Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 7 класс. Полные уроки>>Геометрия: Окружность, вписанная в треугольник. Полные уроки

ТЕМА УРОКА: Окружность, вписанная в треугольник.

Цели урока:

• Образовательные – повторение, обобщение и проверка знаний по теме: “Окружность, вписанная в треугольник”; выработка основных навыков.
• Развивающие – развить внимание учащихся, усидчивость, настойчивость, логическое мышление, математическую речь.
• Воспитательные - посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.

Задачи урока:

• Углубить знания по теме «Вписанный окружности в треугольниках»
• Систематизировать знания по этой теме
• Подготовиться к решению задач повышенной сложности.
  
• Проверить умение учащихся решать задачи.

План урока:

1. Обозначения, краткий обзор буквенных переменных для исключения ошибок разного типа.
   
2. Раскрытие главное темы урока, определения высоты, медианы, биссектрисы.
   
3. Пошаговое построение, инструкции для корректного выполнения построения.
   
4. Задание для самостоятельной проверки.

Теоретическая часть.

Файл:O.gif ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник – описанным около этой окружности.

Файл:O.gif ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Окружность называется вписанной в угол, если она лежит внутри угла и касается его сторон. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.

Файл:O.gif ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Окружность называется вписанной в выпуклый многоугольник, если она лежит внутри данного многоугольника и касается всех прямых, проходящих через его стороны. В выпуклый многоугольник можно вписать не более одной окружности. Сам многоугольник в таком случае называется описанным около данной окружности.

Файл:T.gif ТЕОРЕМА: В любой треугольник можно вписать окружность.

Доказательство.

Рассмотрим произвольный треугольник АВС и обозначим буквой О точку пересечения его биссектрис. Проведем из точки О перпендикуляры ОК, ОL, и ОМ соответственно к сторонам АВ, ВС и СА. Так как точка О равноудалена от сторон треугольника АВС, то ОК = ОL = ОМ. Поэтому окружность с центром О радиуса ОК проходит через точки К, L и М. Стороны треугольника АВС касаются этой окружности в точках К, L и М, так как они перпендикулярны к радиусам ОК, ОL и ОМ. Значит, окружность с центром О радиуса ОК является вписанной в треугольник АВС. Теорема доказана.

Файл:T.gif ТЕОРЕМА: Центр окружности, вписанной в треугольник является точкой пересечения его биссектрис.

Доказательство.

Пусть АВС – данный треугольник, О – центр вписанной в него окружности, P, K и Q – точки касания окружности со сторонами треугольника (Рис. 63). Прямоугольные треугольники АОР и АОК равны по гипотенузе и катетам. У них: АО – общая, OP=OK равны как радиусы. Из равенства треугольников следует равенство углов ОАР и ОАК. Это значит, что точка О лежит на биссектрисе треугольника, проведенной из вершины А. Точно так же доказывается, что точка О лежит на двух других биссектрисах треугольника. Теорема доказана.

ЗАМЕЧАНИЕ:

1. Отметим, что в треугольник можно вписать только одну окружность. В самом деле, допустим, что в треугольник можно вписать две окружности. Тогда центр каждой окружности равноудален от сторон треугольника и, значит, совпадает с точкой О пересечения биссектрис треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до сторон треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают.
2. В отличие от треугольника не во всякий четырехугольник можно вписать окружность. Рассмотрим, например, прямоугольник, у которого смежные стороны не равны, т. е. прямоугольник, не являющийся квадратом. Ясно, что в такой прямоугольник можно “поместить” окружность, касающуюся трех его сторон, но нельзя “поместить”  окружность так, чтобы она касалась всех четырех его сторон, т. е. нельзя вписать окружность.
   

Построение окружности, вписанной в треугольник.

Файл:14022011 3.gif	Построим биссектрису РC=CD.
Файл:14022011 5.gif	Построим биссектрису РA=AK. Точка О - центр искомой окружности по свойству окружности, вписанной в треугольник
Файл:14022011 6.gif	Построим перпендикуляр OE из т.O на прямую AB
	Построим Окр(O, OE)

Практическая часть.

Задача №1.

Дано: АВС — данный треугольник; О — центр вписанной в него окружности; D, Е и F — точки касания окружности со сторонами треугольника (рис. 27).

Доказать:

Доказательство. Прямоугольные треугольники AOD иАОЕ равны по гипотенузе и катету. У них гипотенуза ОА — общая, а катеты OD и ОЕ равны как радиусы. Из равенства треугольников следует равенство углов OAD и ОАЕ. А это значит, что точка О лежит на биссектрисе треугольника, проведенной из вершины А. Точно так же доказывается, что точка О лежит на двух биссектрисах треугольника.

Задача №2.

Дано: ABC — данный треугольник, О — точка пересечения биссектрис, М, L и К — точки касания окружности со сторонами треугольника (рис. 28).

Доказать: О — центр окружности, вписанной в АВС.

Доказательство. Проведем из точки О перпендикуляры OK, OL и ОМ соответственно к сторонам АВ, ВС и СА (см. рис. 28). Так как точка О равноудалена от сторон треугольника ABC, то О К = OL = = ОМ. Поэтому окружность с центром О радиуса ОК проходит через точки K L M. Стороны треугольника ABC касаются этой окружности в точках К, L, М, так как они перпендикулярны к радиусам ОК, OL и ОМ. Значит, окружность с центром О радиуса ОК является вписанной в треугольник ABC. Теорема доказана.

Замечание. Отметим, что в треугольник можно вписать только одну окружность. В самом деле, допустим, что в треугольник можно вписать две окружности. Тогда центр каждой окружности равноудален от сторон треугольника и, значит, совпадает с точкой О пересечения биссектрис треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до сторон треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают.

Отредактировано и выслано Потурнаком С. А.

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.