|
Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>> Тригонометрические уравнения
§ 20. Тригонометрические уравнения
1. Простейшие тригонометрические уравнения
Тригонометрическими уравнениями обычно называют уравнения, в которых переменная содержится под знаками тригонометрических функций. К их числу прежде всего относятся простейшие тригонометрические уравнения, т.е. уравнения вида a  — действительное число. К настоящему моменту мы знаем, что:
1) если | а | < 1, то решения уравнения соз о:-а имеют вид:
Во всех перечисленных формулах подразумевается, что параметр (n, к и т.д.) принимает любые целочисленные значения 
К простейшим относят обычно и уравнения вида Т(кх + m)=а, где Т — знак какой-либо тригонометрической функции.
Пример 1. Решить уравнения:
Решение: а) Введем новую переменную 
Возвращаясь к переменной х, получаем:  Осталось обе части этого равенства разделить почленно на 2; получим:
Заметим, что при наличии некоторого опыта можно не вводить промежуточную переменную t = 2х, а сразу переходить от уравнения 
Именно так мы и будем действовать в дальнейшем.
б) Мы знаем, что решения уравнения соs t = а имеют вид: Для нашего примера это означает, что
Пример 2. Найти те корни уравнения  которые принадлежат отрезку[0, п].
Решение. Сначала решим уравнение в общем виде:  (см. пример 1а). Далее придадим параметру п последовательно значения 0,1, 2,..., -1, -2,... и подставим эти значения в общую формулу корней.
Это число не принадлежит заданному отрезку [0, п]. Тем более не будут принадлежать заданному отрезку те значения х, которые получаются из общей формулы при n = -2, -3,...
На рис. 94 представлена геометрическая интерпретация проведенных рассуждений.
Итак, заданному отрезку [0, п] принадлежат те корни уравнения, которые получаются из общей формулы при следующих значениях параметра n: n = 0, n = 1. Эти корни таковы
Ответ:
Пример 3. Найти те корни уравнения  которые принадлежат отрезку 
Решение: Сначала решим уравнение в общем виде:  (см. пример 16). Далее придадим параметру п последовательно значения 0,1, 2,..., -1, -2,... и подставим эти значения в общую формулу корней.
поскольку оба они больше числа л. Тем более не будут принадлежать заданному отрезку те значения х, которые получаются из общей формулы при п = 3,4,...
Не будут принадлежать заданному отрезку те значения х, которые получаются из общей формулы при п = -2, - 3,...
На рис. 95 представлена геометрическая интерпретация проведенных рассуждений.
Итак, заданному отрезку  принадлежат следующие корни уравнения
2. Два основных метода решения тригонометрических уравнений
Для решения тригонометрических уравнений чаще всего используются два метода: введения новой переменной и разложения на множители.
Вернемся к материалу § 16. Там в примере 3 мы решили тригонометрическое уравнение  Как мы это сделали? Ввели новую переменную z = sin t, переписали уравнение в виде
 В результате мы получили два простых уравнения:  Первое уравнение не имеет решений, а для второго нашли две серии решений:
 и установили (см. § 18), что эти две серии можно объединить одной формулой 
В том же § 16 в примере 4 мы решили тригонометрическое уравнение
Пример 4. Решить уравнение
Решение. Поскольку  есть смысл ввести новую переменную  Это позволит переписать уравнение в более простом виде: 
Имеем:
Возвращаясь к переменной х получаем два уравнения:
Теперь поговорим о втором методе решения тригонометрических уравнений — методе разложения на множители. Смысл этого метода вам знаком: если уравнение f(х) =0 возможно преобразовать к виду
 то задача сводится к решению двух уравнений (обычно говорят — к решению совокупности уравнений):
Пример 5. Решить уравнение 
Решение. Задача сводится к решению совокупности уравнений:
Из этих уравнений находим соответственно:
Пример 6. Решить уравнение  .
Решение. Имеем  Значит, приходим к совокупности уравнений:
Замечание. Учтите, что переход от уравнения  к совокупности уравнений:  не всегда безопасен. Рассмотрим, например, уравнение  Из уравнения tg x = 0 находим
х = пn; из уравнения sin x = 1 находим  Но включить обе серии решений в ответ нельзя. Дело в том, что при значениях входящий в заданное уравнение множитель tg х не имеет смысла, т.е. значения
не принадлежат области определения уравнения (области допустимых значений уравнения — ОДЗ), это — посторонние корни.
