Уравнения и неравенства с параметрами

KNOWLEDGE HYPERMARKET

 		Версия 08:15, 28 сентября 2010 (просмотреть исходный код)
User9  (Обсуждение | вклад)
← Предыдущая правка
		Версия 08:21, 28 сентября 2010 (просмотреть исходный код)
User9  (Обсуждение | вклад) 
Следующая правка →
		
Строка 1:
Строка 1:
 '''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]&gt;&gt;[[Математика|Математика]]&gt;&gt;[[Математика 10 класс|Математика 10 класс]]&gt;&gt;Математика: Уравнения и неравенства с параметрами<metakeywords>Уравнения и неравенства с параметрами</metakeywords>'''    '''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]&gt;&gt;[[Математика|Математика]]&gt;&gt;[[Математика 10 класс|Математика 10 класс]]&gt;&gt;Математика: Уравнения и неравенства с параметрами<metakeywords>Уравнения и неравенства с параметрами</metakeywords>'''  
  
- <br>'''УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРАМИ'''<br>Если дано уравнение f(х, а) =0, которое надо решить относительно переменной х и в котором буквой а обозначено произвольное действительное число, то его называют уравнением с параметром а. Основная трудность, связанная с решением уравнений (и тем более неравенств) с параметром, состоит в следующем. При одних значениях параметра уравнение не имеет решений, при других имеет бесконечно много решений, при третьих оно решается по одним формулам, при четвертых — по другим. Как все это учесть? Сразу скажем, что решению уравнений и неравенств с параметрами посвящена масса учебно-методической литературы. Наша задача весьма скромна: завершая изучение курса алгебры в школе, дать вам некоторое представление о том, как рассуждают при решении уравнений и неравенств с параметрами. Для этого мы рассмотрим ряд примеров.<br>'''Пример 1.''' Решить относительно х:<br>а)&nbsp;&nbsp;&nbsp; уравнение 2а( а - 2)х = а - 2;<br>б)&nbsp;&nbsp;&nbsp; неравенство 2а(а -2)х &gt; а -2.<br>'''Решение''', а) Обычно корень уравнения вида bх = с мы находим без труда: [[Image:qw436.jpg]], поскольку в конкретном уравнении коэффициент b отличен от нуля. В заданном уравнении коэффициент при х равен 2а(а -2), и поскольку значение параметра а нам неизвестно и в принципе оно может быть любым, следует подстраховаться, т.е. сначала предусмотреть возможность обращения указанного коэффициента в нуль.<br>Рассмотрим следующие случаи:<br>[[Image:qw437.jpg]]<br>В первом случае (при а- 0) заданное уравнение принимает вид 0 • х = -2; это уравнение не имеет корней.<br>Во втором случае (при а = 2) заданное уравнение принимает вид 0 х = 0; этому уравнению удовлетворяют любые значения переменной х.<br>327<br>В третьем случае (при а ФО, а ф2) коэффициент при х отличен от нуля<br>и, следовательно, на этот коэффициент можно разделить обе части уравне-а -2&nbsp;&nbsp;&nbsp; 1<br>ния. Получим: х =--, т.е. х = —.<br>2а(а -2)&nbsp;&nbsp;&nbsp; 2а<br>б) Решая неравенство, нужно учитывать знак коэффициента при х. Поэтому для решения заданного неравенства нужно рассмотреть не три случая, как это было в п. а), а пять:<br>1)а = 0; 2)а = 2; 3)а&lt;0; 4)0&lt;а&lt;2; 5)а&gt;2. В первом случае (при а = 0) заданное неравенство принимает вид 0 • х &gt; -2; этому неравенству удовлетворяют любые значения переменной х.<br>Во втором случае (при о = 2) заданное неравенство принимает вид 0- х &gt; 0; это неравенство не имеет решений.<br>В третьем случае (при а &lt;0) коэффициент 2а(а -2) положителен, значит, деля на него обе части заданного неравенства, знак неравенства следует оставить таким, каким он был:<br>а -2&nbsp;&nbsp;&nbsp; 1<br>х&gt;-, т.е. х &gt;—.<br>2а(а -2)&nbsp;&nbsp;&nbsp; 2 а<br>Сразу заметим, что так же будет обстоять дело и в пятом случае (при а &gt; 2). В этом случае, как и в третьем, коэффициент 2а(а -2) положителен<br>1<br>и, решая заданное неравенство, получаем: х &gt; —.<br>2 а<br>Осталось рассмотреть четвертый случай, когда0&lt;а &lt;2. В этом случае коэффициент 2а(а -2) отрицателен, значит, деля на него обе части заданного неравенства, знак неравенства следует изменить на противоположный:<br>а-2&nbsp;&nbsp;&nbsp; 1<br>х &lt;-, т.е. х &lt; —.<br>2а(а -2)&nbsp;&nbsp;&nbsp; 2 а<br>Ответ: а) Если а = 0, то корней нет; если а = 2, то х — любое действительное число; если а *0и а ф2, то х =—.<br>2а<br>б) Если а = 2, то решений нет; если а = 0, то х — любое действительное<br>число; если а &lt; 0 или а &gt; 2, то х &gt; —; если 0 &lt; а &lt; 2, то х &lt; —.