Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс. Полные уроки>>Геометрия: Средняя линия треугольника. Полные уроки

Тема урока

• Средняя линия треугольника

Цели урока

• Познакомиться с новыми определениями и вспомнить некоторые уже изученные.
• Сформулировать и доказать свойства средний линии треугольника, доказать ее свойства.
• Научиться применять свойства фигур при решении задач.
• Развивающие – развить внимание учащихся, усидчивость, настойчивость, логическое мышление, математическую речь.
• Воспитательные - посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.

Задачи урока

• Проверить умение учащихся решать задачи.

План урока

1. Повторение ранее изученного материала.
2. Средняя линия треугольника, теоремы и свойства.
3. Задачи.

Повторение ранее изученного материала

Треугольник прямолинейный, часть плоскости, ограниченная тремя отрезками прямых (стороны Треугольника (в геометрии)), имеющими попарно по одному общему концу (вершины Треугольника (в геометрии)). Треугольник, у которого длины всех сторон равны, называется равносторонним, или правильным, Треугольник с двумя равными сторонами — равнобедренным. Треугольник называется остроугольным, если все углы его острые; прямоугольным  — если один из его углов прямой; тупоугольным — если один из его углов тупой. Более одного прямого или тупого угла Треугольник (в геометрии) иметь не может, так как сумма всех трёх углов равна двум прямым углам (180° или, в радианах, p). Площадь Треугольник (в геометрии) равна ah/2, где а — любая из сторон Треугольника, принимаемая за его основание, a h — соответствующая высота. Стороны Треугольника подчинены условию: длина каждой из них меньше суммы и больше разности длин двух других сторон.

Треугольник — простейший многоугольник, имеющий 3 вершины (угла) и 3 стороны; часть плоскости, ограниченная тремя точками, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки.

Трём точкам пространства, не лежащим на одной прямой, соответствует одна и только одна плоскость.
Любой многоугольник можно разбить на треугольники — этот процесс называется триангуляция.
Существует раздел математики, целиком посвящённый изучению закономерностей треугольников — Тригонометрия.

Типы треугольников

Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, то не менее двух углов в треугольнике должны быть острыми (меньшими 90°).

Выделяют следующие виды треугольников

• Если все углы треугольника острые, то треугольник называется остроугольным;
• Если один из углов треугольника тупой (больше 90°), то треугольник называется тупоугольным;
• Если один из углов треугольника прямой (равен 90°), то треугольник называется прямоугольным. Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой.
  

По числу равных сторон

• Разносторонним называется треугольник, у которого длины трёх сторон попарно различны.
• Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, третья сторона называется основанием. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника, опущенные на основание, совпадают.
• Равносторонним называется треугольник, у которого все три стороны равны. В равностороннем треугольнике все углы равны 60°, а центры вписанной и описанной окружностей совпадают.

Правильный

Тупоугольный

Прямоугольный

Разносторонний

Равнобедренный

Равносторонний

Остроугольный

Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне, а ее длина равна половине длины этой стороны.

Определения

Средняя линия — фигур в планиметрии отрезок, соединяющий середины двух сторон этой фигуры. Понятие употребляется для следующих фигур:треугольник, четырехугольник,трапеции.

Средняя линия — треугольника (трапеции) отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника (боковых сторон трапеции).

Средняя линия треугольника, отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника (третью сторону называют основанием). Каждый треугольник имеет три средних линии.

Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины двух сторон; этот отрезок параллелен третьей стороне и равен ее половине. Три средние линии треугольника делят его на четыре равных треугольника, подобных исходному с коэффициентом 1/2.

Свойства

• средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине.
• при проведении всех трёх средних линий образуются 4 равных треугольника, подобных (даже гомотетичных) исходному с коэффициентом 1/2.
• средняя линия отсекает треугольник, который подобен данному, а его площадь равна одной четверти площади исходного треугольника.

Теоремы

Теорема. Средняя линия треугольника параллельна одной стороне и равна ее половине.

Доказательство. Пусть DK – средняя линия треугольника АВС (рисунок). Нужно доказать:

1. (DK)||(AC);
2. DK=1/2 AC

Проведем через точку K прямую, параллельную стороне АС. Из следствий теоремы Фалеса эта прямая проходит через середину стороны АВ, и отрезок DK  лежит на этой прямой.  Доказана первая часть теоремы. Проведем среднюю линию КТ. Она параллельна АВ. Поэтому четырехугольник ADKT  –  параллелограмм. По свойству параллелограмма DK=AT, а АТ=ТС, поэтому  DK=1/2 AC.

Теорема. Каждая из средних линий треугольника, соединяющих середины двух данных сторон, параллельна третей стороне и равна её половине.

Рассмотрим треугольник АВС. Опустим высоту СН на сторону АВ. Она разобьёт треугольник на два прямоугольных треугольника АСН и СВН. Проведем медианы НК и НМ соответственно в этих треугольниках По свойству медианы прямоугольного треугольника, проведенной из вершины Н прямого угла, найдем НК=СК и также НМ=СМ. Теперь точки К и М, как равноудаленные от точек Н и С, лежат на перпендикуляре, проведенном к высоте в её середине, а потому отрезок, соединяющий их, параллелен стороне АВ треугольника. Теперь следует рассмотреть треугольник, в котором проведены все три средние линии. Для примера: четырехугольник АКМN является параллелограммом по определению (противоположные стороны параллельны по доказанному ранее). А в параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому КМ=СN=1/2CB. Проведем подобные доказательства и получим, KN=1/2AB и MN=1/2AC

Средние линии треугольника площади S  отсекают от него треугольники площади.

