы знаете, что основная идея решения уравнения состоит в постепенном переходе от одного уравнения к другому, более простому, но равносильному заданному. В предыдущем параграфе мы ввели понятие равносильности для уравнений с двумя переменными. Используют это понятие и для систем уравнений.
Определение. Две системы уравнений с переменными х и у называют равносильными, если они имеют одни и те же решения или если обе системы не имеют решений.
Все три метода (подстановки, алгебраического сложения и введения новых переменных), которые
53

2.6. I
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
мы обсудили в этом параграфе, абсолютно корректны с точки зрения равносильности. Иными словами, используя эти методы, мы заменяем одну систему уравнений другой, более простой, но равносильной первоначальной системе.

А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс

_{Материалы по математике онлайн, задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике скачать}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников
 
Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 
 
Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.