Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс>>Математика: Иррациональные уравнения

Иррациональные уравнения

Сегодняшний наш урок будет посвящен изучению уравнений, у которых переменная стоит под знаком квадратного или другого корня. Мы с вами попробуем на примерах уравнений подробно разобраться и научиться правильно решать иррациональные уравнения.

Естественно, в первую очередь нам необходимо выяснить, какие же уравнения являются иррациональными. Давайте для начала озвучим определение такого уравнения.

Уравнения называются иррациональными, если их переменная стоит под знаком корня.

А теперь давайте приведем примеры иррациональных уравнений и посмотрим, как они выглядят:

Как решаются иррациональные уравнения

Как правило, все иррациональные уравнения решаются в три этапа:

• Во-первых, для начала необходимо уединить корень. Что это значит? То есть, если мы видим, что слева от знака равенства кроме корня есть еще и другие функции или числа, то в этом случае нам необходимо все это перенести вправо и поменять знак. Что же касается левой стороны, то здесь должен остаться лишь радикал и без всяких коэффициентов.

• Во-вторых, нам необходимо возвести в квадрат обе части этого уравнения. Но здесь не мешало бы быть внимательными и помнить, что к области значения корня относятся все неотрицательные числа. Из этого следует, что в иррациональном уравнении функция, которая расположена справа, также должна быть неотрицательной: g(x) ≥ 0.

• В-третьих, и это будет логично, необходимо выполнить проверку. А такая необходимость может возникнуть потому, что на втором этапе при решении уравнения у нас могли появиться лишние корни. А чтобы от этих корней избавиться, нам нужно полученные числа-кандидаты взять и подставить в исходное уравнение. Ну, а потом, естественно, нужно проверить, получилось ли на самом деле верное числовое равенство.

Решение иррационального уравнения

А теперь, на приведенном примере, который был дан вначале нашего урока, попробуем разобраться с таким иррациональным уравнением.

Посмотрев на это уравнение, мы видим, что в нем корень уже уединен, так как слева от знака равенства, кроме корня мы больше ничего не наблюдаем.

Теперь давайте возведем обе стороны этого уравнения в квадрат и смотрим, что в итоге у нас получится:

2x2 − 14x + 13 = (5 − x)2
2x2 − 14x + 13 = 25 − 10x + x2
x2 − 4x − 12 = 0

Теперь, через дискриминант попробуем решить квадратное уравнение, которое у нас получилось:

D = b2 − 4ac = (−4)2 − 4 • 1 • (−12) = 16 + 48 = 64;
x1 = 6; x2 = −2

Вот мы с вами решили уравнение и теперь нам нужно всего лишь в исходное уравнение подставить полученные числа и таким образом выполнить его проверку.

Конечно же, можно поступить, еще более обдумано и итоговое решение, взять и упростить.

Как упростить решение?

А теперь давайте попробуем ответить на вопрос, зачем нам необходимо в конце решения иррационального уравнения делать проверку? На этот вопрос, естественно вы ответите, что проверка необходима для того, чтобы мы могли быть уверены в том, что при выполнении подстановки наших корней с правой стороны от знака равенства, стоит неотрицательное число.

Но ведь, нам и так известно, что в иррациональном уравнении арифметический квадратный корень уже по определению не может быть меньше нуля, поэтому число отрицательным также быть не может.

Тогда возникает вопрос, что же, по сути, нам необходимо проверить? А все очень просто, нам нужно быть уверенными, что функция, которая стоит справа от знака равенства:

g(x) = 5 − x, была, естественно, неотрицательной:

g(x) ≥ 0

С этим мы выяснили, теперь давайте подставим наши корни в эту функцию и получим такой результат:

g(x1) = g(6) = 5 − 6 = −1 < 0
g(x2) = g(−2) = 5 − (−2) = 5 + 2 = 7 > 0

И к какому мы выводу пришли? Подставив корни в функцию, мы видим, что корень x1 = 6 нам совершенно не подходит, так как, подставив его в правую часть исходного уравнения, у нас вышло отрицательное число. Тогда, когда корень x2 = −2 нас вполне устраивает, так как:

• Во-первых, потому, что этот корень и есть решением квадратного уравнения, так как был получен при помощи возведения в квадрат обеих сторон иррационального уравнения.

• Во-вторых, потому, что при подстановке корня x2 = −2, в итоге, правая сторона исходного иррационального уравнения имеет положительное число. А так как это число положительно, то значит, что и область значений арифметического корня не нарушена.

Вот мы с вами и решили алгоритм. Теперь вы видите, что, оказывается, решать уравнения с радикалами, не представляет никакой сложности. При решении таких уравнений во избежание вероятности получения лишних ответов, главное никогда не забывать делать проверку полученных корней.

Исторические факты о иррациональных величинах

А известно ли вам, что в переводе с латыни такое слово, как «иррациональный» звучит, как «неразумный». Но еще интересен тот факт, что параллельно с термином «неразумный» или «иррациональный» математики средневековья иррациональные числа еще нарекали термином «surdus», что в переводе звучало, как «глухой» и «немой». Складывается такое впечатление, что ученые не сильно жаловали иррациональные числа, считая их чем-то «неразумным», что нельзя ни высказать, ни выслушать.

Но, если поначалу математики Древнего мира практически отказывались воспринимать иррациональные числа, то со временем начали проявлять пристальное внимание к таким объектам математики.

А знаете ли вы, что в период бурного развития математических наук и астрономии математики Индии, Ближнего и Среднего Востока, длительное время отвергали иррациональные числа, хотя практически не могли обходиться без иррациональных величин.

А знаете ли вы, откуда появилось такое современное обозначение квадратного корня? Оказывается, начиная с тринадцатого века, длились эволюционные изменения знака радикала. Впервые название квадратному корню дали итальянские математики от латинского слова Radix, что в переводе обозначало корень, а его сокращенным вариантом была буква R.

Домашнее задание

Изучив тему иррациональных уравнений, выполните домашнее задание, решив данные уравнения, и дайте ответы на поставленные вопросы.

1. Решите данное уравнение:

Ответьте на вопросы:

• Как вы думаете, будет ли это уравнение иррациональным?
• Какой у этого уравнения показатель корня? Он будет отрицательным или неотрицательным?
• Какая в этом случае будет формула?
• Как вы будете решать это уравнение?

2. Решите данные уравнения и скажите, какие из них являются иррациональными?

3. Решите уравнение:

Дайте ответы на поставленные вопросы:

• Какое перед вами уравнение и является ли оно иррациональным?
• Какой показатель корня у этого уравнения?
• Как бы вы решали это уравнение?
• Сколько вы получили корней при решении этого уравнения?
• Нужна ли проверка этого уравнения?
• Каким методом можно воспользоваться, чтобы перейти от иррационального уравнения к рациональному?
• Существует ли вероятность появления постороннего корня в этом уравнении?
• Почему необходимо делать проверку корня?
• В каких случаях, при решении иррациональных уравнений проверка корней не требуется?