Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс>>Математика: Теорема Виета)

Теорема Виета

На этом уроке мы с вами будем знакомиться с зависимостью между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами, которые были обнаружены благодаря французскому математику Франсуа Виету.

Если приведенное квадратное уравнение имеет действительные корни, то их сумма равна -p, а произведение равно q, то есть

Формулировка теоремы Виета звучит так:

Сумма корней приведенного квадратного трехчлена равна его второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение - свободному члену.

В случае неприведенного квадратного уравнения формулы Виета имеют вид:

В общем случае квадратного уравнения (1) теорема Виета формулируется так: если x1 и x2 – корни уравнения (1), и имеет вид:

Роль теоремы Виета заключается в том, что, не зная корней квадратного трехчлена, мы легко можем вычислить их сумму и произведение, то есть простейшие симметричные многочлены от двух переменных х1 +х2 и х1х2 . Благодаря теореме Виета появляется возможность угадывать целые корни квадратного трехчлена.

Пример. С помощью теоремы Виета попробуем найти корни уравнения:

х2 – 5х + 6 = 0

Решение. Согласно теореме Виета, имеем, что

х1 + х2 = 5

х1х2 = 6

Теперь давайте подберем значения х1 и х2 которые удовлетворяют этим равенствам. Мы видим, что ими оказываются соответствующие значения:

х1 = 2 и х2 = 3

Вот мы и получили ответ.

Обратная теорема Виета

А вот так выглядит обратная теорема Виета

Историческая справка о Франсуа Виете

В шестнадцатом веке во Франции родился знаменитый математик и создатель знаменитой теоремы - Франсуа Виет. И хотя Виет по образованию был юристом, но все свое свободное время он посвящал занятиям математикой. Отдавая все свое время любимому занятию, Виет умудрился детально изучить труды всех известных математиков, как древних, так и современников и благодаря таким познаниям сумел разработать элементарную алгебру.

Он разработал уже известные формулы Виета, дающие зависимость между корнями и коэффициентами уравнения и ввел для них буквенные обозначения.

Интересные факты

• А вы знаете, что Франсуа Виет, разработавший практически всю элементарную алгебру, был на самом деле юристом! В возрасте двадцати лет он начал практиковать адвокатуру, а позже перешел на работу секретарем в знатную семью и начал преподавать математику. Именно благодаря преподаванию Виет нашел свое призвание в математике. Именно он ввел в понятие алгебры символьные величины, даже если они были известны.

• А известно ли вам, первым человеком, который предложил обозначать десятичные дроби с помощью запятой, также был Франсуа Виет. А до того времени дроби имели довольно сложное изображение, ведь первоначально чтобы изобразить такую дробь, как 0,3469, нужно было написать целую непонятную абракадабру, которая выглядела так: 3(1)4(2)6(3)9(4).

• Франсуа Виет был так увлечен математикой, что мог работать без сна больше трех суток.

• А еще Франсуа Виет был тем человеком, который ввел буквенные обозначения для величин и неизвестных. Благодаря этому он зародил мысль и внедрил в науку возможность выполнения алгебраических преобразований над символами и вывел такое понятие, как формула.