Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 7 класс. Полные уроки>>Геометрия: Биссектриса угла. Полные уроки

Тема урока

Биссектриса угла

Цели урока

• Пополнить знания школьников о биссектрисе угла и ее свойствах;
• Ознакомить с новой информацией о биссектрисе угла;
• Расширить знания учеников о том, что теорему о свойствах биссектрисы можно доказывать различными способами;
• Развивать логическое мышление, интерес к математическим наукам, настойчивость и способность к анализу.

Задачи урока

• Расширить знания учеников о биссектрисе угла;
• Закрепить навыки построения биссектрисы угла при помощи чертежных инструментов;
• Получить дополнительные и интересные сведения по данной теме;
• Дать сведения о значении теоремы в развитии математики;
• Закрепить полученные знания путем решения задач;
• Воспитывать усидчивость, любознательность и желание изучать математические науки.

План урока

1. Раскрытие главной темы урока о биссектрисе угла;
2. Повторение пройденного материала;
3. Занимательная информация о биссектрисе.
4. Историческая справка, греческая геометрия.
5. Домашнее задание.

Биссектриса угла

Сегодняшний урок мы с вами посвятим теме биссектрисы. Давайте вспомним определения биссектрисы.

Биссектрисой является геометрическое место точек, которые равноудалены от сторон угла.

Если говорить проще, то биссектриса – это линия, разделяющая угол пополам.

Биссектрисой угла называют луч, который выходит из вершины угла и делит его на два других равных угла.

Слово «биссектриса» в переводе с французского языка обозначает, как надвое рассекающая или равноделящая угол пополам.

Биссектриса треугольника

Кроме биссектрисы угла еще бывает биссектриса треугольника, ведь треугольник содержит целых три угла, соответственно каждый треугольник может иметь три разных биссектрисы.

Что же такое биссектриса треугольника? Биссектриса треугольника представляет собой отрезок биссектрисы угла, который в треугольнике соединяет его вершину с точкой на противоположной стороне.

Биссектриса треугольник обладает определенными уникальными свойствами. Так, например, она разделяет противоположную сторону на отрезки, которые являют пропорциональными другим двум сторонам.

А вот в прямоугольном треугольнике его биссектрисы именно острых углов, когда пересекаются, образуют угол именно в 45 градусов.

К тому же, не стоит забывать и такое свойство биссектрис треугольника, как то, что пересекаются они строго в центре вписанного в треугольник круга.

Ну а самое интересное то, что для равнобедренного треугольника линия, проведенная к основанию, является и биссектрисой, и медианой, и высотой. Соответственно и обратное правило, что если медиана, высота и биссектриса, которое проведены из одной вершины треугольника, совпадают, то перед нами равнобедренный треугольник.

А какие вы можете вспомнить свойства прямоугольного и равнобедренного треугольника?

Построение биссектрисы

Биссектрису угла можно построить с помощью транспортира, используя его градусную меру. Чтобы приступить к построению биссектрисы, мы берем и делим градусную меру пополам и, отложив на одной стороне вершины градусную меру половинного угла, и тогда вторая половина становится биссектрисой заданного угла.

Берем заданный угол, который имеет градусную меру в девяносто градусов, и с помощью биссектрисы получаем два построенных угла по 45 градусов.

Развернутый угол при помощи биссектрисы делит угол на два прямых угла. А тупой угол при построении биссектрисы делит его на два острых угла.

Из определения биссектрисы нам известно, что она является лучом, делящим угол пополам. А чтобы построить биссектрису, значит, нужно угол разделить пополам.

Алгоритм построения биссектрисы угла

1. Вначале чертим окружность с центром в вершине угла так, чтобы она пересекала его стороны.

2. Далее делаем замеры циркулем расстояния между точками, где пересекается сторона угла с окружностью.

3. Начертим две окружности радиусом так, чтобы они имели точку пересечения внутри этого угла.

4. Теперь проводим из вершины угла луч таким методом, чтобы он прошел через точку пересечения этих окружностей. Этот луч и является биссектрисой данного угла.

А теперь давайте попробуем доказать, что полученный луч является биссектрисой этого угла. Возьмем на примере двух треугольников, у которых одна сторона общая, то есть отрезок от вершины до точки пересечения окружностей, которую мы получили в 3п.

2-я пара соответствующих сторон – это полученные в 1п., отрезки, которые идут от вершины угла до точек пересечения окружности с его сторонами.

Третья пара соответствующих сторон - это соответственно отрезки, полученные в 1п. от точек пересечения окружности, до точки пересечения окружностей, но полученных в 3п.

Отсюда следует, что 2 пары данных отрезков равны, так как являются радиусами одной или двух окружностей, но с одинаковым радиусом. Следовательно, по всем трем сторонам треугольники равны. Известно, что если треугольники равны, то равны и их углы. Следовательно, что при вершине два новых угла и данных угла по условию задачи равны, из этого следует, что построенный луч является биссектрисой.

Занимательная информация о биссектрисе

А знаете ли вы, что есть такая наука, которая называется мнемоника, что в переводе с греческого языка обозначает искусство запоминания. И чтобы лучше запомнить определение биссектрисы существует такое мнемоническое правило, по которому биссектриса – это крыса, бегающая по углам и делящая угол пополам.

А известно ли вам, что еще Архимед использовал теорему о биссектрисе. Он ее применял для деления основания на части, которые пропорциональны боковым сторонам с целью определения длины полу сторон двенадцати угольника, 24-угольника и т. д.

Легенда о биссектрисе угла

Сказка о двух Углах и Биссектрисе, или Образование Смежного угла.

Однажды два угла повстречались на одной площади. Старшему углу было около 130 градусов, а младшему всего пятьдесят. Так как это сказка, то заменим годы на градусы. Вот они встретились и начали спорить, кто из них лучше и важнее. Старший считал, что приоритет на его стороне, так как он старше, мудрее и больше на своем веку повидал за свои 130°. Младший наоборот твердил, что он моложе, потому сильнее и выносливее. И чтобы спор не длился вечность, они решили провести турнир. Об этих состязаниях узнала Биссектриса и решила победить своих врагов одновременно и стать во главе Геометрии.

И вот настало долгожданное время турнира, на котором присутствовали два Угла. В момент полного разгара сражений появилась Биссектриса и решила принять участие. Но тут в бой с Биссектрисой вступил вначале старший Угол, затем подтянулся и младший, и победа все равно оказалась на стороне Биссектрисы.

Биссектриса была счастлива, представляя себя в роли правительницы. Но старший Угол с младшим сдаваться не собирались и решили проучить заносчивую злодейку.

Биссектриса, радуясь и торжествуя победу, даже не заметила, что вместо двух ее противников появился Смежный угол, который в один момент победил Биссектрису.

С того момента Биссектрисе пришлось служить королю, а два Угла стали одним целым со Смежным Углом и яро защищают Геометрию от всяких врагов.