Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс. Полные уроки>>Геометрия: Теорема о пропорциональных отрезках. Полные уроки

Тема урока

• Теорема о пропорциональных отрезках.

Цели урока

• Познакомиться с новыми определениями и вспомнить некоторые уже изученные.
• Научиться применять свойства фигур при решении задач.
• Развивающие – развить внимание учащихся, усидчивость, настойчивость, логическое мышление, математическую речь.
• Воспитательные - посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.

Задачи урока

• Проверить умение учащихся решать задачи.

План урока

1. Исторический факт, геометр Фалес.
2. Повторение ранее изученного материала.
3. Теорема о пропорциональных отрезках.
4. Примеры задач.
5. Задания для самостоятельной проверки.

Исторический факт, геометр Фалес

Древнегреческий философ и математик из Милета (Малая Азия)

Деятельность

Сведения о конкретных событиях жизни Фалеса скудны и противоречивы, имеют анекдотичный характер.

Как сообщают, будучи военным инженером на службе у царя Лидии Креза (или во время одного из путешествий), Фалес, чтобы облегчить переправу войска, пустил реку Галис по новому руслу. Неподалеку от г. Мител он спроектировал плотину и водоотводный канал и сам руководил их постройкой. Это сооружение значительно понизило уровень воды в Галисе и сделало возможной переправу войск.

В Милете, в одной из гаваней, Фалес установил дальномер — прибор, который позволял определять расстояние от берега до корабля, находящегося далеко в море. Свои деловые качества Фалес доказал захватив монополию на торговлю оливковым маслом; однако в активности Фалеса этот факт имеет эпизодический и, скорее всего, «дидактический» характер.

Упомянутое выше предсказание солнечного затмения 585 до н. э. — по-видимому единственный бесспорный факт из научной деятельности Фалеса Милетского; во всяком случае сообщается, что как раз после этого события Фалес стал известен и знаменит.

О политической активности Фалеса известно ещё меньше, чем об общественной и научной. Сообщают, что Фалес был сторонником некоего объединения ионийских полисов (наподобие конфедерации, с центром на о. Хиос), как противодействия угрозе со стороны Лидии, а позже и Персии. Причем Фалес, в оценке внешних опасностей, видимо считал угрозу со стороны Персии большим злом, чем от Лидии; упомянутый эпизод со строительством плотины имел место во время войны Креза (царя Лидии) с персами. В то же время Фалес выступил против заключения союза милетян с Крезом, чем спас город после победы Кира (царя Персии).

Сочинения

Сочинения Фалеса не сохранились; свидетельств его современников также не существует, т.е. неизвестно, писал ли он что-то вообще. Возможно, Фалес не писал ничего, и все известное об учении Фалеса происходит из вторичных источников (в первую очередь из работ Аристотеля, Диогена Лаэртского). Если допустить, что Фалес писал, то уже Аристотель не имел списков его работ. Наиболее последовательно традиция приписывает Фалесу два сочинения. Первое, «Περὶ τροπὴς καὶ ἰσημερίας» («О поворотах солнца и равноденствии», свид. Диогена Лаэртского); его содержание известно только в передаче более поздних авторов, причем часто без указания источника. Второе, «Судоводная (морская) астрономия»; авторство Фалеса в написании этой книги ставилось под сомнение самими древними греками. (Возможно, это лишь дань традиции, по которой считается, что Фалес первый в античном мире стал заниматься астрономией на подлинно научной основе.) Вообще по традиции, полное собрание его сочинений составляло всего 200 стихов (написанных, как свойственно тому времени, гекзаметром).

Геометрия

Считается, что Фалес первым доказал несколько геометрических теорем, а именно:

• вертикальные углы равны;
• треугольники с равной одной стороной и равными углами, прилегающими к ней, равны;
• углы при основании равнобедренного треугольника равны;
• диаметр делит круг пополам;
• угол, вписанный в полуокружность, всегда будет прямым.

Фалес первый вписал прямоугольный треугольник в круг. Нашёл способ определять расстояние от берега до видимого корабля, для чего использовал свойство подобия треугольников. В Египте «поразил» жрецов и фараона Амасиса тем, что сумел точно установить высоту пирамиды Хеопса. Он дождался момента, когда длина тени палки становится равной её высоте, и тогда измерил длину тени пирамиды.

Повторение ранее изученного материала

Теорема. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Доказательство. Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ накрест лежащие углы равны: ∠1=∠2 (рис. 1, а).

