Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс. Полные уроки>>Геометрия: Перпендикуляр и наклонная. Полные уроки

Тема урока

• Перпендикуляр и наклонная.

Цели урока

• Познакомиться с новыми определениями и вспомнить некоторые уже изученные.
• Научиться применять свойства фигур при решении задач.
• Разобраться в некоторых простых на первый взгляд понятиях и определениях.
• Развивающие – развить внимание учащихся, усидчивость, настойчивость, логическое мышление, математическую речь.
• Воспитательные - посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.

Задачи урока

• Проверить умение учащихся решать задачи.
• Научится правильно воспринимать информацию.
• Рассмотреть основы по теме перпендикуляр и наклонная.

План урока

1. Вступительное слово.
2. Повторение ранее изученного материала.
3. Перпендикуляр и наклонная.
4. Примеры решения задач.

Вступительное слово

Не для кого не секрет что вся элементарная геометрия пришла к нам в основном с Египта и Греции. В далекие и древние времена геометрия использовалась как наука для измерения земли, а также очень тесно при строительстве. Все теоремы, законы и аксиомы выводили и доказывали что бы облегчить измерительные или строительные работы. Сегодняшняя тема была очень важна для людей того времени так как перпендикуляр и наклонная основные ориентиры при работе такого типа.

Существует много гипотез относительно техники строительства египетских пирамид. Очевидным является то, что техника эта менялась со временем, т.е. более поздние пирамиды строились иначе, нежели более ранние. Большая часть гипотез исходит из того, что блоки вырубались в карьерах с помощью пробойников, зубил, долот, тёсел и т.п., основным материалом при изготовлении которых была медь. Соответственно, добытый материал должен был быть каким-то образом доставлен к месту строительства и установлен. Расхождения между различными гипотезами касаются, в основном, методов доставки и установки блоков, а также оценок сроков строительства и потребности в рабочей силе.

Техника строительства Великих пирамид по Геродоту

Нашим единственным письменным источником, в котором описывается процесс строительства пирамид, служит II книга «Истории» Геродота, посетившего Египет ок. 450 г. до н. э. Не говоря на языке египтян, Геродот должен был делать записи со слов греческих поселенцев, проживавших в стране, а также — через переводчиков — со слов представителей египетского жречества. О том, как строили Великие пирамиды две тысячи лет назад до него, ему определённо было трудно узнать, поскольку это вряд ли было известно и самим египтянам.

Одни были обязаны перетаскивать к Нилу огромные глыбы камней из каменоломен в Аравийских горах (через реку камни перевозили на кораблях), а другим было приказано тащить их дальше до так называемых Ливийских гор. Сто тысяч людей выполняло эту работу непрерывно, сменяясь каждые три месяца. Десять лет пришлось измученному народу строить дорогу, по которой тащили эти каменные глыбы, — работа, по-моему, едва ли не столь же огромная, как и постройка самой пирамиды. Сооружение же самой пирамиды продолжалось двадцать лет.

Другие теории изготовления блоков и их установки

Существует также теория о том, что сами блоки из которых состоит пирамида, были изготовлены при помощи опалубки. На предыдущем ярусе устанавливалась опалубка прямоугольной формы, в которую затем заливался растворообразный состав. Застывший блок сам служил опалубкой для следующих блоков растущего яруса. Составные части раствора относительно легко могли быть доставлены силами многочисленных рабов без применения сложной техники.

Такая теория хорошо объясняет идеальную подгонку стен отдельных блоков.

Альтернативные гипотезы

Ряд авторов выдвигают гипотезы постройки пирамид другими развитыми цивилизациями, либо земными, которые потом исчезли, либо инопланетными. Также одним из обществ египтологов-любителей была выдвенута теория, согласно которой огромные каменные глыбы перемещались с помощью воздушных змеев. Египтологи не рассматривают такие гипотезы всерьёз.

Перпендикуляр и наклонная

И так начнем с простейшего и давайте повторим что такое перпендикуляр и наклонная.

Перпендикулярные прямые

Определение. Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

Перпендикулярность прямых обозначается знаком ⊥ Запись а ⊥ b читается: Прямая а перпендикулярна прямой b.

Теорема. Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну.

Доказательство.
Пусть а — данная прямая и А — данная точка на ней. Обозначим через ах одну из полупрямых прямой а с начальной точкой А. Отложим от полупрямой а₁ угол  (a₁b₁), равный 90°.
Тогда прямая, содержащая луч b₁, будет перпендикулярна прямой а.

Допустим, что существует другая прямая, проходящая через точку А и перпендикулярная прямой а. Обозначим через с₁ полупрямую этой прямой, лежащую в одной полуплоскости с лучом b₂. Углы (a₁b₁) и (a₁c₁), равные каждый 90°, отложены в одну полуплоскость от полупрямой а₁. Но от полупрямой а₁ в данную полуплоскость можно отложить только один угол, равный 90°. Поэтому не может быть другой прямой, проходящей через точку А и перпендикулярной прямой а.

Теорема доказана.

Наклонные прямые

Наклонная прямая — это плоская поверхность, установленная под углом, отличным от прямого или нулевого, к горизонтальной поверхности.

Наклонная плоскость позволяет преодолевать значительное сопротивление, прилагая сравнительно малую силу на большем расстоянии, чем то, на которое нужно поднять груз.