<br>2а&nbsp;&nbsp;&nbsp; 2а<br>Пример 2. Решить уравнение<br>(а -1)х2 + 2(2а + 1)х + (4а + 3)=0. Решение. По виду это уравнение представляется квадратным. Но (внимание!) значение параметра а нам неизвестно, и оно вполне может оказаться равным 1; в этом случае коэффициент при х2 обращается в нуль и уравнение квадратным не является, оно будет линейным. Квадратные и линейные уравнения решаются по различным алгоритмам. Итак, нам следует рассмотреть два случая: а = 1 и В первом случае (при а = 1) уравнение принимает следующий вид: 0- хг + 2- Зх + 7 =0, т.е. 6х + 7 =0. Решив это линейное уравнение, получаем 7<br>х =—. 6<br>Во втором случае (при а Ф1) мы имеем квадратное уравнение<br>(а -1)*2 + 2(2 а + 1)х + (4а + 3)=0. Найдем его дискриминант:<br>328<br>1)=(2(2а + 1))2 -4(а -1)(4а +3)=4(4а2 +4а + 1)-4(4а2 -а -3)= = 20а + 16=4(5а +4).<br>Итак, ,0=4(5а +4).<br>Дальнейшие рассуждения зависят от знака дискриминанта. Если Б &lt;0, то квадратное уравнение не имеет корней; если 25 = 0, то уравнение имеет один корень; если Х&gt; &gt; 0, то уравнение имеет два корня. Дискриминант об-<br>4&nbsp;&nbsp;&nbsp; 4<br>ращается в нуль при а = —, положителен при а &gt; —, отрицателен при<br>5&nbsp;&nbsp;&nbsp; 5<br>а &lt; —. Именно эти три случая нам и предстоит теперь рассмотреть. 5<br>4<br>Начнем со случая, когда а &lt; —. В этом случае I) &lt;0 и, следовательно,<br>5<br>квадратное уравнение не имеет корней.<br>4<br>Пусть теперь а &gt; — (но, напомним, а Ф1). В этом случае 2Э &gt; 0 и, следова-<br>5<br>тельно, квадратное уравнение имеет два корня, которые мы найдем по известной формуле:<br>_-2(2а + 1)±У4(5а+4) ~&nbsp;&nbsp;&nbsp; 2(а -1) • '<br>Полученное выражение можно упростить, если вынести из-под знака квадратного корня множитель 2 и сократить дробь на 2. Получим:<br>_-(2а + 1)±л/5а+4 Хгя ~&nbsp;&nbsp;&nbsp; „<br>^ г&nbsp;&nbsp;&nbsp; а -1<br>Осталось рассмотреть случай, когда а=—. Используя написанную<br>5<br>формулу для корней квадратного уравнения, получаем:<br>Л-1 ~ Л ~ 3'<br>5&nbsp;&nbsp;&nbsp; 5<br>7<br>Ответ: если а = 1, то я = —;<br>6<br>4&nbsp;&nbsp;&nbsp; 1 если а = —, то х = —;<br>5&nbsp;&nbsp;&nbsp; 3<br>4<br>если а &lt; —, то корней нет;<br>5<br>4<br>если а &gt; — (но а * 1), то уравнение имеет два корня:<br>5<br>_-(2а + 1)±л/5а+4<br>Х1Л ~&nbsp;&nbsp;&nbsp; л<br>а -1<br>Пример 3. Решить уравнение 4х-а -1а- х.<br>Решение. Сначала будем действовать по стандартной схеме — возведем обе части заданного иррационального уравнения в квадрат и решим полученное квадратное уравнение:<br>=(2а-*/, х - а = 4а2-4ах + я2,<br>329<br>х2 -(4а + 1)я: + 4а2 + а =0.<br>Найдем дискриминант: Д=(4а +-4(4а2 + а)=4а +1. Далее:<br>4а +1 ± У4 а +1<br>Теперь надо выполнить проверку, подставляя поочередно каждый из найденных корней в исходное уравнение. Эта проверка, как нетрудно догадаться, будет весьма и весьма сложной. Мы выберем другой путь — графический: построим графики функций: у = ^х-аУ1у=2а-х и найдем точки их пересечения. При этом целесообразно рассмотреть три случая:<br>а =0, а &lt;0, а &gt;0.<br>В первом случае (при а =0) заданное уравнение принимает вид 4х = -х. Построив графики функций у<br>у = ~х (рис. 258), убеждаемся, что они имеют одну общую точку (0; 0), а потому уравнение имеет только один корень х = 0.<br>~У =&nbsp;&nbsp;&nbsp; У -х"&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; <br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; У=т1х<br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; &lt;Л&nbsp;&nbsp;&nbsp; V-&nbsp;&nbsp;&nbsp; <br>Рис. 258<br>Рис. 259<br>Во втором случае (при а &lt;0) графики функций у = 2а -х и у = 4х-а не пересекаются (рис. 259); значит, заданное уравнение не имеет корней.<br>В третьем случае (при а &gt; 0) графики функций у = 2а-хтлу = 4х-а пересекаются в одной точке (рис. 260); значит, заданное уравнение имеет один корень. Следовательно, из двух полученных выше корней один окажется посторонним. Какой? Ответ можно почерпнуть из графической иллюстрации, представленной на рис. 260. Абсцисса точки пересечения графиков меньше, чем 2а (это — абсцисса точки пересечения прямой<br>о ч тх ~ 4а + 1-&gt;/4а + 1 у = 2а-х с осью х). Из двух наиденных корней: х1 =—■- и<br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; кУ&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; <br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 2&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; <br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; а&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; У&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; <br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; X&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; <br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; <br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; <br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; 0&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; 1 .