Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс. Полные уроки>>Геометрия: Свойство диагоналей параллелограмма. Полные уроки

Тема урока

• Свойство диагоналей параллелограмма.

Цели урока

• Познакомиться с новыми определениями и вспомнить некоторые уже изученные.
• Сформулировать и доказать свойство диагоналей параллелограмма.
• Научиться применять свойства фигур при решении задач.
• Развивающие – развить внимание учащихся, усидчивость, настойчивость, логическое мышление, математическую речь.
• Воспитательные - посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.

Задачи урока

• Проверить умение учащихся решать задачи.

План урока

1. Вступительное слово.
2. Повторение ранее изученного материала.
3. Параллелограмм, его свойства и признаки.
4. Примеры задач.
5. Самостоятельная проверка.

Введение

«Крупное научное открытие дает решение крупной проблемы, но и в решении любой задачи присутствует крупица открытия».

Венгерский математик Дьердье Пойа.

Геродота от Фукидида, родившегося около 460 г. до н. э.

Рассказ Геродота позволяет утверждать о наличии геометрических знаний в Египте более 4000 лет назад. Но до нас дошли не только воспоминания очевидцев о развитии математики в Египте. Сохранились и подлинные памятники египетской математики. Самым древним из них является папирус, написанный примерно в 1900 г. до н.э.В настоящее время он находится в Московском музее изобразительных искусств им. А.С. Пушкина. В нем среди 25 задач математического содержания семь геометрических.

Московскому папирусу несколько уступает по возрасту папирус Ахмета. Он называется так по имени его египетского составителя и относится примерно к 1700 г. до н.э. Этот папирус хранится в Лондоне в Британском музее. В папирусе рассмотрены 84 прикладные задачи, в том числе 20 геометрических. Из них видно, что египтяне умели вычислять площадь квадрата, прямоугольника и трапеции, что ими была установлена формула, которая дает хорошее приближение к истинному значению площади круга. Развитие зачатков геометрии было связано и с потребностями строительства.

У жителей Египта был развит культ мертвых. Египтяне верили, что душа когда-нибудь вернется к умершему, поэтому его тело необходимо сохранить, забальзамировав и поместив в надежную гробницу. А так как человеку в загробном царстве понадобятся вещи, которыми он пользовался при жизни, в гробницу ставили мебель с посудой, укладывали одежду, оружие, украшения и даже музыкальные инструменты. Самые величественные гробницы для правителей Египта — фараонов — строились в виде гигантских пирамид из каменных блоков. Они считались символом вечности, поэтому египтяне с гордостью говорили: «Все подвластно времени, но само время боится пирамид». Ко времени строительства пирамид и относят зарождение практической геометрии, которая с течением времени постепенно развилась в науку.

Слово «геометрия» пришло к нам из Греции. Оно составлено из двух слов: «гео», что в переводе на русский язык означает «земля», и «метрио» — «мерю». Само слово «геометрия» указывает на практическое происхождение науки.

Но однажды им пришлось устыдиться, потому что пришелец из далекой Греции оказался намного искуснее их. Египтяне задали ему трудную задачу: определить высоту пирамиды. Он нашел простое и красивое решение- воткнул длинную палку вертикально в землю и сказал: «Когда тень от палки будет равна ее длине, тогда тень от пирамиды будет иметь, ту же длину, что и высота пирамиды». Фараон и его приближенные были изумлены,- как точно и быстро, без специальных приборов северный пришелец решил трудную задачу. Это был Фалес Милетский.

Основные понятия

Известны некоторые виды параллелограмма: 

1. Прямоугольник.
2. Ромб.
3. Квадрат.

Прямоугольник - параллелограмм, все углы которого прямые. Прямоугольник имеет все свойства параллелограмма, но так же  имеет свое собственное: Диагонали прямоугольника равны.

Прямоугольник

Ромб - параллелограмм, все стороны которого равны. Ромб обладает очень важным индивидуальным свойством: Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

Ромб

Слово «ромб» тоже греческого происхождения, оно означало в древности вращающееся тело, веретено, юлу. Ромб связывали первоначально с сечением, проведенным в обмотанном веретене.

Квадрат - равносторонний прямоугольник (или параллелограмм, у которого все углы прямые, стороны равны между собой; или ромб, у которого все углы прямые). Так как квадрат является и ромбом, и прямоугольником, и  параллелограммом он имеет все свойства вышеперечисленных фигур.

Квадрат

Термин «квадрата» происходит от латинского quadratum (quadrare - сделать четырехугольным), перевод с греческого “тетрагонон” - четырехугольник.

