Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс>>Математика: Теорема Виета)

Теорема Виета

В этом параграфе мы познакомимся с любопытными соотношениями между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами. Эти соотношения впервые обнаружил французский математик Франсуа Виет (1540—1603).

Например, для уравнения Зx2 - 8x - 6 = 0, не находя его корней, можно, воспользовавшись теоремой Виета, сразу сказать, что сумма корней равна , а произведение корней равно  т. е. - 2. А для уравнения х² - 6х + 8 = 0 заключаем: сумма корней равна 6, произведение корней равно 8; между прочим, здесь нетрудно догадаться, чему равны корни: 4 и 2.

Доказательство теоремы Виета. Корни х₁ и х₂ квадратного уравнения ах² + bх + с = 0 находятся по формулам

где D = b² — 4ас — дискриминант уравнения. Сложив эти корни, получим

Теперь вычислим произведение корней х₁ и х₂ Имеем

Второе соотношение доказано:

Замечание. Теорема Виета справедлива и в том случае, когда квадратное уравнение имеет один корень (т. е. когда D = 0), просто в этом случае считают, что уравнение имеет два одинаковых корня, к которым и применяют указанные выше соотношения.

Особенно простой вид принимают доказанные соотношения для приведенного квадратного уравнения х² + рх + q = 0. В этом случае получаем:

x₁ = x₂ = -p, x₁x₂ =q

т.е. сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

С помощью теоремы Виета можно получить и другие соотношения между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Пусть, например, х₁ и х₂ — корни приведенного квадратного уравнения х² + рх + q = 0. Тогда

Однако основное назначение теоремы Виета не в том, что она выражает некоторые соотношения между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Гораздо важнее то, что с помощью теоремы Виета выводится формула разложения квадратного трехчлена на множители, без которой мы в дальнейшем не обойдемся.

Доказательство. Имеем

Пример 1. Разложить на множители квадратный трехчлен Зх² - 10x + 3.
Решение. Решив уравнение Зх² - 10x + 3 = 0, найдем корни квадратного трехчлена Зх² - 10x + 3: х₁ = 3, х2 = .
Воспользовавшись теоремой 2, получим

Есть смысл вместо написать Зx - 1. Тогда окончательно получим Зх² - 10x + 3 = (х - 3)(3х - 1).
Заметим, что заданный квадратный трехчлен можно разложить на множители и без применения теоремы 2, использовав способ группировки:

Зх² - 10x + 3 = Зх² - 9х - х + 3 =
= Зх (х - 3) - (х - 3) = (х - 3) (Зx - 1).

Но, как видите, при этом способе успех зависит от того, сумеем ли мы найти удачную группировку или нет, тогда как при первом способе успех гарантирован.
Пример 1. Сократить дробь

Решение. Из уравнения 2х² + 5х + 2 = 0 находим х₁ = - 2,

Из уравнения х2 - 4х - 12 = 0 находим х₁ = 6, х₂ = -2. Поэтому
х²- 4х - 12 = (х- 6) (х - (- 2)) = (х - 6) (х + 2).
А теперь сократим заданную дробь:

Пример 3. Разложить на множители выражения:
а)x4 + 5x²+6;               б)2x+-3
Р е ш е н и е. а) Введем новую переменную у = х². Это позволит переписать заданное выражение в виде квадратного трехчлена относительно переменной у, а именно в виде у² + bу + 6.
Решив уравнение у² + bу + 6 = 0, найдем корни квадратного трехчлена у² + 5у + 6: у₁ = - 2, у₂ = -3. Теперь воспользуемся теоремой 2; получим

у² + 5у + 6 = (у + 2) (у + 3).
Осталось вспомнить, что у = x² , т. е. вернуться к заданному выражению. Итак,
x⁴ + 5х²+ 6 = (х² + 2)(х² + 3).
б) Введем новую переменную у = . Это позволит переписать заданное выражение в виде квадратного трехчлена относительно переменной у, а именно в виде 2у² + у - 3. Решив уравнение
2у² + у - 3 = 0, найдем корни квадратного трехчлена 2у² + у - 3:
y₁ = 1,    y₂= . Далее, используя теорему 2, получим:

Осталось вспомнить, что у = , т. е. вернуться к заданному выражению. Итак,

В заключение параграфа — некоторые рассуждения, опять таки связанные с теоремой Виета, а точнее, с обратным утверждением:

если числа х₁, х₂ таковы, что х¹ + х² = - р, x₁x₂ = q, то эти числа — корни уравнения .

С помощью этого утверждения можно решать многие квадратные уравнения устно, не пользуясь громоздкими формулами корней, а также составлять квадратные уравнения с заданными корнями. Приведем примеры.

1) х² - 11х + 24 = 0. Здесь x₁ + х₂ = 11, х₁х₂ = 24. Нетрудно догадаться, что х₁ = 8, х₂ = 3.

2) х² + 11х + 30 = 0. Здесь x₁ + х₂ = -11,  х₁х₂ = 30. Нетрудно догадаться, что х₁ = -5, х₂ = -6.

Обратите внимание: если свободный член уравнения — положительное число, то оба корня либо положительны, либо отрицательны; это важно учитывать при подборе корней.

3) х² + х - 12 = 0. Здесь x₁ + х₂ = -1, х₁х₂ = -12. Легко догадаться, что х₁ = 3, х2 = -4.

Обратите внимание: если свободный член уравнения — отрицательное число, то корни различны по знаку; это важно учитывать при подборе корней.

4) 5х² + 17x - 22 = 0. Нетрудно заметить, что х = 1 удовлетворяет уравнению, т.е. х₁ = 1 — корень уравнения. Так как х₁х₂ = -, а х₁ = 1, то получаем, что х₂ = - .

5) х² - 293x + 2830 = 0. Здесь х₁+ х₂ = 293, х₁х₂ = 2830. Если обратить внимание на то, что 2830 = 283 • 10, а 293 = 283 + 10, то становится ясно, что х₁ = 283, х₂ = 10 (а теперь представьте, какие вычисления пришлось бы выполнить для решения этого квадратного уравнения с помощью стандартных формул).

6) Составим квадратное уравнение так, чтобы его корнями служили числа х₁ = 8, х₂ = - 4. Обычно в таких случаях составляют приведенное квадратное уравнение х² + рх + q = 0.

Имеем х₁+ х₂= -р, поэтому 8 - 4 = -р, т. е. р = -4. Далее, х₁х₂= q, т.е. 8«(-4) = q, откуда получаем q = -32. Итак, р = -4, q = -32, значит, искомое квадратное уравнение имеет вид х²-4х-32 = 0.

Мордкович А. Г., Алгебра. 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений.— 3-е изд., доработ. — М.: Мнемозина, 2001. — 223 с: ил.

_{онлайн библиотека с учебниками и книгами, планы конспектов уроков по математике, задания по математике 8 класса скачать}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.