Доказательство:  Рассмотрим ▲ABC. NM - средняя линия в треугольнике и она равна половине основания AC. Если S_ABC = S , то  Аналогично можно доказать, что площади всех треугольников равны одной четвертой части площади ▲ABC.

Задачи

Задача №1

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС через середину боковой стороны проведена прямая MN, параллельная АС.

Зная, что АМ=7 см, Р D АВС=38 см; Р D MBN=19 см.

Найти: AC, MN.

Решение:

1. АМ=МВ (по условию), МВ=7 см, АВ=7+7=14 (см), АВ=ВС, ВС=14 см.
2. CN=NB (по теореме Фалеса), CN=7 см, NB=7 см.
3. АС=38-28=10 (см), MN=19-14=5 (см)

Ответ: АС=10 см, MN=5 см.

Задача №2

Периметр треугольника равен 28, середины сторон соединены отрезками.

Найдите периметр полученного треугольника.

Подсказка: Примените теорему о средней линии треугольника.

Решение:

Пусть стороны данного треугольника равны a, b и c. Поскольку стороны полученного треугольника являются средними линиями исходного, то периметр полученного треугольника равен

Ответ: 14.

Задача №3

Три средних линии треугольника разбивают его на четыре части. Площадь одной из них равна S.

Найдите площадь данного треугольника.

Подсказка: Три средних линии разбивают треугольник на четыре равных треугольника.

Решение:

Три средних линии разбивают треугольник на четыре равных треугольника. Следовательно, площадь данного треугольника равна 4S.

Ответ: 4S.

Интересный факт

Знаете ли вы???

Знаете ли вы, что Франсуа Виета почти было отправлено на костер за то, что ему повезло расшифровать секретную переписку испанского правительства с командованием своих войск? Испанцы считали, что раскрытие их шифра человеческому разуму не под силу и Виету помогал сам Сатана.

Знаете ли вы, что аристократы-театралы просили французского короля наградить Рене Декарта, который первым предложил метод нумерации кресел по рядам и местам? Но король ответил: «Да, то, что изобрел Декарт, — прекрасно и достойно награды, но дать ее философу? Нет, это уж слишком!».

Знаете ли вы, что теорему Пифагора называли «ослиным мостом»? Учащихся, которые запоминали теорему без понимания, называли ослами, поскольку они не могли перейти через мост — теорему Пифагора.

Знаете ли вы, что Шарль Перро, автор «Красной Шапочки», написал сказку «Любовь циркуля и линейки»?

Знаете ли вы, что Наполеон Бонапарт писал математические труды и один геометрический факт называется «Задача Наполеона»?

Знаете ли вы, что одна из кривых линий называется «Локон Аньезе» в честь первой в мире женщины-профессора математики Марии Гаэтано Аньезе?

Знаете ли вы, что Л. Н. Толстой, автор романа «Война и мир», писал учебники для начальной школы и, в частности, учебник арифметики?

Знаете ли вы, что все современные учебники по геометрии составлены на основе известных «Начал» Евклида (IV в. до н. э.)?

Знаете ли вы, что А. С. Пушкин написал такие строки: «Вдохновение нужно в геометрии, как и в поэзии»?

Знаете ли вы, что великий Евклид сказал царю Птолемею: «В геометрии нет царской дороги»?

Знаете ли вы, что великий русский поэт М. Ю. Лермонтов интересовался математикой и мог до поздней ночи решать какую-нибудь математическую задачу?

Знаете ли вы, что Пифагор был победителем из кулачного боя на 58-х Олимпийских играх, проходивших в 548 году до н. э., а затем побеждал еще на нескольких Олимпиадах?

Знаете ли вы, что знаменитый Фалес был спортивным болельщиком и умер на трибуне олимпийского стадиона во время боя Пифагора?

Знаете ли вы, что в 1940 году была напечатана книга, в которой есть 370 различных способов доказательства теоремы Пифагора, а среди них есть доказательства, которое предложил президент США Гарфилд?

Вопросы

1. Как расположена средняя линия относительно третьей стороны?
2. Измерьте третью сторону и среднюю линию треугольника. Что вы можете сказать по этому поводу?
3. Сколько всего средних линий можно построить в треугольнике?

Список использованных источников

1. Кобычева Марина Викторовна, учитель математики.
2. А.В. Калягин. Методика преподавания математики.
3. Справочник. Треугольники.
4. Математика в школе. 2001. №8; 2000. №7.
5. А. Файзуллин. Пособие по методике преподавания математики.
6. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина «Геометрия, 7 – 9: учебник для общеобразовательных учреждений».

Над уроком работали

Потурнак С.А.

Кобычева Марина Викторовна

Поставить вопрос о современном образовании, выразить идею или решить назревшую проблему Вы можете на Образовательном форуме, где на международном уровне собирается образовательный совет свежей мысли и действия. Создав блог, Вы не только повысите свой статус, как компетентного преподавателя, а и сделаете весомый вклад в развитие школы будущего. Гильдия Лидеров Образования открывает двери для специалистов  высшего ранга и приглашает к сотрудничеству в направлении создания лучших в мире школ.