Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс. Полные уроки>>Геометрия: Теорема о пропорциональных отрезках. Полные уроки

ТЕМА УРОКА: Теорема о пропорциональных отрезках.

Цели урока:

• Познакомиться с новыми определениями и вспомнить некоторые уже изученные.
  
• Научиться применять свойства фигур при решении задач.
• Развивающие – развить внимание учащихся, усидчивость, настойчивость, логическое мышление, математическую речь.
• Воспитательные - посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.

Задачи урока:

• Проверить умение учащихся решать задачи.

План урока:

1. Исторический факт, геометр Фалес.
2. Повторение ранее изученного материала.
3. Теорема о пропорциональных отрезках.
4. Примеры задач.
5. Задания для самостоятельной проверки.

Исторический факт, геометр Фалес.

древнегреческий философ и математик из Милета (Малая Азия)

Деятельность.

Сведения о конкретных событиях жизни Фалеса скудны и противоречивы, имеют анекдотичный характер.

Как сообщают, будучи военным инженером на службе у царя Лидии Креза (или во время одного из путешествий), Фалес, чтобы облегчить переправу войска, пустил реку Галис по новому руслу. Неподалеку от г. Мител он спроектировал плотину и водоотводный канал и сам руководил их постройкой. Это сооружение значительно понизило уровень воды в Галисе и сделало возможной переправу войск.

В Милете, в одной из гаваней, Фалес установил дальномер — прибор, который позволял определять расстояние от берега до корабля, находящегося далеко в море. Свои деловые качества Фалес доказал захватив монополию на торговлю оливковым маслом; однако в активности Фалеса этот факт имеет эпизодический и, скорее всего, «дидактический» характер.

Упомянутое выше предсказание солнечного затмения 585 до н. э. — по-видимому единственный бесспорный факт из научной деятельности Фалеса Милетского; во всяком случае сообщается, что как раз после этого события Фалес стал известен и знаменит.

О политической активности Фалеса известно ещё меньше, чем об общественной и научной. Сообщают, что Фалес был сторонником некоего объединения ионийских полисов (наподобие конфедерации, с центром на о. Хиос), как противодействия угрозе со стороны Лидии, а позже и Персии. Причем Фалес, в оценке внешних опасностей, видимо считал угрозу со стороны Персии большим злом, чем от Лидии; упомянутый эпизод со строительством плотины имел место во время войны Креза (царя Лидии) с персами. В то же время Фалес выступил против заключения союза милетян с Крезом, чем спас город после победы Кира (царя Персии).

Сочинения.

Сочинения Фалеса не сохранились; свидетельств его современников также не существует, т.е. неизвестно, писал ли он что-то вообще. Возможно, Фалес не писал ничего, и все известное об учении Фалеса происходит из вторичных источников (в первую очередь из работ Аристотеля, Диогена Лаэртского). Если допустить, что Фалес писал, то уже Аристотель не имел списков его работ. Наиболее последовательно традиция приписывает Фалесу два сочинения. Первое, «Περὶ τροπὴς καὶ ἰσημερίας» («О поворотах солнца и равноденствии», свид. Диогена Лаэртского); его содержание известно только в передаче более поздних авторов, причем часто без указания источника. Второе, «Судоводная (морская) астрономия»; авторство Фалеса в написании этой книги ставилось под сомнение самими древними греками. (Возможно, это лишь дань традиции, по которой считается, что Фалес первый в античном мире стал заниматься астрономией на подлинно научной основе.) Вообще по традиции, полное собрание его сочинений составляло всего 200 стихов (написанных, как свойственно тому времени, гекзаметром).

Геометрия.

Считается, что Фалес первым доказал несколько геометрических теорем, а именно:

• вертикальные углы равны;
• треугольники с равной одной стороной и равными углами, прилегающими к ней, равны;
• углы при основании равнобедренного треугольника равны;
• диаметр делит круг пополам;
• угол, вписанный в полуокружность, всегда будет прямым.

Фалес первый вписал прямоугольный треугольник в круг. Нашёл способ определять расстояние от берега до видимого корабля, для чего использовал свойство подобия треугольников. В Египте «поразил» жрецов и фараона Амасиса тем, что сумел точно установить высоту пирамиды Хеопса. Он дождался момента, когда длина тени палки становится равной её высоте, и тогда измерил длину тени пирамиды.

Повторение ранее изученного материала.

Файл:T.gif Теорема. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Доказательство. Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ накрест лежащие углы равны: ∠1=∠2 (рис. 1, а).

Рис.1

Докажем, что а||b. Если углы 1 и 2 прямые (рис. 1, б), то прямые а и b перпендикулярны к прямой АВ и, следовательно, параллельны. Рассмотрим случай, когда углы 1 и 2 не прямые. Из середины О отрезка АВ проведем перпендикуляр ОН к прямой а (рис. 1, в). На прямой b от точки В отложим отрезок ВН₁ равный отрезку AH, как показано на рисунке 4, в, и проведем отрезок ОН₁. Треугольники ОНА и ОН₁В равны по двум сторонам и углу между ними (АО=ВО. АН=ВН₁ ∠1=∠2), поэтому ∠3=∠4 и ∠15=∠16. Из равенства ∠3=∠4 следует, что точка Н₁ лежит на продолжении луча ОН, т. е. точки Н, О и Н₁ лежат на одной прямой, а из равенства ∠5=∠6 следует, что угол 6 — прямой (так как угол 5 — прямой). Значит, прямые а и b перпендикулярны к прямой НН₁ поэтому они параллельны. Теорема доказана.

