Файл:O.gif Как раньше мы уже вспоминали треугольник это простейший многоугольник, имеющий 3 вершины (угла) и 3 стороны; часть плоскости, ограниченная тремя точками, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки.
Файл:O.gifТреугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, а третья сторона – основанием.
Основная высота - высота равнобедренного треугольника, опущенная из вершины, являющейся точкой пересечения равных боковых сторон, на основание и соответственно пересекающей последнее в его середине. Полуподобные равнобедренные треугольники - равнобедренные треугольники, для которых справедливо равенство углов при основании одного половинным углам между боковыми сторонами другого. Половинноподобные равнобедренные треугольники - равнобедренные треугольники, равные углы при основании одного являются половинными углами при основании другого.
Свойства равнобедренного треугольника.
Файл:T.gifТеорема 4.3. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Доказательство: Пусть Δ ABC – равнобедренный с основанием AB. Рассмотрим Δ BAC . По первому признаку эти треугольники равны. Действительно, AC = BC; BC = AC; C = C. Отсюда следует A = B как соответствующие углы равных треугольников. Теорема доказана.
Файл:T.gif Теорема 4.4. Свойство медианы равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
Рисунок 1.
Доказательство: Пусть Δ ABC – равнобедренный с основанием AB, и CD – медиана, проведенная к основанию. В треугольниках CAD и CBD углы CAD и CBD равны, как углы при основании равнобедренного треугольника (по теореме 4.3), стороны AC и BC равны по определению равнобедренного треугольника, стороны AD и BD равны, потому что D – середина отрезка AB. Отсюда получаем, что Δ ACD = Δ BCD.
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ACD = BCD, ADC = BDC. Из первого равенства следует, что CD – биссектриса. Углы ADC и BDC смежные, и в силу второго равенства они прямые, поэтому CD – высота треугольника. Теорема доказана.
Признаки равнобедренного треугольника. Файл:T.gifТеорема 4.5. Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.
Доказательство: Пусть Δ ABC – треугольник, в котором A = B. Δ ABC равен Δ BAC по второму признаку равенства треугольников. Действительно: AB = BA; B = A; A = B. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих его сторон: AC = BC. Тогда, по определению, Δ ABC – равнобедренный. Теорема доказана.
Файл:T.gif Теорема 4.6. Если в треугольнике медиана является и высотой, то такой треугольник равнобедренный.
Доказательство: В треугольнике ABC проведем медиану BD, которая по условию также является высотой. Прямоугольные треугольники ABD и CBD равны, т. к. катет BD общий, AD = CD по построению. Следовательно, гипотенузы этих треугольников равны как соответственные элементы равных треугольников, т. е. AB = BC. Теорема доказана.
Файл:T.gifТеорема 4.7.Третий признак равенства треугольников. Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. Рисунок 2. К теореме 4.7
Доказательство: Пусть Δ ABC и Δ A1B1C1 таковы, что AB = A1B1; BC = B1C1 ; AC = A1C1.
Доказательство от противного. Пусть треугольники не равны. Отсюда следует, что Файл:12112010 1.gif одновременно. Иначе треугольники были бы равны по первому признаку.
Пусть Δ A1B1C2 – треугольник, равный Δ ABC, у которого вершина C2 лежит в одной полуплоскости с вершиной C1 относительно прямой A1B1. По предположению вершины C1 и C2 не совпадают. Пусть D – середина отрезка C1C2. Треугольники A1C1C2 и B1C1C2 – равнобедренные с общим основанием C1C2. Поэтому их медианы A1D и B1D являются высотами. Значит, прямые A1D и B1D перпендикулярны прямой C1C2. A1D и B1D имеют разные точки A1 и B1, следовательно, не совпадают. Но через точку D прямой C1C2 можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана.
Примеры решения задач.