Рис.1

Докажем, что а||b. Если углы 1 и 2 прямые (рис. 1, б), то прямые а и b перпендикулярны к прямой АВ и, следовательно, параллельны. Рассмотрим случай, когда углы 1 и 2 не прямые. Из середины О отрезка АВ проведем перпендикуляр ОН к прямой а (рис. 1, в). На прямой b от точки В отложим отрезок ВН₁ равный отрезку AH, как показано на рисунке 4, в, и проведем отрезок ОН₁. Треугольники ОНА и ОН₁В равны по двум сторонам и углу между ними (АО=ВО. АН=ВН₁ ∠1=∠2), поэтому ∠3=∠4 и ∠15=∠16. Из равенства ∠3=∠4 следует, что точка Н₁ лежит на продолжении луча ОН, т. е. точки Н, О и Н₁ лежат на одной прямой, а из равенства ∠5=∠6 следует, что угол 6 — прямой (так как угол 5 — прямой). Значит, прямые а и b перпендикулярны к прямой НН₁ поэтому они параллельны. Теорема доказана.

Теорема. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Рис.2

Доказательство. Пусть при пересечении прямых а и b секущей с соответственные углы равны, например ∠1=∠2 (рис. 2). Так как углы 2 и 3 - вертикальные, то ∠2=∠3. Из этих двух равенств следует, что ∠ 1=∠3. Но углы 1 и 3 — накрест лежащие, поэтому прямые а и b параллельны. Теорема доказана.

Теорема. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Доказательство. Пусть при пересечении прямых а и b секущей с сумма односторонних углов равна 180°, например ∠1+∠4=180° (см. рис. 2). Так как углы 3 и 4 — смежные, то ∠3+∠4=180°. Из этих двух равенств следует, что накрест лежащие углы 1 и 3 равны, поэтому прямые а и b параллельны. Теорема доказана.

Теорема о пропорциональных отрезках

Теорема Фалеса. При пересечении сторон угла параллельными прямыми стороны угла делятся на пропорциональные отрезки

Развитие теоремы о пропорциональных отрезках базируется именно на этой теореме Фалеса.

Если в теореме Фалеса равные отрезки начинаются от вершины (часто в школьной литературе используется такая формулировка), то обратная теорема также окажется верной.

Для пересекающихся секущих она формулируется так:

Если прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной и на другой стороне угла равные (или пропорциональные) между собой отрезки, начиная от вершины, то такие прямые параллельны.

Если секущие параллельны, то необходимо требовать равенство отрезков на обоих секущих между собой, иначе данное утверждение становится неверным (контрпример — трапеция, пересекаемая линией, проходящей через середины оснований).

Аргентинская музыкальная группаLes Luthiers (исп.) представила песню, посвящённую теореме. В видеоклипе для этой песни приводится доказательство для прямой теоремы для пропорциональных отрезков.

Теорема о пропорциональных отрезках. Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.

Доказательство.

Пусть стороны угла A пересекаются параллельными прямыми в точках B, B₁, C, C₁. Теоремой утверждается, что

Разделим отрезок AC на n равных частей. Пусть δ – длинна отрезка деления и AC = nδ.

Возможны два случая:

1) Существует такое n, при котором B – точка деления. То есть существует m < n такое, что AB = mδ. Проведем через точки деления отрезка AC прямые, параллельные прямой CC₁. По теореме Фалеса эти прямые разбивают отрезок AC₁ на равные отрезки некоторой длины δ₁. Получаем AB₁ = mδ1, AC₁ = nδ1. Из этого

2) Ни при каком n, B1 не является точкой деления. Допустим, что

Отложим на луче AC₁ отрезок AD = (AC₁/AC)*AB . При этом AD < AB₁. Разобьем AC₁ на достаточно большое число n равных частей. Проведем через точки деления прямые, параллельные СС₁. При достаточно большом n на отрезке DB₁ будут точки деления. Обозначим одну из них как точку Y и проведем через нее прямую параллельную СС₁, которая пересекает луч AC в точке X. По доказанному

Заменим AY меньшей величиной AD, а AX большей величиной AB. Тогда

Отсюда

Что противоречит построению отрезка AD. Теорема доказана.

Такое доказательство сложное, запутанное и не всегда понятное после прочтения и требует дополнительных разъяснений, но очень часто встречается в литературе по геометрии.

Потому предлагаю познакомится с альтернативным доказательством.

Эту теорему можно доказать через подобие треугольников. И так начнем все с начала, внимательно читаем теорему и определяем что нам нужно доказать.

Теорема. Стороны угла пересекаются рядом параллельных прямых, рассекаются ими на пропорциональные части.

Доказательство.

Проведя вспомогательные прямые DM,EN,... параллельные ВА, мы получим треугольники, которые подобны между собой, так как углы у них соответственно равны ( вследствие параллельности прямых ).

Заменив в этом ряду равных отношений отрезок DM на D'E' , отрезок EN на E'F' (противоположные стороны параллелограмма) , мы получим то, что требовалось доказать.

Задачи

Задача №1

На медиане AM треугольника ABC взята точка K , причём AK:KM = 1:3 . Найдите отношение, в котором прямая, проходящая через точку K параллельно стороне AC , делит сторону BC .