Файл:T.gif Теорема. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Рис.2

Доказательство. Пусть при пересечении прямых а и b секущей с соответственные углы равны, например ∠1=∠2 (рис. 2). Так как углы 2 и 3 - вертикальные, то ∠2=∠3. Из этих двух равенств следует, что ∠ 1=∠3. Но углы 1 и 3 — накрест лежащие, поэтому прямые а и b параллельны. Теорема доказана.

Файл:T.gif Теорема. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Доказательство. Пусть при пересечении прямых а и b секущей с сумма односторонних углов равна 180°, например ∠1+∠4=180° (см. рис. 2). Так как углы 3 и 4 — смежные, то ∠3+∠4=180°. Из этих двух равенств следует, что накрест лежащие углы 1 и 3 равны, поэтому прямые а и b параллельны. Теорема доказана.

Теорема о пропорциональных отрезках.

Файл:T.gif Теорема Фалеса. При пересечении сторон угла параллельными прямыми (см. рис) стороны угла делятся на пропорциональные отрезки:

Файл:18042011 4.gif

Файл:05012011 6.GIF

Развитие теоремы о пропорциональных отрезках базируется именно на этой теореме Фалеса.

Файл:T.gif Теорема о пропорциональных отрезках. Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.

Доказательство.

Пусть стороны угла A пересекаются параллельными прямыми в точках B, B₁, C, C₁. Теоремой утверждается, что

Разделим отрезок AC на n равных частей. Пусть δ – длинна отрезка деления и AC = nδ.

Возможны два случая:

1) Существует такое n, при котором B – точка деления. То есть существует m < n такое, что AB = mδ. Проведем через точки деления отрезка AC прямые, параллельные прямой CC₁. По теореме Фалеса эти прямые разбивают отрезок AC₁ на равные отрезки некоторой длины δ₁. Получаем AB₁ = mδ1, AC₁ = nδ1. Из этого

2) Ни при каком n, B1 не является точкой деления. Допустим, что

Отложим на луче AC₁ отрезок AD = (AC₁/AC)*AB . При этом AD < AB₁. Разобьем AC₁ на достаточно большое число n равных частей. Проведем через точки деления прямые, параллельные СС₁. При достаточно большом n на отрезке DB₁ будут точки деления. Обозначим одну из них как точку Y и проведем через нее прямую параллельную СС₁, которая пересекает луч AC в точке X. По доказанному

Заменим AY меньшей величиной AD, а AX большей величиной AB. Тогда

Отсюда

Что противоречит построению отрезка AD. Теорема доказана.

Такое доказательство сложное, запутанное и не всегда понятное после прочтения и требует дополнительных разъяснений, но очень часто встречается в литературе по геометрии.

Потому предлагаю познакомится с альтернативным доказательством.

Эту теорему можно доказать через подобие треугольников. И так начнем все с начала, внимательно читаем теорему и определяем что нам нужно доказать.

Файл:T.gif Теорема. Стороны угла пересекаются рядом параллельных прямых, рассекаются ими на пропорциональные части.

Доказательство.

Требуется доказать, что Файл:18042011 12.gif

Проведя вспомогательные прямые DM,EN,... параллельные ВА, мы получим треугольники, которые подобны между собой, так как углы у них соответственно равны ( вследствие параллельности прямых ). Из их подобия следует: Файл:18042011 13.gif

Заменив в этом ряду равных отношений отрезок DM на D'E' , отрезок EN на E'F' (противоположные стороны параллелограмма) , мы получим то, что требовалось доказать.

Интересный факт:

Вопросы:

1. Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам?
   
2. Диагонали квадрата равны?
3. Противолежащие углы квадрата равны?

Список использованных источников:

1. Кузнецов А. В., учитель математики (5-9 класс), г. Киев
2. «Единый государственный экзамен 2006. Математика. Учебно-тренировочные материалы для подготовки учащихся/ Рособрнадзор, ИСОП – М.: Интеллект-Центр, 2006»
3. Мазур К. И. «Решение основных конкурсных задач по математике сборника под редакцией М. И. Сканави»
4. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина «Геометрия, 7 – 9: учебник для общеобразовательных учреждений»

Над уроком работали:

Кузнецов А. В.

Потурнак С.А.

Татьяна Проснякова

Поставить вопрос о современном образовании, выразить идею или решить назревшую проблему Вы можете на Образовательном форуме, где на международном уровне собирается образовательный совет свежей мысли и действия. Создав блог, Вы не только повысите свой статус, как компетентного преподавателя, а и сделаете весомый вклад в развитие школы будущего. Гильдия Лидеров Образования открывает двери для специалистов  высшего ранга и приглашает к сотрудничеству в направлении создания лучших в мире школ.