Задача №1. Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника равна 9 см, а само основание равно 24см. Найдите радиусы вписанной в треугольник и описанной около треугольника окружностей. Решение. Для решения задачи воспользуемся следующими формулами: Файл:12112010 5.gif где: R - радиус описанной окружности r - радиус вписанной окружности p - полупериметр треугольника S - площадь треугольника, при чем формула нахождения площади треугольника приведена для равнобедренного треугольника и является следствием формулы Герона для случая, когда a - длины одинаковых сторон, а b - длина третьей стороны. Сначала найдем длину одинаковых сторон равнобедренного треугольника. Поскольку высота, опущенная на основание равнобедренного треугольника, является одновременно и медианой, то, применив теорему Пифагора, получим: a = √ (92 + 122 ) = √225 = 15 Теперь найдем площадь равнобедренного треугольника S = 1/2 * 24 √ ( ( 15 + 1/2 * 24 ) ( 15 - 1/2 * 24 ) ) = 12 √ ( 27 * 3 ) = 12 √ 81 = 108 см2 Откуда радиус описанной окружности вокруг равнобедренного треугольника R = 15 * 15 * 24 / ( 4 * 108 ) = 12.5 см. Радиус вписанной окружности p = ( 15 + 15 + 24 ) / 2 = 27 r = 108 / 27 = 4 Ответ: 4 и 12,5 см.
Задача №2. Найдите углы при основании равнобедренного треугольника, учитывая что угол против основания в 2 раза больше угла при основании. Решение. Обозначим величину угла при основании равнобедренного треугольника как х. Тогда, угол, лежащий против основания, будет равен 2х. Поскольку сумма всех углов треугольника равна 180 градусам, то 2x + x + x = 180 4x = 180 x = 45 Таким образом, углы при основании равнобедренного треугольника равны 45 градусов, а угол, лежащий против основания равен 2 * 45 = 90 градусам. Ответ: 45, 45, 90 градусов
Задача №3. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 13см, а основание равно 10см. Найдите площадь равнобедренного треугольника. Решение. 1-й способ. Применим формулу Герона.
Поскольку треугольник равнобедренный, то она примет вид: Файл:12112010 6.gif где а - длина боковых сторон, а b - длина основания. Имеем: S = 1/2 * 10 * √ (13 + 5 )( 13 - 5 ) = 5 √ 18 * 8 = 60 см2 2-й способ. Применим теорему Пифагора Поскольку высота треугольника делит основание пополам, то длина половины основания будет равна 10 / 2 = 5 см . Высота с половиной основания и стороной равнобедренного треугольника образует прямоугольный треугольник. Соответственно, высота основания будет равна: h = √ 132 - 52 = √144 = 12 см Площадь равнобедренного треугольника будет равна площади двух прямоугольных треугольников, образованных боковыми сторонами, высотой и половинами основания равнобедренного треугольника. Применив формулу площади прямоугольного треугольника, получим: S = 5 * 12 / 2 = 30 см2 Поскольку прямоугольных треугольников два, то общая площадь равнобедренного треугольника составит: 30 * 2 = 60 см2 . Ответ: Площадь равнобедренного треугольника составляет 60 см2 .
Интересный факт:
В истории математики рассмотренный нами период существования Александрийской школы носит название «Первой Александрийской школы». С начала нашей эры на основе работ александрийских математиков начинается бурное развитие идеалистической философии: снова возрождаются идеи Платона и Пифагора, и эта философия неоплатоников и неопифагорейцев быстро снижает научное значение работ новых представителей математической мысли. Но вес же математическая мысль не замирает, а время от времени проявляется в работах отдельных математиков. Второй период, в который протекала работа Александрийской школы, носит название «Второй Александрийской школы». Афинская школа числила в своих рядах таких великих людей, как Платон и Аристотель. После смерти Аристотеля центр научной мысли переместился в Александрию (Египет), где в начале 3 в. до н.э. был основан знаменитый Александрийский Мусейон – один из главных научных центров античного мира.
Вопросы:
Что такое треугольник?
Особенности равнобедренного треугольника?
Признаки равенства треугольника?
Список использованных источников:
Урок на тему «Треугольники», Левченко В.С.
Журнал "Прикладная геометрия".
Клейн Ф. Неевклидова геометрия. Пер. с нем. – 2-е изд., стереотипное. – М.: Едиториал УРСС, 2004.
Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике /М. Я. Выгодский. – М.: ООО «Издательство Астрель»; ООО «Издательство АСТ», 2002.
Отредактировано и выслано Потурнаком С .А.
Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.
Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.