&nbsp;&nbsp;&nbsp; 2(&nbsp;&nbsp;&nbsp; N&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; X<br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; <br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; <br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; <br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; / 1111&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; <br><br>4а +1 + &gt;/4а + 1<br>второй явно больше, чем<br>2а; чтобы в этом убедиться, достаточно переписать второй корень в виде:<br>х^ =2 а +<br>1 + &gt;/4а +1<br>Итак, если а &gt;0, то заданное уравнение имеет один корень<br>Рис. 250<br>х=-<br>4а +1 - -&gt;/4а + 1<br>330<br>Ответ: если а &lt;0, то корней нет; если а = 0, то х = 0;<br>_ 4а +1 --у/4а +1 если а &gt;0, тод:=-.<br>2<br>Замечание. В только что решенном примере ответ можно записать компактнее. Дело в том, что записанная для случая а &gt; 0 формула для корня уравнения пригодна и для случая а = 0: если а = 0, то по указанной формуле получаем х = 0. Поэтому ответ можно было записать так: если а &lt;0, то корней нет; если а &gt; 0, то:<br>4а + 1-&gt;/4а + 1<br>Пример 4. При каких значениях параметра а корни уравнения 2а*2 ~2х -За -2=0 меньше 1.<br>Решение. Если а = 0, то уравнение принимает вид -2*-2=0; корень этого уравнения х = -1 удовлетворяет заданному условию, он меньше 1.<br>Если а Ф0, то заданное уравнение является квадратным. Графиком функции у = ?(х),' где / (я) = 2ад;2 - 2х - За - 2, является парабола с ветвями вверх, если 2а &gt;0, и ветвями вниз, если 2а &lt;0. Поскольку корни уравнения по условию должны быть меньше 1, упомянутая выше ' парабола должна располагаться в координатной плоскости так, как изображено на рис. 261 (для случая 2а &gt;0) и на рис. 262 (для случая 2а &lt;0).<br>Дадим аналитическое описание геометрической модели, представленной на рис. 261. Во-первых, напомним, при 2а &gt; 0 ветви параболы направлены вверх. Во-вторых, парабола обязательно пересекается с осью абсцисс (в крайнем случае касается ее), иначе у квадратного уравнения не будет корней. Корни есть, значит, дискриминант Х&gt; неотрицателен, т.е. I) &gt; 0. В-третьих, в точке х = 1 имеем /(1) &gt;0. В-четвертых, /'(1) &gt; 0, поскольку в окрестности точки х = 1 функция возрастает.<br>Итак, получаем систему неравенств — аналитическую модель, дающую описание геометрической модели, представленной на рис. 261:<br>2а &gt; 0,<br>Д&gt;0,<br>Д1)&gt;0,<br>/'(1)&gt;0.<br>Аналогичные рассуждения позволяют составить вторую систему неравенств — аналитическую модель, дающую описание геометрической модели, представленной на рис. 262:<br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; У&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; 1&nbsp;&nbsp;&nbsp; I = Г(х&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; <br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; к&nbsp;&nbsp;&nbsp; к&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; V&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; <br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; <br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; <br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; 1)&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; <br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; <br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; <br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 0&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; х\&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; г 1&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; X<br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; <br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; <br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; <br>Рис. 261<br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; кУ&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; <br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 