Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 7 класс. Полные уроки>>Геометрия: Окружность, вписанная в треугольник. Полные уроки

ТЕМА УРОКА: Окружность, вписанная в треугольник.

Цели урока:

• Образовательные – повторение, обобщение и проверка знаний по теме: “Окружность, вписанная в треугольник”; выработка основных навыков.
• Развивающие – развить внимание учащихся, усидчивость, настойчивость, логическое мышление, математическую речь.
• Воспитательные - посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.

Задачи урока:

• Углубить знания по теме «Вписанный окружности в треугольниках»
• Систематизировать знания по этой теме
• Подготовиться к решению задач повышенной сложности.
  
• Проверить умение учащихся решать задачи.

План урока:

1. Вступительное слово.
2. Теоретическая часть.
3. Построение окружности, вписанной в треугольник.
4. Практическая часть.

Вступительное слово.

Раздел геометрии – стереометрия изучает разные фигуры в пространстве, их характеристики и формулы для вычисления объёмов и площади поверхности. Там много разных полезных формул, что используются на практике и в решении разных математических упражнений. Именно поэтому я решил сделать отдельную страницу, на сайте на которой будут основные формулы по этой теме.

Стереометрия – это раздел геометрии, который не очень любят школьники та и для учителей – эту тему немножко сложнее объяснить. Фигуры, что там изучаются, не нарисуешь на доске и не покажешь всё в деталях, здесь надо включать своё воображение, только оно сможет рассказать об этом нагляднее, ну или специальные уже заготовленные фигуры. Также это можно сделать с помощью современных компьютерных программ. Для лучшего понимания можно посмотреть видео, оно облегчает понимание пространства с большим количеством измерений.

Также в пространстве и формулы идут на порядок сложнее, поэтому я их все выписал с небольшим объяснением всех обозначений. На странице рассмотрены формулы для таких разных видов основных фигур:

• Призмы;
• Пирамиды;
• Цилиндры;
• Конусы;
• Шары.

Хотя сейчас и широко изучаются пространства с большим количеством измерений, но всё-таки мы живём и понимаем трёхмерное пространство и я думаю, что оно ещё полностью не исследовано и здесь также будут добавляться новые формулы.

Теоретическая часть.

Файл:O.gif ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник – описанным около этой окружности.

Файл:O.gif ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Окружность называется вписанной в угол, если она лежит внутри угла и касается его сторон. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.

Файл:O.gif ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Окружность называется вписанной в выпуклый многоугольник, если она лежит внутри данного многоугольника и касается всех прямых, проходящих через его стороны. В выпуклый многоугольник можно вписать не более одной окружности. Сам многоугольник в таком случае называется описанным около данной окружности.

Файл:T.gif ТЕОРЕМА: В любой треугольник можно вписать окружность.

Доказательство.

Рассмотрим произвольный треугольник АВС и обозначим буквой О точку пересечения его биссектрис. Проведем из точки О перпендикуляры ОК, ОL, и ОМ соответственно к сторонам АВ, ВС и СА. Так как точка О равноудалена от сторон треугольника АВС, то ОК = ОL = ОМ. Поэтому окружность с центром О радиуса ОК проходит через точки К, L и М. Стороны треугольника АВС касаются этой окружности в точках К, L и М, так как они перпендикулярны к радиусам ОК, ОL и ОМ. Значит, окружность с центром О радиуса ОК является вписанной в треугольник АВС. Теорема доказана.

Файл:T.gif ТЕОРЕМА: Центр окружности, вписанной в треугольник является точкой пересечения его биссектрис.

Доказательство.

Пусть АВС – данный треугольник, О – центр вписанной в него окружности, P, K и Q – точки касания окружности со сторонами треугольника (Рис. 63). Прямоугольные треугольники АОР и АОК равны по гипотенузе и катетам. У них: АО – общая, OP=OK равны как радиусы. Из равенства треугольников следует равенство углов ОАР и ОАК. Это значит, что точка О лежит на биссектрисе треугольника, проведенной из вершины А. Точно так же доказывается, что точка О лежит на двух других биссектрисах треугольника. Теорема доказана.

ЗАМЕЧАНИЕ:

1. Отметим, что в треугольник можно вписать только одну окружность. В самом деле, допустим, что в треугольник можно вписать две окружности. Тогда центр каждой окружности равноудален от сторон треугольника и, значит, совпадает с точкой О пересечения биссектрис треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до сторон треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают.
2. В отличие от треугольника не во всякий четырехугольник можно вписать окружность. Рассмотрим, например, прямоугольник, у которого смежные стороны не равны, т. е. прямоугольник, не являющийся квадратом. Ясно, что в такой прямоугольник можно “поместить” окружность, касающуюся трех его сторон, но нельзя “поместить”  окружность так, чтобы она касалась всех четырех его сторон, т. е. нельзя вписать окружность.
   

Построение окружности, вписанной в треугольник.

Файл:14022011 3.gif	Построим биссектрису РC=CD.
Файл:14022011 5.gif	Построим биссектрису РA=AK. Точка О - центр искомой окружности по свойству окружности, вписанной в треугольник
Файл:14022011 6.gif	Построим перпендикуляр OE из т.O на прямую AB
	Построим Окр(O, OE)

Практическая часть.

Задача №1.

Дано: АВС — данный треугольник; О — центр вписанной в него окружности; D, Е и F — точки касания окружности со сторонами треугольника (рис. 27).

Доказать: О — точка пересечения биссектрис.