3. Однородные тригонометрические уравнения
Здесь мы познакомимся с довольно часто встречающимися на практике тригонометрическими уравнениями специального вида.
Определение. Уравнение вида:  называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени; уравнение вида:  называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени.
Сначала поговорим о решении однородных тригонометрических уравнений первой степени, причем рассмотрим только самый общий случай, когда оба коэффициента а и Ъ отличны от нуля, так как, если а =0, уравнение принимает вид  такое уравнение отдельного обсуждения не заслуживает; аналогично при Ь=0 получаем sin х =0, что тоже не требует отдельного обсуждения.
Итак, дано уравнение  Разделив обе части уравнения почленно на соs x, получим:
В итоге приходим к простейшему тригонометрическому уравнению
Внимание! Вообще-то делить обе части уравнения на одно и то же выражение можно только в том случае, когда мы уверены, что это выражение нигде не обращается в нуль (на 0 делить нельзя). Уверены ли мы, что в нашем уравнении соз х отличен от нуля? Давайте проанализируем. Предположим, что соз х =0. Тогда однородное уравнение а sin х+Ь соз х=0 примет вида зтдг=0, т.е. зщх=0 (вы ведь не забыли, что коэффициент а отличен от нуля). Получается, что и соз х=0, и зш л: =0, а это невозможно, так как зтх и соззс обращаются в нуль в различных точках. Итак, в однородном тригонометрическом уравнении первой степени деление обеих частей уравнения насозх— вполне благополучная операция.
Уравнения вида а зт тх+Ь соз тх=0 тоже называют однородными тригонометрическими уравнениями первой степени. Для их решения обе части уравнения делят почленно на соз тх.
Пример 7. Решить уравнение 2 sin х-3соз х=0.
Решение. Разделив обе части уравнения почленно на соз х, получим:
Пример 8. Решить уравнение 2x + соs2x =0.
Решение. Разделив обе части уравнения почленно на соs 2 x, получим:
Рассмотрим теперь однородное тригонометрическое уравнение второй степени:
Если коэффициент а отличен от нуля, т.е. в уравнении содержится член sin 2 х с каким-то коэффициентом, отличным от нуля, то, рассуждая как и выше, нетрудно убедиться в том, что при интересующих нас значениях переменной сое хне обращается в нуль, а потому можно обе части уравнения разделить почленно на соs 2 х. Что это даст? Смотрите:
Это — квадратное уравнение относительно новой переменной z = tg х.
Пусть теперь в однородном тригонометрическом уравнении
коэффициент а равен 0, т.е. отсутствует член sin2 х. Тогда уравнение принимает вид:
Это уравнение можно решить методом разложения на множители:
Получились два уравнения, которые мы с вами решать умеем. Аналогично обстоит дело и в случае, когда с =0, т.е. когда однородное уравнение имеет вид (здесь можно вынести за скобки sin х).
Фактически мы выработали
А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс
Видеопо математике скачать, домашнее задание, учителям и школьникам на помощь онлайн
Содержание урока
 конспект урока
опорный каркас
презентация урока
акселеративные методы
интерактивные технологии
Практика
задачи и упражнения
самопроверка
практикумы, тренинги, кейсы, квесты
домашние задания
дискуссионные вопросы
риторические вопросы от учеников
Иллюстрации
аудио-, видеоклипы и мультимедиа
фотографии, картинки
графики, таблицы, схемы
юмор, анекдоты, приколы, комиксы
притчи, поговорки, кроссворды, цитаты
Дополнения
рефераты
статьи
фишки для любознательных
шпаргалки
учебники основные и дополнительные
словарь терминов
прочие
Совершенствование учебников и уроков
исправление ошибок в учебнике
обновление фрагмента в учебнике
элементы новаторства на уроке
замена устаревших знаний новыми
Только для учителей
идеальные уроки
календарный план на год
методические рекомендации
программы
обсуждения
Интегрированные уроки
Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.
Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.
|