1&nbsp;&nbsp;&nbsp; к&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; <br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; <br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; <br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; <br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 0&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; X._&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; хг&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; 1&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; X<br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; 1)&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; <br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; <br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; <br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; <br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; у&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; <br>Рис. 262<br>331<br>2а &lt; О, 23 &gt; О, /(1)&lt;0, /'(1)&lt;0.<br>Решим первую систему неравенств. Составим выражение для дискриминанта I) квадратного трехчлена2ах2 -2х-За-2:<br>Д=4-4-2а(-За-2) = 24а2 + 16а + 4. Составим выражение для /(1):<br>Г{1) = 2а 1г-2 1-За-2 = -а-4. Составим выражение для /'(1):<br>Г(х)=2а-2х-2=4ах-2; /"(1)=4а-2.<br>Таким образом, первая система неравенств принимает вид:<br>2а &gt; О,<br>24а2 + 16а + 4 &gt;0, -а -4&gt;0, 4а-2 &gt;0.<br>Эта система не имеет решений, поскольку из первого ее неравенства получаем а &gt;0, а из третьего получаем а &lt; -4, что одновременно выполняться не может ни при каких значениях а.<br>Вторая система неравенств принимает вид:<br>2а &lt; 0,<br>24а2 +16а + 4&gt;0, -а -4&lt;0, 4а-2 &lt;0.<br>Сразу обратим внимание на то, что квадратный трехчлен 24а2 + 16а + 4 имеет отрицательный дискриминант (Х&gt; = 162 -4-4-24&lt;0) и положительный старший коэффициент. Значит, при всех значениях а выполняется неравенство 24а2 + 16а + 4&gt;0, а потому квадратное неравенство в данной системе неравенств можно отбросить. Далее имеем<br>а &lt;0,<br>. а &gt; -4, 1<br>а &lt;-. 2<br>Решение этой системы достаточно очевидно: -4 &lt; а &lt;0. Итак, мы нашли все интересующие нас значения параметра а:<br>а=0; -4&lt;а&lt;0.<br>Ответ: -4 &lt; а &lt;0.<br>332<br>ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ<br>В этой главе мы подвели итоги изучения в школе уравнений, неравенств, систем уравнений. Мы достаточно аккуратно ввели следующие термины:<br>равносильность уравнений, равносильность неравенств, равносильность систем уравнений;<br>следствие уравнения, следствие неравенства; равносильное преобразование уравнения, неравенства; посторонние корни (для уравнений);<br>проверка корней (для уравнений), проверка решений (для систем уравнений);<br>система уравнений, система неравенств, совокупность неравенств; решение системы неравенств, решение совокупности неравенств.<br>Мы сформулировали теоремы. о равносильности уравнений; о равносильности неравенств.<br>Мы ответили на четыре главных вопроса, связанных с решением уравнений: ^<br>как узнать, является ли переход от одного уравнения к другому равносильным преобразованием?<br>какие преобразования переводят данное уравнение в уравнение-следствие?<br>как сделать проверку, если она сопряжена со значительными трудностями в вычислениях?<br>в каких случаях при переходе от одного уравнения к другому может произойти потеря корней и как этого не допустить?<br>Мы выделили четыре общих метода решения уравнений: замена уравнения Щ(х)) = к(§(х)) уравнением /(ж) = §(х)\ метод разложения на множители; метод введения новых переменных; функционально-графический метод.<br>Мы расширили представления о методах решения систем уравнений (метод подстановки, метод алгебраического сложения, метод введения новых переменных, графический метод, метод умножения, метод деления), познакомились с новыми классами систем уравнений (иррациональных, тригонометрических), рассмотрели системы уравнений с различным числом переменных.<br>Мы познакомились с тем, как решаются уравнения и неравенства с параметрами.<br>ОГЛАВЛЕНИЕ<br>Предисловие для учителя........................ 3<br>ГЛАВА 1. Тригонометрические функции<br>§ 1. Введение..............................................................5<br>§ 2. Числовая окружность................................................8<br>'§ 3. Числовая окружность на координатной плоскости..............17<br>§ 4. Синус и косинус......................................................25<br>§ 5. Тангенс и котангенс..................................................32<br>§ 6. Тригонометрические функции числового аргумента............35<br>§ 7. Тригонометрические функции углового аргумента . ...........37<br>§ 8. Формулы приведения .....,.,.