Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс. Полные уроки>>Геометрия: Прямоугольник. Полные уроки

Тема урока

• Прямоугольник.

Цели урока

• Образовательные – повторение, обобщение и проверка знаний по теме: “Прямоугольник как геометрическая фигура”; выработка основных навыков.
• Развивающие – развить внимание учащихся, усидчивость, настойчивость, логическое мышление, математическую речь.
• Воспитательные - посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.

Задачи урока

• Формировать навыки в построении прямоугольник с помощью масштабной линейки, транспортира и чертежного треугольника.
• Проверить умение учащихся решать задачи.

План урока:

1. Исторический факт, прямоугольник Эвклида.
   
2. Теоретическая часть, определения и свойства.
   
3. Золотой прямоугольник, общие понятия.
   

Исторический факт

Прямоугольник Эвклида.

Прямоугольник Эвклида, называемый также золо­тым сечением, долго считался совершенной пропор­циональной основой строительства, особенно для любого здания религиозного значения.На нем основа­ны классические греческие храмы и многие здания эпохи Возрождения. Короткая и длинная стороны прямоугольника брались из соотношения от деления пря­мой линии на две части таким образом, чтобы корот­кая часть относилась к длинной, как длинная к целому. Отношение составляло 382 к 618, или приблизительно 19 к 31. Этот прямоугольник называли самой рациональной, безопасной и правильной из всех геометрических форм. Из-за таких дифирамбов в его честь прямоугольник Эвклида или приближения к нему использовались в обиходе по­всюду, в домах, комнатах, кроватях, столах, окнах, две­рях, картинах, книгах и многих предметах мебели.

Среди индейцев навахо прямоугольник считался жен­ской формой, вероятно, потому, что это стандартная форма дома, который символизировал женщину, владе­ющую им.

Индейцы навахо

Классический греческий храм

Теоретическая часть

Определения

• Прямоугольник, параллелограмм, все углы которого прямые.

• Прямоугольник - четырехугольник, у которого все углы прямые.

• Прямоугольник, четырехсторонняя геометрическая фигура (четырехугольник), внутренние углы которой являются прямыми, а противоположные стороны попарно параллельны и равны. Это особый случай ПАРАЛЛЕЛОГРАММА.

Примечание. В евклидовой геометрии для того, чтобы четырёхугольник был прямоугольником, достаточно, чтобы хотя бы три его угла были прямые. Четвёртый угол (в силу теоремы о сумме углов многоугольника) также будет равен 90°. В неевклидовой геометрии, где сумма углов четырёхугольника не равна 360° - прямоугольников не существует.

Прямоугольники

Прямоугольник

• Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.
  

Свойства прямоугольника

• противолежащие стороны равны;
• противоположные углы равны;
• диагонали точкой пересечения делятся пополам;
• сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°;
• сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон;
  
• диагонали равны.
  

Параллелограмм является прямоугольником, если:

1. Один из его углов прямой.
2. Его диагонали равны.
   

Файл:20032011 7.gif

Площадь и периметр прямоугольника

• Величина площади прямоугольника равна произведению ширины прямоугольника на его высоту (длину).
• Периметр прямоугольника равен удвоенной сумме длин его ширины и высоты.

Прямоугольник - это параллелограмм , у которого все углы прямые (равны 90 градусам).

Как частный случай параллелограмма прямоугольник имеет все его свойства, но есть и частное.

Рассмотрим его:

Теорема. Диагонали прямоугольника равны.

Для доказательства достаточно рассмотреть на рис1 два прямоугольных треугольника ADB и АВС. Они равны по двум катетам (противолежащие стороны равны), поэтому равны и их гипотенузы - диагонали АС и ВD.

Файл:4042011 7.gif

Также прямоугольник имеет все признаки параллелограмма, но и тут есть частный признак:

Теорема. Если в четырехугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник является прямоугольником.

Из равенства диагоналей следует и равенство частей, на которые они разбиваются при пересечении. Т.е. точка пересечения диагоналей равноудалена от вершин четырехугольника, а следовательно около него можно описать окружность. Зная теорему: вписанные углы, опирающиеся на диаметр, равны 90 градусов, заключаем, что все углы данного четырехугольника прямые.

Из этого доказательства также вытекает и следующее утверждение:

Теорема. Диаметр описанной около прямоугольника окружности равен его диагонали.

Файл:4042011 9.gif

Точка О - центр и точка пересечения диагоналей, тогда ВО - радиус и BD - диаметр.

Площадь прямоугольника

Файл:4042011 8.gif

Первая формула считается стандартом и не нуждается в доказательстве, а вторая является следствием формулы площади четырехугольника с поправкой на то, что диагонали равны.

Теорема. Площадь прямоугольника равна половине произведения квадрата диагонали и синуса угла между диагоналями.

Квадрат

Квадрат является частным случаем прямоугольника. Он обладает почти всеми свойствами прямоугольника, только из за того что у квадрата все стороны равны появляется дополнительное свойство:

• диагонали квадрата взаимно перпендикулярны.

