*Равносторонним называется треугольник, у которого все три стороны равны. В равностороннем треугольнике все углы равны 60°, а центры вписанной и описанной окружностей совпадают.
*Равносторонним называется треугольник, у которого все три стороны равны. В равностороннем треугольнике все углы равны 60°, а центры вписанной и описанной окружностей совпадают.
Треугольник прямолинейный, часть плоскости, ограниченная тремя отрезками прямых (стороны Треугольника (в геометрии)), имеющими попарно по одному общему концу (вершины Треугольника (в геометрии)). Треугольник, у которого длины всех сторон равны, называется равносторонним, или правильным, Треугольник с двумя равными сторонами — равнобедренным. Треугольник называется остроугольным, если все углы его острые; прямоугольным — если один из его углов прямой; тупоугольным — если один из его углов тупой. Более одного прямого или тупого угла Треугольник (в геометрии) иметь не может, так как сумма всех трёх углов равна двум прямым углам (180° или, в радианах, p). Площадь Треугольник (в геометрии) равна ah/2, где а — любая из сторон Треугольника, принимаемая за его основание, a h — соответствующая высота. Стороны Треугольника подчинены условию: длина каждой из них меньше суммы и больше разности длин двух других сторон.
Треугольник — простейший многоугольник, имеющий 3 вершины (угла) и 3 стороны; часть плоскости, ограниченная тремя точками, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки. Трём точкам пространства, не лежащим на одной прямой, соответствует одна и только одна плоскость. Любой многоугольник можно разбить на треугольники — этот процесс называется триангуляция. Существует раздел математики, целиком посвящённый изучению закономерностей треугольников — Тригонометрия.
Типы треугольников: Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, то не менее двух углов в треугольнике должны быть острыми (меньшими 90°). Выделяют следующие виды треугольников:
Если все углы треугольника острые, то треугольник называется остроугольным;
Если один из углов треугольника тупой (больше 90°), то треугольник называется тупоугольным;
Если один из углов треугольника прямой (равен 90°), то треугольник называется прямоугольным. Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой.
По числу равных сторон:
Разносторонним называется треугольник, у которого длины трёх сторон попарно различны.
Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, третья сторона называется основанием. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника, опущенные на основание, совпадают.
Равносторонним называется треугольник, у которого все три стороны равны. В равностороннем треугольнике все углы равны 60°, а центры вписанной и описанной окружностей совпадают.
Правильный Тупоугольный
ПрямоугольныйРазносторонний
РавнобедренныйРавносторонний
Остроугольный
Лучи, отрезки и точки:
Медианой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны (основанием медианы). Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка пересечения называется центроидом или центром тяжести треугольника. Последнее название связано с тем, что у треугольника, сделанного из однородного материала, центр тяжести находится в точке пересечения медиан. Центроид делит каждую медиану в отношении 1:2, считая от основания медианы.
Высотой треугольника, проведённой из данной вершины, называется перпендикуляр, опущенный из этой вершины на противоположную сторону или её продолжение. Три высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника.
Биссектрисой треугольника, проведённой из данной вершины, называют отрезок, соединяющий эту вершину с точкой на противоположной стороне и делящий угол при данной вершине пополам. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка совпадает с центром вписанной окружности (инцентром).
Средней линией треугольника называют отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника.
В равнобедренном треугольнике биссектриса, медиана и высота, проведённые к основанию, совпадают. Верно и обратное: если биссектриса, медиана и высота, проведённые из одной вершины, совпадают, то треугольник равнобедренный. Если треугольник разносторонний, то для любой его вершины биссектриса, проведённая из неё, лежит между медианой и высотой, проведёнными из той же вершины.
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника также пересекаются в одной точке, которая совпадает с центром описанной окружности.
Середины трёх сторон треугольника, основания трёх его высот и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, лежат на одной окружности, называемой окружностью девяти точек.
В любом треугольнике центр тяжести, ортоцентр, центр описанной окружности и центр окружности девяти точек лежат на одной прямой, называемой прямой Эйлера.
Ортоцентр, инцентр, центроид (центр тяжести), а также некоторые другие точки называются замечательными точками треугольника.
Определения, связанные с треугольником
Вписанная окружность — окружность, касающаяся всех трёх сторон треугольника. Она единственна. Центр вписанной окружности называется инцентром.
Описанная окружность — окружность, проходящая через все три вершины треугольника. Описанная окружность также единственна.
Вневписанная окружность — окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжения двух других сторон.
Вопросы:
Что такое треугольник?
Чему равна сумма углов треугольника?
Какие виды треугольников существуют?
Список использованных источников:
Погорелов, Геометрия 7-11 класс.
Атанасян, Геометрия 7-9 класс.
http ://ru.wikipedia.org
http ://bse.sci-lib.com
Отредактировано и выслано Потурнаком С .А.
Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.
Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.