Наклонная плоскость — один из широко известных простых механизмов.

Пандусы, или наклонные плоскости, широко использовались при строительстве ранних каменных сооружений, дорог и акведуков. Также они применялись при штурме военных укреплений.

Эксперименты с наклонными плоскостями помогли средневековым физикам (таким, как Галилео Галилей) изучить законы природы, связанные с гравитацией, массой, ускорением и т. д.

Простейшие механизмы — устройства, служащие для преобразования силы. Представляют собой элементы более сложных механизмов. Некоторые из простейших механизмов появились в глубокой древности.

Простейшие механизмы какие работают с помощью наклонной плоскости:

• Клин — позволяет увеличить давление за счёт концентрации массы на малой площади. Используется в копье, лопате, пуле и др.
• Винт — используется в шурупах, для подъёма воды (Архимедов винт), в качестве сверла в дрелях, отбойных молотках и др.

Перпендикуляр и наклонная

Перпендикуляром, опущенным из данной точки данную плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости. Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра.

Наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, не являющийся перпендикуляром к плоскости. Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной. Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.

AB – перпендикуляр к плоскости α.
AC – наклонная, CB – проекция наклонной АС на плоскость α.
С – основание наклонной, B - основание перпендикуляра.

Задача №1

Условие:

Опустим перпендикуляр. Можете ли Вы опустить из данной точки A вне прямой l опустить перпендикуляр на эту прямую, проводя не более трех линий? (Третьей прямой должен быть перпендикуляр).

Решение:

Выбираем любую точку на заданной прямой l, задаемся радиусом к точке А и проводим окружность. Повторяем те же действия для второй окружности, пересечение окружностей друг с другом дает нам перпендикуляр к заданной прямой.

Действительно проведено три линии: две окружности и вертикальная прямая AA₁.

Задача №2

Условие:

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC, равным 37, внешний угол при вершине B равен 60^o. Найдите расстояние от вершины C до прямой AB.

Подсказка:

Катет, лежащий против угла в 30^o, равен половине гипотенузы.

Решение:

Пусть K — основание перпендикуляра, опущенного из точки C на прямую AB. Поскольку

∠А + ∠С = 60^о , ∠А = ∠С

∠А = 30^о

Ответ: 18,5.

Задача №3

Условие:

Найдите диагональ прямоугольника со сторонами 5 и 12.

Подсказка:

Теорема Пифагора

Ответ: 13.

Интересный факт

Машины и Механизмы.

Машины и Механизмы, механические устройства, облегчающие труд и повышающие его производительность. Машины могут быть разной степени сложности – от простой одноколесной тачки до лифтов, автомобилей, печатных, текстильных, вычислительных машин. Энергетические машины преобразуют один вид энергии в другой. Например, генераторы гидроэлектростанции преобразуют механическую энергию падающей воды в электрическую энергию. Двигатель внутреннего сгорания преобразует химическую энергию бензина в тепловую, а затем в механическую энергию движения автомобиля.

Зубчатая передача — это механизм или часть механизма, в состав которого входят зубчатые колёса..

Назначение:

• передача вращательного движения между валами, которые могут иметь параллельные, пересекающиеся и скрещивающиеся оси.
• преобразование вращательного движения в поступательное и наоборот.

При этом усилие от одного элемента к другому передаётся с помощью зубьев. Зубчатое колесо передачи с меньшим числом зубьев называется шестернёй, второе колесо с большим числом зубьев называется колесом. Пара зубчатых колёс имеющих одинаковое число зубьев в этом случае ведущее зубчатое колесо называется шестернёй, а ведомое — колесом.

Архимедов винт, винт Архимеда — механизм, исторически использовавшийся для передачи воды из низколежащих водоёмов в оросительные каналы. Он был одним из нескольких изобретений и открытий, традиционно приписываемых Архимеду, жившему в III веке до н. э. Архимедов винт стал прообразом шнека.

Винт вращается обычно с помощью ветряного колеса либо вручную. В то время, как поворачивается нижний конец трубы, он собирает некоторый объём воды. Это количество воды будет скользить вверх по спиральной трубе во время вращения вала, пока наконец вода не выльется из вершины трубы, снабжая ирригационную систему.

Вопросы

1. Что такое перпендикуляр?
2. Какая линия называется наклонной?
3. Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам?
4. Диагонали квадрата равны?
5. Где используется на практике наклонная плоскость?
6. Какая фигура называется прямоугольником?

Список использованных источников

1. «Строители Пирамид» Заметки д-ра З. Хавасса
2. Перепелкин Ю. Я. История Древнего Египта.— СПб.: «Летний сад», 2000.
3. Кобычева Марина Викторовна, учитель математики
4. Мазур К. И. «Решение основных конкурсных задач по математике сборника под редакцией М. И. Сканави»

Над уроком работали

Потурнак С.А.

Кобычева Марина Викторовна

Поставить вопрос о современном образовании, выразить идею или решить назревшую проблему Вы можете на Образовательном форуме, где на международном уровне собирается образовательный совет свежей мысли и действия. Создав блог, Вы не только повысите свой статус, как компетентного преподавателя, а и сделаете весомый вклад в развитие школы будущего. Гильдия Лидеров Образования открывает двери для специалистов  высшего ранга и приглашает к сотрудничеству в направлении создания лучших в мире школ.