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства квадрата:

• все углы квадрата прямые;
• диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

Признаки квадрата

1. Прямоугольник является квадратом, если он обладает каким-нибудь признаком ромба.

Файл:20032011 10.gif

Золотой прямоугольник

Как упоминалось в наших предыдущих страницах, золотое сечение очень широко используется в геометрии. Начнем знакомство с геометрическими свойствами "золотого" прямоугольника, которые имеет следующее геометрическое определение. "Золотым" прямоугольником называется такой прямоугольник, в котором отношение большей стороны к меньшей равно золотой пропорции, то есть

Файл:4042011 11.gif

Рассмотрим случай простейшего "золотого" прямоугольника, когда AB = t и BC = 1.

Файл:4042011 10.gif

Найдем теперь на отрезках AB и DC точки E и F, которые делят соответствующие стороны AB и DC в "золотом сечении". Ясно, что AE = DF = 1, тогда

Файл:4042011 13.gif

Соединим теперь точки E и F отрезком EF и назовем этот отрезок "золотой линией". При этом с помощью "золотой линии" EF "золотой" прямоугольник ABCD оказывается разделенным на два прямоугольника AEFD и EBCF. Поскольку все стороны прямоугольника AEFD равны между собой, то этот прямоугольник есть ни что иное, как квадрат.

Рассмотрим теперь прямоугольник EBCF. Поскольку его большая сторона BC = 1, а меньшая Файл:4042011 14.gif то отсюда следует, что их отношениеBC: EB = t и, следовательно, прямоугольник EBCF является "золотым"! Таким образом "золотая" линия EF расчленяет исходный "золотой" прямоугольник ABCD на квадрат AEFD и новый "золотой" прямоугольник EBCF.

Проведем теперь диагонали DB и EC "золотых" прямоугольников ABCD и EBCF. Из подобия треугольников ABD, FEC, BCE вытекает, что точка G разделяет "золотым сечением" как диагональ DB, так и "золотую" линию EF. Проведем теперь новую "золотую" линию GH в "золотом" прямоугольнике EBCF. Ясно, что "золотая" линия GH разделяет "золотой" прямоугольник EBCF на квадрат GHCF и новый "золотой" прямоугольник EBHG. Более того, точка I делит "золотым сечением" диагональ EC и сторону GH. Повторяя многократно эту процедуру, мы получим бесконечную последовательность квадратов и "золотых" прямоугольников, которые в пределе сходятся к точке O.

Интересный факт

В одном из предыдущих уроков мы уже рассматривали золотое сечение и как часто мы его можем встретить в природе, но про самое главное мы забыл вспомнить. Одним из самых ярких примеров золотого сечения или как говориться "божественной меры" есть человек.

Файл:4042011 15.gif

В человеческом организме ничего просто так не бывает, каждый орган отвечает за свою функцию или функции и выполняет ее лучше всех остальных. Рост, длина конечностей и так далее яркий пример пропорции Фибоначчи.

Разумеется есть золотой прямоугольник, золотой треугольник и даже золотой кубоид. Пропорции человеческого тела во многих соотношениях близки к Золотому Сечению.

Но самое интересное начинается, когда мы объединим полученные знания. На рисунке наглядно показана связь между последовательностью Фибоначчи и Золотым сечением. Мы начинаем с двух квадратов первого размера. Сверху добавляем квадрат второго размера. Подрисовываем рядом квадрат со стороной, равной сумме сторон двух предыдущих, третьего размера. По аналогии появляется квадрат пятого размера. И так далее пока не надоест, главное, чтобы длина стороны каждого следующего квадрата равнялась сумме длин сторон двух предыдущих. Мы видим серию прямоугольников, длины сторон, которых являются числами Фибоначчи, и, как не странно, они называются прямоугольниками Фибоначчи.

Вопросы

1. Какая геометрическая фигура называется прямоугольником?
   
2. Можно ли квадрат назвать прямоугольником, ответ аргументируйте.
   
3. Какая разница между диаметром и радиусом?
   

Список использованных источников

1. Урок на тему "Золотой прямоугольник" Автор: Марина Александровна, г. Киев
2. Мазур К. И. «Решение основных конкурсных задач по математике сборника под редакцией М. И. Сканави»
3. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина «Геометрия, 7 – 9: учебник для общеобразовательных учреждений»

Над уроком работали

Марина Александровна

Потурнак С.А.

Екатерина Рыдлева

Поставить вопрос о современном образовании, выразить идею или решить назревшую проблему Вы можете на Образовательном форуме, где на международном уровне собирается образовательный совет свежей мысли и действия. Создав блог, Вы не только повысите свой статус, как компетентного преподавателя, а и сделаете весомый вклад в развитие школы будущего. Гильдия Лидеров Образования открывает двери для специалистов  высшего ранга и приглашает к сотрудничеству в направлении создания лучших в мире школ.