Свойства параллелограмма

Свойство противолежащих сторон параллелограмма

У параллелограмма противолежащие стороны равны.

Доказательство.

Пусть ABCD – данный параллелограмм. И пусть его диагонали пересекаются в точке O.
Так как Δ AOB = Δ COD по первому признаку равенства треугольников (∠ AOB = ∠ COD, как вертикальные, AO=OC, DO=OB, по свойству диагоналей параллелограмма), то AB=CD. Точно также из равенства треугольников ВОС и DOA, следует что BC=DA. Теорема доказана.

Свойство противолежащих углов параллелограмма

У параллелограмма противолежащие углы равны.

Доказательство.

Пусть ABCD – данный параллелограмм. И пусть его диагонали пересекаются в точке O.
Из доказанного в теореме о свойства противолежащих сторон параллелограмма Δ ABC = Δ CDA по трем сторонам (AB=CD, BC=DA из доказанного, AC – общая). Из равенства треугольников следует, что ∠ ABC = ∠ CDA.
Так же доказывается, что ∠ DAB = ∠ BCD, которое следует из ∠ ABD = ∠ CDB. Теорема доказана.

Свойство диагоналей параллелограмма

Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Доказательство.

Пусть ABCD – данный параллелограмм. Проведем диагональ AC. Отметим на ней середину O. На продолжении отрезка DO отложим отрезок OB₁, равный DO.
По предыдущей теореме AB₁CD – параллелограмм. Поэтому, прямая AB₁ параллельна DC. Но через точку A можно провести только одну прямую, параллельную DC. Значит, прямая AB₁ совпадает с прямой AB.
Также доказывается, что BC₁ совпадает с BC. Значит, точка С совпадает с С₁. параллелограмм ABCD совпадает с параллелограммом AB₁CD. Следовательно, диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Теорема доказана.

В учебниках для обычных школ (например, в Погорелове) доказывается она так: диагонали делят параллелограмм на 4 треугольника. Рассмотрим одну пару и выясним - они равны: основания у них - противоположные стороны, прилежащие к нему соответствующие углы равны как вертикальные при параллельных прямых. То есть отрезки диагоналей попарно равны. Всё.

Всё ли?
Выше доказано, что точка пересечения делит диагонали пополам - если существует. Само её существование приведённое рассуждение не доказывает ни в коей мере. То есть часть теоремы "диагонали параллелограмма пересекаются" остаётся недоказанной.

Забавно, что доказать эту часть намного сложнее. Следует это, кстати, из более общего результата: у любого выпуклого четырёхугольника диагонали будут пересекаться, у любого невыпуклого - не будут.

Диагонали параллелограмма - одно из очень красивых мест школьной математики. Вроде бы всё совершенно очевидно на первый взгляд - но попробуй доказать.

Примеры решения задач

Задача №1

В параллелограмме АВСD на диагональ АС опущен перпендикуляр ВО. Найдите площадь параллелограмма, если АО=8, ОС=6 и ВО=4.

Решение.
Опустим на диагональ АС дополнительно еще один перпендикуляр DK.
Соответственно, треугольники AOB и DKC, COB и AKD попарно равны. Одна из сторон является противолежащей стороной параллелограмма, один из углов - прямой, так как является перпендикуляром к диагонали, а один из оставшихся углов является внутренним накрест лежащим для параллельных сторон параллелограмма и секущей диагонали.

Таким образом, площадь параллелограмма равна площади указанных треугольников. То есть
S_паралл = 2S_AOB +2S_BOC

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. Откуда
S = 2 ( 1/2 8 * 4 ) + 2 ( 1/2 6 * 4 ) = 56 см²
Ответ: 56 см².

Задача №2

В параллелограмме ABCD диагональ BD = 6 см и образует со сторонами AD и DC углы по 60 градусов. Определите углы и периметр параллелограмма ABCD.

Решение.

Поскольку нам дана величина угла ADB (диагональ параллелограмма образует со сторонами AD и DC углы по 60 градусов), то величина угла DBC также равна 60 градусов, поскольку противоположные стороны параллелограмма параллельны, соответственно диагональ является секущей для двух параллельных прямых AD и BC, а для любой секущей внутренние накрест лежащие углы равны.

Таким образом, в треугольнике BCD нам известны два угла из трех, и они оба равны 60 градусов. Соответственно, поскольку сумма углов треугольника равна 180 градусов, то угол BCD также равен 60 градусам, из чего следует, что треугольник BCD - равносторонний.

Поскольку треугольник BCD - равносторонний, то BC = CD = BD = 6 см.

Таким образом, поскольку противолежащие стороны параллелограмма равны, периметр его равен 24 см. Параллелограмм является ромбом.