Доказательство. Прямоугольные треугольники AOD иАОЕ равны по гипотенузе и катету. У них гипотенуза ОА — общая, а катеты OD и ОЕ равны как радиусы. Из равенства треугольников следует равенство углов OAD и ОАЕ. А это значит, что точка О лежит на биссектрисе треугольника, проведенной из вершины А. Точно так же доказывается, что точка О лежит на двух биссектрисах треугольника.

Задача №2.

Дано: ABC — данный треугольник, О — точка пересечения биссектрис, М, L и К — точки касания окружности со сторонами треугольника (рис. 28).

Доказать: О — центр окружности, вписанной в АВС.

Доказательство. Проведем из точки О перпендикуляры OK, OL и ОМ соответственно к сторонам АВ, ВС и СА (см. рис. 28). Так как точка О равноудалена от сторон треугольника ABC, то О К = OL = = ОМ. Поэтому окружность с центром О радиуса ОК проходит через точки K L M. Стороны треугольника ABC касаются этой окружности в точках К, L, М, так как они перпендикулярны к радиусам ОК, OL и ОМ. Значит, окружность с центром О радиуса ОК является вписанной в треугольник ABC. Теорема доказана.

Замечание. Отметим, что в треугольник можно вписать только одну окружность. В самом деле, допустим, что в треугольник можно вписать две окружности. Тогда центр каждой окружности равноудален от сторон треугольника и, значит, совпадает с точкой О пересечения биссектрис треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до сторон треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают.

Задача №3.

Построение окружности, вписанной в угол.

Дано: угол АОВ и точка Рє [OA). Построить окружность, вписанную в этот угол, касающуюся стороны ОА в точке Р.

Интересный факт:

О правильных многоугольниках.
В египетских и вавилонских старинных памятниках встречаются правильные четырехугольники, шестиугольники и восьмиугольники в виде изображений на стенах и украшений, высеченных из камня.

Древнегреческие ученые стали проявлять большой интерес к правильным фигурам еще со времен Пифагора. Деление окружности на некоторое число равных частей для построения правильных многоугольников имело важное значение для пифагорейцев, которые утверждали, что числа лежат в основе всех явлений мира. Учение о правильных многоугольниках, начатое в школе Пифагора, продолженное и развитое в V—IV вв. до н. э., было систематизировано Евклидом и изложено в IV книге «Начал». Кроме построения правильного треугольника, четырехугольника, пятиугольника и шестиугольника, Евклид: решает и задачу построения правильного пятнадцатиугольника при помощи только циркуля и линейки. Эта фигура привлекала внимание древних, так как было замечено, что дуга угла наклонения эклиптики к экватору представляет собой 1/15 всей окружности, т. е. стягивается стороной правильного пятнадцатиугольника.

Зная, как построить правильный n-угольник, легко можно построить правильный 2n- угольник. Долгое время математики тщетно искали способы построения правильного семиугольника, девятиугольника, одиннадцатиугольника и т. д., не зная даже, возможно ли вообще построение таких многоугольников с по мощью только циркуля и линейки. Эта проблема была решена лишь в конце ХVIII в. 19-летним К. Ф. Гауссом, великим немецким математиком, доказавшим, что с помощью циркуля и линейки можно разделить окружность на такое простое число N равных частей, которое выражается формулой

N =		+ 1

где n — натуральное число или нуль.
Вот несколько примеров:
1) n = 0, N = 3;

2) n = 1, N = 5;

3) n = 2, N = 17;

4) n = З, N = 257;

5) n = 4, N = 65 537 и т. д.

После открытия Гаусса стало ясно, что, помимо ранее известных правильных многоугольников с 3; 4; 5; 6; 8; 10; 12; 15; 16; 20; 24; 30; 32; 40; ... сторонами, можно построить с помощью циркуля и линейки правильные многоугольники
с 17; 34; 68; 126; 252; 257; 65537… сторонами.
С другой стороны, невозможно циркулем и линейкой построить правильные многоугольники со следующим числом сторон: 7; 9; 11; 13; 14;18; 19; 21; 22; 23; 25; 27; 28;

Еще в древности практиковалось для разных нужд приближенное по строение любого правильного многоугольника: Так, например, Герон Александрийский находит приближенное значение стороны правильного девяти угольника.
Задача построения правильного n-угольника сводится к делению окружности на n равных частей. Один практический прием такого деления предложил французский   математик Н. Бион. Прием этот состоит в следующем: пусть требуется разделить окружность, например, на 9 равных частей (см. рисунок).
На диаметре окружности строится равносторонний треугольник АВС. Диаметр АВ делим на 9 равных частей. Соединяя вторую точку деления с вершиной треугольника С, продолжим прямую до пересечения с окружностью в точке В. Луга АВ является девятой частью окружности, хорда АВ стороной правильного девятиугольника.

Вопросы:

1. Что такое треугольник?
2. Что такое биссектриса
3. Почему центр окружности вписанной углом находиться на биссектрисе?
4. Как вписать окружность в треугольник?

Список использованных источников:

1. Урок на тему "Наглядная геометрия" Автор: Самылина Марина Валентиновна., г. Киев
2. «Единый государственный экзамен 2006. Математика. Учебно-тренировочные материалы для подготовки учащихся/ Рособрнадзор, ИСОП – М.: Интеллект-Центр, 2006»
3. Мазур К. И. «Решение основных конкурсных задач по математике сборника под редакцией М. И. Сканави»
4. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина «Геометрия, 7 – 9: учебник для общеобразовательных учреждений»
   

Отредактировано и выслано Потурнаком С. А.

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.