Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 7 класс. Полные уроки>>Геометрия: Использование аксиом при доказательстве теорем. Полные уроки

ТЕМА УРОКА: Использование аксиом при доказательстве теорем.

Цель урока:

• Рассмотреть алгоритм доказательств теорем используя аксиомы.
  

Задачи урока:

• Способствовать формированию навыков самообразования, самоанализа (рефлексии) своих знаний.
• Развитие навыков логического мышления.
• Продолжить работу по формированию навыка решения задач.

План урока:

1. Обзор форм мышления и доказательств.
   
2. Правила доказательства.
   
3. Доказательство математических теорем.
   

Обзор форм мышления и доказательств.

Индукция - форма мышления, посредством которой мысль наводится на какое-либо общее правило, общее положение, присущее всем конкретным объектам какого либо класса.
Дедукция - такая форма мышления, когда новая мысль выводится чисто логическим путем из предшествующих мыслей. Такая последовательность мыслей называется выводом, а каждый компонент этого вывода является либо ранее доказанной мыслью либо аксиомой, либо гипотезой.
Дедуктивное доказательство - одна из форм доказательств, когда тезис, являющийся каким-либо единичным или частным суждением, подводится под общее правило.

Всякое доказательство состоит из трех частей: тезис, доводов, демонстраций.

Правила доказательства:

1. Тезис и аргументы должны быть суждениями ясными и определенными.
2. Тезис должен оставаться одним и тем же на продолжении всего доказательства.
3. Тезис не должен содержать в себе логического противоречия.
4. Тезис, который нужно доказать, не должен находиться в логическом противооречии с высказанными ранее суждениями.
5. Доводы приводимые в подтверждение тезиса, не должны противоречить друг другу.
6. Приведение к абсурду. Истинность того или иного тезиса можно обосновать, доказав ложность пртивоположного тезиса.
7. Тезис и доводы должны быть обоснованны фактами.
8. Доказательство должно быть полным.
9. Доводы приводимые в подверждение истинности тезиса, должны являться достаточными для данного тезиса.
10. Доводы приводимые в доказательстве истинности тезиса сами должны быть истинными.
11. Доводы должны быть суждениями, истинность которых доказана самостоятельно независимо от тезиса.

ПРИМЕЧАНИЕ: Тезис - мысль или положение, истинность которого требуется доказать.

Доказательство математических теорем.

Усвоить содержание теорем (правил, формул, тождеств и т. д.), которые изучаются в школе, не так уж трудно. Для этого необходимо систематически пытаться понять смысл теоремы (правил, формул, тождеств и т. д., как можно чаще применять их при решении задач, при доказательстве других теорем. Такая работа, как показывает практика, приводит к непроизвольному усвоению их содержания, запоминанию их формулировок. Значительно труднее научиться доказывать теоремы. При этом речь идет не о запоминании доказательства той или иной теоремы, которая была рассмотрена на уроке. Специально запоминать доказательство не нужно, нужно научиться самому доказывать теоремы. Доказательства теорем в учебнике следует рассматривать как образец (эталон) рассуждений при доказательстве какого-либо утверждения.

Что значит доказать теорему, что такое доказательство? Доказательство в широком смысле — это логическое рассуждение, в процессе которого истинность какой-либо мысли обосновывается с помощью других положений.

Поэтому, когда вы убеждаете своего товарища в чем-либо или отстаиваете в споре с ним свое мнение, свою точку зрения, то вы по существу производите доказательство (умело или неумело — это уже другой вопрос) . В жизни все время, каждодневно в общении с другими людьми, приходится доказывать те или иные мысли, утверждения, приходится убеждать в чем-то, т. е. доказывать.

Доказательство математических теорем есть частный случай доказательства вообще. Оно отличается от доказательства в житейских условиях или в других науках тем, что оно совершается по возможности чисто дедуктивным способом (от латинского слова дедукция — выведение), т. е. выведением новой доказываемой мысли (утверждения, суждения) из ранее доказанных или принятых без доказательства мыслей (аксиом) по правилам логики без каких-либо ссылок на примеры или опыт. В других науках, в житейских обстоятельствах мы для доказательства часто прибегаем к примерам, к опыту. Мы говорим: «Смотри» — и это может служить доказательством. В математике такой способ доказательства недопустим, ссылаться, например, на очевидные отношения, иллюстрируемые чертежом, не разрешается. Математическое доказательство должно представлять собой цепочку логических следствий из исходных аксиом, определений, условий теоремы и ранее доказанных теорем до требуемого заключения.

Таким образом, при доказательстве теоремы мы сводим ее к ранее доказанным теоремам, а те в свою очередь еще к другим и т. д. Очевидно, что этот процесс сведения должен быть конечным, и поэтому всякое доказательство в конце концов сводит доказываемую теорему к исходным определениям и принятым без доказательства аксиомам.

Следовательно, аксиомы служат не только для коственного определения первичных понятий, но и в качестве оснований для доказательства всех теорем математики. Вот почему в числе аксиом встречаются и такие, которые указывают особые свойства понятий, имеющих логические определения. Так, например, параллельные прямые в курсе геометрии являются не первичным понятием, а определяемым. Однако одно из свойств параллельных прямых, а именно что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной, мы вынуждены принять за аксиому, ибо, как было установлено великим русским геометром Н. И. Лобачевским (1792—1856), а также немецким математиком К. Ф. Гауссом (1777—1855) и венгерским математиком Я. Больяй (1802—1860), доказать это свойство параллельных прямых на основе лишь остальных аксиом геометрии невозможно.

