Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс. Полные уроки>>Геометрия: Ромб. Полные уроки

Тема урока

• Ромб

Цели урока

• Образовательные – повторение, обобщение и проверка знаний по теме: “Ромб как геометрическая фигура ”; выработка основных навыков.
• Развивающие – развить внимание учащихся, усидчивость, настойчивость, логическое мышление, математическую речь.
• Воспитательные - посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.

Задачи урока

• Формировать навыки в построении ромба с помощью масштабной линейки, транспортира и чертежного треугольника.
• Проверить умение учащихся решать задачи.

План урока

1. Повторение освоенного материала.
   
2. Раскрытие главное темы урока, определение геометрической фигуры.
   
3. Свойства и признаки ромба.

Повторение

 Четырёхугольник — это многоугольник, содержащий четыре вершины и четыре стороны.

 Четырёхугольник, геометрическая фигура — многоугольник с четырьмя углами, а также всякий предмет, устройство такой формы.

Две несмежные стороны четырехугольника называются противоположными . Две вершины, не являющиеся соседними, называются также противоположными.

Четырехугольники бывают выпуклые (как ABCD) и невыпуклые (A₁B₁C₁D₁).

Виды четырёхугольников

• Параллелограмм — четырёхугольник, у которого все противоположные стороны параллельны;
  
• Прямоугольник — четырёхугольник, у которого все углы прямые;
  
• Ромб — четырёхугольник, у которого все стороны равны;
  
• Квадрат — четырёхугольник, у которого все углы прямые и все стороны равны;
  
• Трапеция — четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны;
  
• Дельтоид — четырёхугольник, у которого две пары смежных сторон равны.
  
  

Параллелограмм

 Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

 Параллелогра́мм (от греч. parallelos — параллельный и gramme — линия)  т. е. лежат на параллельных прямых. Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.

Прямоугольник

 Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

Квадрат

 Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

Трапеция

 Трапецией называется четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, а две другие непараллельны.

Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а непараллельные стороны — боковыми сторонами. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией.

Трапеция называется равнобедренной (или равнобокой), если ее боковые стороны равны.

Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.

Дельтоид

 Дельтоид — четырёхугольник, обладающий двумя парами сторон одинаковой длины. В отличие от параллелограмма, равными являются не противоположные, а две пары смежных сторон. Дельтоид имеет форму, похожую на воздушного змея.

Дельтоид выпуклый

Дельтоид невыпуклый

Понятие площади и периметра

 Периметр (др.-греч. περίμετρον — окружность, др.-греч. περιμετρέο — измеряю вокруг) — общая длина границы фигуры, чаще всего на плоскости). Имеет ту же размерность величин, что и длина. Иногда периметром называют границу геометрической фигуры.

 Площадь — численная характеристика двумерной (плоской или искривлённой) геометрической фигуры, неформально говоря, показывающая размер этой фигуры.

Ромб

Теоретическая часть

Определение

 Ромб - равносторонний параллелограмм, с неравными углами, но равными сторонами.

 Ромб - равносторонний четырехугольник, у которого два противоположные угла тупые и другие два, также противоположные, острые.

 Ромб - параллелограмм, все стороны которого равны между собою.

 Ромб - четырехугольник, все стороны которого равны и противоположные углы попарно (два тупых и два острых) равны также.

 Ромб - равносторонний косоугольник в отличие от квадрата.

 Ромб, фигура на плоскости, четырехугольник с равными сторонами.

 Ромб - равносторонний, косой четвероугольник, как бы сдвинутый набок квадрат.

Как всегда мы получаем множество определений той или иной геометрической фигуры, но это не означает что каждый ученик должен сесть и "зазубрить" их. Отличие в определениях это насколько широко они описывают нашу фигуру. Самое главное это понимание о чем говориться в определении и возможность представить фигуру. Я уверен что если Вы будете придерживаться этих двух правил то и сами сможете написать или дополнить парочку определений.

Свойства ромба

Ромб обладает всеми свойствами параллелограмма:

1. Противолежащие стороны равны.
2. Противоположные углы равны.
3. Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
4. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°.
5. Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон.

• диагонали перпендикулярны;
• диагонали являются биссектрисами его углов.

Признаки ромба

• Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то параллелограмм - ромб.
• Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то параллелограмм - ромб.

Рассмотрим подробней его свойства и признаки.

Как частный случай параллелограмма ромб имеет все его свойства, но есть и частные. Запишем их:

 Теорема. Диагонали ромба перпендикулярны.