Задача №3

На диагонали МР прямоугольника МNРQ отложены равные отрезки МА и РВ. Докажите, что АNBQ параллелограмм.

Решение.

Четырехугольник является параллелограммом, если его противоположные стороны попарно равны. Докажем это.

Исходя из условия задачи треугольники MAN и PBQ равны. Так как PB = AM по условию задачи, PQ = NM как противоположные стороны прямоугольника, а углы BPQ и NMA равны, как внутренние накрест лежащие для параллельных прямых NP и MQ и секущей MP.

Аналогично доказывается равенство треугольников NBP и QAM.

Поскольку описанные треугольники равны, то NA = BQ,  NB = BQ.

Таким образом, поскольку противолежащие стороны равны, то АNBQ параллелограмм.

Задача №4

Попробуйте составить квадрат из набора палочек: 6 шт. по 1 см, 3 шт. по 2 см, 6 шт. по 3 см и 5 шт. по 4 см. Ломать палочки и накладывать одну на другую нельзя.

Подсказка: Попробуйте определить длину стороны искомого квадрата.

Решение.

Такой квадрат составить нельзя, поскольку его периметр должен быть 50 см, т.е. стороны не являются целыми числами.

Ответ: Этого сделать нельзя.

Самостоятельная проверка

1. Один из углов параллелограмма равен 54°. Найдите другие его углы.
2. Периметр параллелограмма равен 92 см. Одна из его сторон на 32 см больше другой. Найдите стороны параллелограмма.
3. Найдите углы параллелограмма, если два его угла относятся как 3:2.
4. Один из углов параллелограмма равен 113°. Найдите другие его углы.
5. Найдите стороны параллелограмма, если две его стороны относятся как 4:5, а периметр равен 72 см.
6. В параллелограмме ABCD  диагональ BD образует  со стороной CD угол  34°. Найдите углы, BCD и ADB, если угол ABC=72°.
   

Интересный факт

Фалеса из города Милета.

Фалеса из города Милета в Малой Азии, родившегося в VI в. до н.э., считают отцом греческой математики. Фалес прожил долгую и, несомненно, яркую жизнь. Его родители принадлежали к торговой аристократии. В молодости Фалес был купцом и путешественником, а в старости считался одним из семи величайших греческих мудрецов. Отправившись по торговым делам в Египет, он пробыл там несколько лет и настолько глубоко изучил достижения египетских жрецов, что вскоре превзошел их в знаниях.

Будучи философом, он стремился разумно, логически объяснять все явления. Применяя этот подход к математике, он требовал не только ограничиваться формулировкой тех или иных утверждений, но и находить их доказательства. С именем Фалеса Милетского связывается появление доказательств некоторых теорем геометрии. К их числу относятся:

— теорема о равенстве вертикальных углов;

— о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника;

— о равенстве треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников) и другие.

Теореме о равенстве двух треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам Фалес нашел важное практическое применение. В гавани Милета был построен дальномер, определяющий расстояние до корабля в море. Он представлял собой три вбитых колышка А, В и С (АВ = ВС) и размеченную прямую СК, перпендикулярную .СА. При появлении корабля на прямой СК находили точку D такую, чтобы точки D, .В и Е оказывались на одной прямой. Как ясно из чертежа, расстояние CD на земле является искомым расстоянием до корабля.

Вопросы

1. Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам?
   
2. Диагонали параллелограмма равны?
3. Противолежащие углы параллелограмма равны?
4. Сформулируйте определение параллелограмма?
5. Сколько признаков параллелограмма?
   
6. Может ли ромб быть параллелограмом?
   

Список использованных источников

1. Кузнецов А. В., учитель математики (5-9 класс), г. Киев
2. «Единый государственный экзамен 2006. Математика. Учебно-тренировочные материалы для подготовки учащихся/ Рособрнадзор, ИСОП – М.: Интеллект-Центр, 2006»
3. Мазур К. И. «Решение основных конкурсных задач по математике сборника под редакцией М. И. Сканави»
4. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина «Геометрия, 7 – 9: учебник для общеобразовательных учреждений»

Над уроком работали

Кузнецов А. В.

Потурнак С.А.

Евгений Петров

Поставить вопрос о современном образовании, выразить идею или решить назревшую проблему Вы можете на Образовательном форуме, где на международном уровне собирается образовательный совет свежей мысли и действия. Создав блог, Вы не только повысите свой статус, как компетентного преподавателя, а и сделаете весомый вклад в развитие школы будущего. Гильдия Лидеров Образования открывает двери для специалистов  высшего ранга и приглашает к сотрудничеству в направлении создания лучших в мире школ.