Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс. Полные уроки>>Геометрия: Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике. Полные уроки

ТЕМА УРОКА: Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.

Цели урока:

• Ввести понятие синус, косинус, тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике, исследовать зависимости и соотношения между этими величинами
• Формирование понятия о синусе, косинусе, тангенсе как функциях от угла, области определения тригонометрических функций, развитие логического мышления, развитие правильной математической речи
• Развитие навыка самостоятельной работы, культуры поведения, аккуратности в ведении записей
• Познакомиться с новыми определениями и вспомнить некоторые уже изученные.
  
• Сформулировать и доказать свойства прямоугольного треугольника, доказать его свойства.
  
• Научиться применять свойства фигур при решении задач.
• Развивающие – развить внимание учащихся, усидчивость, настойчивость, логическое мышление, математическую речь.
• Воспитательные - посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.

Задачи урока:

• Проверить умение учащихся решать задачи.

План урока:

1. Вступительное слово.
2. Изучение нового материала.
3. Историческая справка.
4. Понятия «противоположный катет» и «прилежащий катет».
5. Практическая часть.

Вступительное слово.

Тригонометрия– математическая дисциплина, изучающая зависимость между сторонами и углами треугольника.

Тригонометрия возникла из практических нужд человека. С ее помощью можно определить расстояние до недоступных предметов и вообще, существенно упростить процесс геодезической съемки местности для составления географических карт. Зачатки тригонометрических познаний зародились в древности. Важный шаг в развитии тригонометрии был сделан индийскими учеными. Окончательный вид тригонометрия приобрела в 17 веке в трудах Л.Эйлера.

Индийские ученые	Леонард Эйлер

Долгое время тригонометрия носила чисто геометрический характер, т. е. Факты, которые мы сейчас формулируем в терминах тригонометрических функций, формулировались и доказывались с помощью геометрических понятий и утверждений. Такою она была еще в средние века, хотя иногда в ней использовались и аналитические методы, особенно после появления логарифмов. Пожалуй, наибольшие стимулы к развитию тригонометрии возникали в связи с решением задач астрономии, что представляло большой практический интерес (например, для решения задач определения местонахождения судна, предсказания затемнения и т. д.). Астрономов интересовали соотношения между сторонами и углами сферических треугольников. И надо заметить, что математики древности удачно справлялись с поставленными задачами.

Начиная с XVII в., тригонометрические функции начали применять к решению уравнений, задач механики, оптики, электричества, радиотехники, для описания колебательных процессов, распространения волн, движения различных механизмов, для изучения переменного электрического тока и т. д. Поэтому тригонометрические функции всесторонне и глубоко исследовались, и приобрели важное значение для всей математики.

В начале 9 класса на уроках физики Вы будете рассматривать некоторые вопросы: «Движение тела под углом к горизонту», «Движение тела по параболе», где необходимы умения решения прямоугольного треугольника. Какие зависимости между элементами прямоугольного треугольника вам известны? (теорема Пифагора, свойства катета, лежащего против угла в 30^о) Сегодня мы познакомимся с элементами тригонометрии, необходимыми для решения прямоугольных треугольников.

Изучение нового материала.

Если в двух прямоугольниках треугольниках острые углы равны.

Во многих учебниках элементарной геометрии до настоящего времени тригонометрические функции острого угла определяются как отношения сторон прямоугольного треугольника.

Для работы нам нужны чертежи двух прямоугольных треугольников, имеющих равные острые углы. Для облегчения этой работы воспользуемся небольшой хитростью: мы как бы «наложим» эти треугольники друг на друга. Вот так, например:

Измерьте длины  указанных сторон треугольников в мм и вычислите их отношения.

Сравните следующие отношения:

Как вы думаете:

• результаты, полученные в п.3, – это случайность или закономерность?
  
• значения отношений зависят от длин сторон или от величины угла?

Приходим к выводу, что полученные результаты зависят от величины острого угла, но не зависят от размеров треугольника.

Сформулируем теперь установленные закономерности более грамотно математически:

Если в двух прямоугольниках треугольниках острые углы равны, то отношения

• противолежащего катета к гипотенузе, равны.
  
• прилежащего катета к гипотенузе, равны.
  
• противолежащего катета к прилежащему катету ,равны.

Итак, в прямоугольном треугольнике отношение длин двух сторон не зависит от их длины ,а зависит лишь от величины острого угла. Было бы непростительно оставить этот факт без внимания, поэтому указанным отношениям дали названия синус, косинус, тангенс.

Историческая справка.

В IV-V веках появился уже специальный термин в трудах по астрономии великого индийского учёного Ариабхаты, именем которого назван первый индийский спутник Земли. Дугу он назвал ардхаджива (ардха – половина, джива – тетива лука, которую напоминает хорда). Позднее появилось более краткое название джива. Арабскими математиками в IX веке это слово было заменено на арабское слово джайб (выпуклость). При переводе арабских математических текстов в веке оно было заменено латинским синус (sinus – изгиб, кривизна).

вид функции синус

Слово косинус намного моложе. Косинус – это сокращение латинского выражения completely sinus, т. е. “дополнительный синус” (или иначе “синус дополнительной дуги”; cosa = sin( 90° - a)).

Файл:12052011 7.gif вид функции косинус

Тангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины тени. Тангенс (а также котангенс) введен в X веке арабским математиком Абу-ль-Вафой, который составил и первые таблицы для нахождения тангенсов и котангенсов. Однако эти открытия долгое время оставались неизвестными европейским ученым, и тангенсы были заново открыты лишь в XIV веке немецким математиком, астрономом Регимонтаном (1467 г.). Он доказал теорему тангенсов. Региомонтан составил также подробные тригонометрические таблицы; благодаря его трудам плоская и сферическая тригонометрия стала самостоятельной дисциплиной и в Европе.