Решение.

Пусть прямая, о которой говорится в условии задачи, пересекает сторону BC в точке N . Обозначим NC=t . По теореме о пропорциональных отрезках MN:NC=MK:KA=3:1 , значит,
MN=3NC=3t, BN=BM+MN=CM+MN=4t+3t=7t.

Ответ: 1/7.

Задача №2

Вершины A, B, C треугольника ABC соединены отрезками с точками A₁, B₁, C₁, лежащими на противоположных сторонах треугольника. Доказать, что середины отрезков AA₁, BB₁, CC₁ не лежат на одной прямой.

Решение.
Пусть A', B', C' — середины сторон BC, CA, AB. Тогда середины отрезков AA₁, BB₁, CC₁ лежат на сторонах треугольника A'B'C'.

Задача №3

Середины E и F параллельных сторон BC и AD параллелограмма ABCD соединены с вершинами D и B соответственно. Докажите, что прямые BF и ED делят диагональ AC на три равные части.

Решение.
Пусть прямые BF и ED пересекают диагональ AC в точках M и N соответственно. Поскольку BE = EC и BF || ED, то по теореме Фалеса MN = NC. Аналогично докажем, что MN = AM.

Задания для самостоятельной проверки

Интересный факт

Загадки: немного истории.

Загадка была не только «тайным» языком. С ее помощью испытывали мудрость, находчивость, образованность человека. Для этого загадки включали в различные обряды: посвящения юношей в воины, отбор претендентов на роль руководителей, в свадебный обряд. Здесь загадки должны были отгадывать дружки жениха и сам жених. Это был своеобразный выкуп невесты.

Экзаменационная роль загадки хорошо отражена в мифах, сказках, песнях, бывальщинах и других фольклорных жанрах.

В древнегреческом мифе, позже нашедшем отражение, в драме Софокла «Царь Эдип», злое чудовище Сфинкс всем загадывает одну и ту же загадку:

Кто утром ходит на четырех, в полдень на двух, вечером на трех?

Не отгадавшего постигала смерть. Разгадал загадку только Эдип утром (в детстве) на четырех, днем (во взрослом состоянии) на двух, вечером (в старости, с костылем) на трех ходит человек.

В русских русалочьих песнях русалки задают юношам коварные вопросы:

    Что растет без коренья? (Камень);
    Что цветет без цвету? (Папоротник);
    Что бежит без повода? (Вода).

В сказках загадки предлагались подсудимому, и от его сообразительности и находчивости зависела жизнь.

В скандинавских и немецких сказаниях загадка, разгаданная путешественником, давала ему право на ночлег.

С течением времени, с успехами просвещения, с ростом культуры человека «тайный» язык постепенно теряет свое значение и загадка начинает использоваться для проверки знаний, наблюдательности, сообразительности человека. Она становится дидактическим средством — средством обучения детей.

У некоторых народов в далеком прошлом бытовали «вечера загадок». Это был своеобразный ритуал, обычно проводимый осенью, по окончании сельскохозяйственных работ. Старшие загадывали младшим различные загадки, тематически их группируя: о человеке, об одежде, доме, предметах домашнего обихода, орудиях труда, полевых работах, о явлениях природы. Тематический подбор загадок облегчал их отгадывание.

Такие вечера были своеобразными уроками народной мудрости, народных представлений и способов их выражения словом. Эти уроки помогали детям и подросткам во время развлечений усваивать знания, добытые многими поколениями людей.

Таким образом, оказывается очевидной педагогическая направленность в использовании народом загадок. Отсюда понятна их многовековая жизненность и популярность как среди взрослых, так и детей.

И в настоящее время загадка используется как увлекательное средство в обучении детей и организации их досуга.

Вопросы

1. Кто такое Фалес?
   
2. В чем суть теоремы о пропорциональных отрезках?
3. Какие отрезки параллельные?

Список использованных источников

1. Программы общеобразовательных учреждений. Геометрия 7-9 классы. Составитель: С.А. Бурмистрова. Москва. «Просвещение», 2009 год.
2. П.И. Алтынов, Тесты. Издательский дом «Дрофа».
3. Ю. Г. Илларионова. Учите детей отгадывать загадки. Москва «Просвещение»
4. А.П. Ершова, В.В. Голобородько. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 7 класса. «ИЛЕКСА». Москва. 2004.

Над уроком работали

Потурнак С.А.

Ігор Виспянський

Поставить вопрос о современном образовании, выразить идею или решить назревшую проблему Вы можете на Образовательном форуме, где на международном уровне собирается образовательный совет свежей мысли и действия. Создав блог, Вы не только повысите свой статус, как компетентного преподавателя, а и сделаете весомый вклад в развитие школы будущего. Гильдия Лидеров Образования открывает двери для специалистов  высшего ранга и приглашает к сотрудничеству в направлении создания лучших в мире школ.