Для доказательства достаточно увидеть, что все четыре треугольника, на которые ромб разбивается диагоналями, равны по трем сторонам (стороны равны, диагонали точкой пересечения делятся пополам). Т.е. углы АОВ, ВОС, СОD, DОА равны, а в сумме они составляют 360 градусов, поэтому каждый из них по 90.

 Теорема. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.
Для доказательства достаточно увидеть, что все четыре треугольника, на которые ромб разбивается диагоналями, равны по трем сторонам (стороны равны, диагонали точкой пересечения делятся пополам). Поэтому равны и соответственные углы. Например, ΔАВО=ΔСВО

Признаки, с помощью которых можно доказать, что данный параллелограмм - ромб:

 Теорема. Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то он - ромб.

Для доказательства достаточно увидеть, что все четыре треугольника, на которые ромб разбивается диагоналями, прямоугольные и равны по двум катетам (диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам). Поэтому равны и их гипотенузы, т.е. все стороны параллелограмма равны между собой.

 Теорема. Если в параллелограмме диагонали являются биссектрисами его углов, то он - ромб.

Для доказательства достаточно увидеть, что все четыре треугольника, на которые ромб разбивается диагоналями, равны по стороне и двум углам (противоположные углы ромба равны, значит и их половины равны). Для треугольников АВО и СВО - ВО - общая, углы АВО и СВО равны и ВАО и ВСО равны (как половины противоположных углов). Поэтому равны и их соответственные стороны, т.е. все стороны параллелограмма равны между собой.

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны. Квадрат является также частным случаем ромба.

Свойства квадрата.

1. У квадрата все углы прямые.
2. Диагонали квадрата равны.
3. Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов.
   

Площадь ромба

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Поскольку ромб является параллелограммом, его площадь также равна произведению его стороны на высоту.

Кроме того площадь ромба может быть вычислена по формуле:

где  — угол между двумя смежными сторонами ромба.

Также площадь ромба можно расчитать по формуле, где присутствует радиус вписанной окружности и угол :

Интересный факт

Возникновение тригонометрии.

Тригонометрия возникла как аппарат для вычисления неизвестных параметров треугольника по заданным значениям других его параметров.

Так, методами тригонометрии по данным сторонам треуголь­ника можно вычислить его углы, по известной площади и двум углам вычислить стороны и т.д.

Необходимость отыскивать неизвестные параметры данного треугольника впервые возникла в астрономии, и в течение долгого времени тригонометрия была одним из разделов астрономии.

Первые методы нахождения неизвестных параметров данного треугольника были развиты учеными Древней Греции за несколько веков до новой эры.

Греческие астрономы не рассматривали синусов, косину­сов и тангенсов. Вместо таблиц этих величин они составили и исполь­зовали таблицы, позволяющие отыскивать хорду окружности по стягиваемой ею дуге.

Дальнейшее развитие тригонометрия получила в средние века в работах индийских и арабских ученых.

Тригонометрические часы

Современные буквен­ные обозначения появились в тригонометрии в середине XVIII века. Приблизительно в то же время в тригонометрии стали рассматриваться радианные меры углов, были введены тригонометрические и обратные тригонометрические функции числового аргумента, после чего тригоно­метрия приобрела свой современный вид.

Вопросы

1. Какими свойствами обладает ромб?
2. В чем разница между свойствами и признаками?
3. Почему квадрат является частным случаем ромба?

Список использованных источников

1. Уроки геометрии Кирилла и Мефодия. 8 класс (2006)
2. Геометрия. 8 класс. Комплексная тетрадь. Стадник Л.Г.
3. Урок на тему "Золотой прямоугольник" Автор: Кузнецов А. В., учитель математики (5-9 класс), г. Киев
4. А.Г. Цыпкин. Справочник по математике, Москва «Наука».

Над уроком работали

Потурнак С.А.

Кузнецов А.В.

Поставить вопрос о современном образовании, выразить идею или решить назревшую проблему Вы можете на Образовательном форуме, где на международном уровне собирается образовательный совет свежей мысли и действия. Создав блог, Вы не только повысите свой статус, как компетентного преподавателя, а и сделаете весомый вклад в развитие школы будущего. Гильдия Лидеров Образования открывает двери для специалистов  высшего ранга и приглашает к сотрудничеству в направлении создания лучших в мире школ.