Всякий шаг доказательства состоит из трех частей:

1. предложение (аксиома, теорема, определение), на основе которого производится этот шаг доказательства; это основание шага доказательства называется посылкой или аргументом;
   
2. логическое рассуждение, в процессе которого посылка применяется к условиям теоремы или к ранее полученным следствиям;
   
3. логическое следствие применения посылки к условиям или ранее полученным следствиям.
   

В последнем шаге доказательства теоремы в качестве следствия получаем утверждение, которое необходимо было доказать. Покажем процесс доказательства на примере такой теоремы: «Диагонали прямоугольника равны».

В этой теореме нам дан произвольный (любой) прямоугольник.

Для того чтобы легче было рассуждать в процессе доказательства, поступают следующим образом. Начертим вполне определенный прямоугольник ABCD, но при доказательстве не будем использовать какие-либо частные особенности этого прямоугольника (например, что его сторона АВ примерно в 2 раза больше стороны AD и т. д.). Поэтому наши рассуждения относительно этого определенного прямоугольника будут верны и для любого другого прямоугольника, т. е. они будут иметь общий характер для всех прямоугольников.

Проведем диагонали АС и BD. Рассмотрим полученные треугольники ABC и ABD. У этих треугольников углы ABC и BAD равны как прямые, катет АВ — общий, а катеты ВС и AD равны как противоположные стороны прямоугольника. Следовательно, эти треугольники равны. Отсюда следует, что стороны АС и BD также равны, что и требовалось доказать.

Все доказательство этой теоремы можно изобразить в виде следующей схемы.

Самое трудное в доказательстве — это найти последовательность посылок (аксиом, теорем, определений), применяя которые к условиям теоремы или промежуточным результатам (следствиям) в конечном итоге можно получить нужное следствие — доказываемое положение.

Какими правилами нужно руководствоваться при поиске этой последовательности? Очевидно, что эти правила не могут носить обязательный характер, они лишь указывают возможные пути поиска. Поэтому они называются эвристическими правилами или просто эвристиками (от греческого слова эврика — нахожу, нашел). Многие выдающиеся математики, такие, как Папп (древнегреческий математик, живший в III в.), Блез Паскаль (1623—1662), Рене Декарт (1596—1650), Жак Адамар (1865—1963), Дьердж Пойя (1887) и многие другие, занимались разработкой эвристик для поиска доказательства теорем и решения задач. Вот некоторые эвристические правила, которые полезно помнить:

1. Полезно заменять названия объектов, о которых идет речь в теореме (задаче), их определениями или признаками.

Например, в рассмотренной выше теореме шла речь о прямоугольнике, и мы для доказательства использовали определение прямоугольника.

2. Если можно, то нужно доказываемое положение раздробить на части и доказывать каждую часть в отдельности.

Так, например, доказательство теоремы: «Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм» — можно разделить на две части: сначала доказать, что одна пара противоположных сторон данного четырехугольника параллельна, а затем доказать, что и вторая пара противоположных сторон также параллельна.

Так следует поступать всегда, когда есть возможность доказываемое утверждение разбить на несколько частей более простых утверждений.

3. В поисках доказательства теоремы полезно идти с двух сторон: от условий теоремы к заключению и от заключения к условиям.

Пример. Две прямые, порознь параллельные третьей, параллельны между собой. 

  Дано: а||с, b||с.   
  Доказать: а||b.

 Файл:13122010 2.gif

Докажем эту теорему методом от противного. Допустим, что заключение теомы неверно, т. е. прямая а непараллельна прямой b. Тогда они пересекаются в некоторой точке М. А так как по условию каждая из этих прямых параллельна прямой с, то получается, что через точку М проведены две прямые а и b, параллельные одной и той же прямой с. А мы знаем по аксиоме параллельности, что через точку вне прямой можно провести не более одной прямой, параллельной данной. Пришли к противоречию с аксиомой. Это показывает, что наше предположение о непараллельности прямых а и b неверно, следовательно, а||b, что и требовалось доказать.

Интересный факт:

Одна задача из области неопределенных уравнений приобрела громкую известность, так как за правильное ее решение было завещано целое состояние: 100000 немецких марок!

Задача состоит в том, чтобы доказать следующее положение, носящее название теоремы, или «великого предложения» Ферма:

Сумма одинаковых степеней двух целых чисел не может быть той же степенью какого-либо третьего целого числа. Исключение составляет лишь вторая степень, для которой это возможно.

Иначе говоря, надо доказать, что уравнение

Xⁿ+Yⁿ=Zⁿ

неразрешимо в целых числах для n > 2

Вот результаты усилий: Эйлер (1797) доказал теорему Ферма для третьей и четвертой степеней; для пятой степени ее доказал Лежандр (1823), для седьмой — Ламе и Лебег (1840). В 1849 г. Куммер доказал теорему для обширной группы степеней, и, между прочим, — для всех показателей, меньших ста. Эти последние работы далеко выходят за пределы той области математики, какая знакома была Ферма, и становится загадочным, как мог последний разыскать общее доказательство своего «великого предложения». Впрочем, возможно, он ошибался.

Вопросы:

1. Что такое теорема?
   
2. Что такое индукция и дедукция?
3. Признаки равенства треугольника?
   

Список использованных источников:

1. Федеральный общеобразовательный стандарт. Вестник образования. №12,2004.
2. Программы общеобразовательных учреждений. Геометрия 7-9 классы. Составитель: С.А. Бурмистрова. Москва. «Просвещение», 2009 год.
3. А.П. Ершова, В.В. Голобородько. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 7 класса. «ИЛЕКСА». Москва. 2004.

Отредактировано и выслано Потурнаком С. А.

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.