Название «тангенс», происходящее от латинского tanger (касаться), появилось в 1583 г. Tangens переводится как «касающийся» (линия тангенсов – касательная к единичной окружности).

Дальнейшее развитие тригонометрия получила в трудах выдающихся астрономов Николая Коперника (1473-1543) – творца гелиоцентрической системы мира, Тихо Браге (1546-1601) и Иогана Кеплера (1571-1630), а также в работах математика Франсуа Виета (1540-1603), который полностью решил задачу об определениях всех элементов плоского или сферического треугольника по трем данным.

Понятия «противоположный катет» и «прилежащий катет».

Для угла А катет ВС-противолежащий, а АС-прилежащий.

Файл:O.gif Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой, две другие стороны называются катетами.

Файл:O.gif Катет — одна из двух сторон прямоугольного треугольника, образующих прямой угол. Противоположная прямому углу сторона называется гипотенузой. Для непрямоугольного треугольника катеты не существуют.

Название «катет» происходит от греческого kathetos — перпендикуляр, опущенный, отвесный. Название также встречается в архитектуре и означает отвес через средину задка ионической капители.

Файл:12052011 11.gif

a, b - катеты

Файл:12052011 13.gif

По полученным соотношениям делаем вывод:

Файл:O.gif Синус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего к данному острому углу катета и гипотенузы.

Файл:O.gif Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего к данному острому углу катета и гипотенузы.

Файл:O.gif Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего к данному острому углу катета к прилежащему.

Файл:O.gif Котангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего к данному острому углу катета к противолежащему.

Рассмотрим функцию тангенс подробнее.

Файл:12052011 14.gif

Рассмотрим соотношения выплывающие с основных.

Для примера возьмем другой прямоугольный треугольник.

15Файл:12052011 15.gif

Катет прямоугольного треугольника равен:

Файл:12052011 16.gif

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна:

Файл:12052011 17.gif

Или в виде определений:

Файл:O.gif Катет прямоугольного треугольника равен произведению: гипотенузы и синуса противолежащего угла; гипотенузы и косинуса прилежащего угла; другого катета и тангенса противолежащего угла; другого катета и котангенса прилежащего угла.

Файл:O.gif Гипотенуза прямоугольного треугольника равна отношению: катета и синуса, противолежащего этому катету угла; катета и косинуса, прилежащего этому катету угла (не зависимо от того, какой катет известен).

Практическая часть.

Задание №1

Какое отношение верно?

Задание №2

В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 15 см, а синус одного из острых углов равен 0,6.

Чему равен катет, противолежащий данному острому углу?

Задание №3

Если квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то эта сторона лежит против:

• тупого угла,
  
• прямого угла,
  
• острого угла.
  

Интересный факт:

Развитие тригонометрии.

Долгое время тригонометрия носила чисто геометрический характер, т. е. Факты, которые мы сейчас формулируем в терминах тригонометрических функций, формулировались и доказывались с помощью геометрических понятий и утверждений. Такою она была еще в средние века, хотя иногда в ней использовались и аналитические методы, особенно после появления логарифмов.

Пожалуй, наибольшие стимулы к развитию тригонометрии возникали в связи с решением задач астрономии, что представляло большой практический интерес (например, для решения задач определения местонахождения судна, предсказания затемнения и т. д.). Астрономов интересовали соотношения между сторонами и углами сферических треугольников. И надо заметить, что математики древности удачно справлялись с поставленными задачами.

Аналитическая теория тригонометрических функций в основном была создана выдающимся математиком XVIII веке Леонардом Эйлером (1707-1783) членом Петербургской Академии наук. Громадное научное наследие Эйлера включает блестящие результаты, относящиеся к математическому анализу, геометрии, теории чисел, механике и другим приложениям математики. Именно Эйлер первым ввел известные определения тригонометрических функций, стал рассматривать функции произвольного угла, получил формулы приведения. После Эйлера тригонометрия приобрела форму исчисления: различные факты стали доказываться путем формального применения формул тригонометрии, доказательства стали намного компактнее проще,

Таким образом, тригонометрия, возникшая как наука о решении треугольников, со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях.

Вопросы:

1. Что изучает тригонометрия?
   
2. Где применялись первые тригонометрический функции?
3. что такое гипотенуза и катит?

Список использованных источников:

1. Шишкова Елена Николаевна, учитель математики, урок на тему "Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике"
2. Жизнякова Зоя Стапановна, учитель математики, урок на тему "Соотношение между сторонами"
3. Мазур К. И. «Решение основных конкурсных задач по математике сборника под редакцией М. И. Сканави»
4. Парфенова Елена Витальевна, учитель математики, урок на тему "Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике"

Над уроком работали:

Потурнак С.А.

Жизнякова Зоя Стапановна

Шишкова Елена Николаевна

Парфенова Елена Витальевна

Поставить вопрос о современном образовании, выразить идею или решить назревшую проблему Вы можете на Образовательном форуме, где на международном уровне собирается образовательный совет свежей мысли и действия. Создав блог, Вы не только повысите свой статус, как компетентного преподавателя, а и сделаете весомый вклад в развитие школы будущего. Гильдия Лидеров Образования открывает двери для специалистов  высшего ранга и приглашает к сотрудничеству в направлении создания лучших в мире школ.