&lt;..............................41<br>§ 9. Функция у = зтх, ее свойства и график............................43<br>§10. Функция у = соз х, ее свойства и график ..........................49<br>§ 11. Периодичность функций у = зтх, у = созх........... .&nbsp;&nbsp;&nbsp; 51<br>§ 12. Как построить график функции у=т{(х),<br>если известен график функции у = {(х)............................53<br>§ 13. Как построить график функции у = {(кх),<br>если известен график функции у = ?(х)............................56<br>§ 14. График гармонического колебания................................60<br>§15. Функции у = х, у = с1§ х, их свойства и графики................61<br>Основные результаты....................................................67<br>ГЛАВА 2. Тригонометрические уравнения<br>§ 16. Первые представления о решении тригонометрических<br>уравнений............................................................69<br>§ 17. Арккосинус. Решение уравнениясоз* = а..........................72<br>§ 18. Арксинус. Решение уравнения зш&lt; = а............................77<br>§ 19. Арктангенс и арккотангенс.<br>Решение уравнений 1§х = а, с1§х = а..............................83<br>§ 20. Тригонометрические уравнения ..................................89<br>Основные результаты ......................100<br>ГЛАВА 3. Преобразование тригонометрических выражений<br>§ 21. Синус и косинус суммы аргументов . :.............101<br>§ 22. Синус и косинус разности аргументов..............105<br>§ 23. Тангенс суммы и разности аргументов..............108<br>§ 24. Формулы двойного аргумента...................110<br>§ 25. Формулы понижения степени...................115<br>§ 26. Преобразование сумм тригонометрических функций<br>в произведения ...........................117<br>§ 27. Преобразование произведений тригонометрических<br>функций в суммы..........................122<br>§ 28. Преобразование выражения А зш х + В соз х<br>к видуСзт(х + 2)..........................123<br>Основные результаты ......................126<br>334<br>ГЛАВА 4. Производная<br>§ 29. Числовые последовательности ..................128<br>§ 30. Предел числовой последовательности..............131<br>§31. Предел функции ..........................140<br>§ 32. Определение производной.....................148<br>§ 33. Вычисление производных.....................155<br>§ 34. Уравнение касательной к графику функции..........165<br>§ 35. Применение производной для исследования функций<br>на монотонность и экстремумы..................170<br>§ 36. Применение производной для отыскания наибольших<br>и наименьших значений величин.................184<br>Основные результаты......................192<br>ГЛАВА 5. Первообразная и интеграл<br>§ 37. Первообразная и неопределенный интеграл...........194<br>§ 38. Определенный интеграл......................202<br>Основные результаты ..........................212<br>ГЛАВА 6. Степени и корни. Степенные функции<br>§ 39. Понятие корня п-й степени из действительного числа.....213<br>§ 40. Функции вида у = 4х, их свойства и графики..........217<br>§ 41. Свойства корня л-й степени....................2?3<br>§ 42. Преобразование выражений, содержащих радикалы......228<br>§ 43. Обобщение понятия о показателе степени............231<br>§ 44. Степенные функции, их свойства и графики...........235<br>Основные результаты ..........................243<br>ГЛАВА 7. Показательная и логарифмическая функции<br>§ 45. Показательная функция, ее свойства и график.........245<br>§ 46. Показательные уравнения.....................256<br>§ 47. Показательные неравенства....................259<br>§ 48. Понятие логарифма ........................261<br>§ 49. Функция у = 1о§0 х, ее свойства и график ............264<br>§ 50. Свойства логарифмов........................270<br>§ 51. Логарифмические уравнения...................276<br>§ 52. Логарифмические неравенства..................279<br>§ 53. Переход к новому основанию логарифма............282<br>§ 54. Дифференцирование показательной и логарифмической<br>функций ............ ....................285<br>Основные результаты ..........................293<br>ГЛАВА 8. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств<br>§ 55. Равносильность уравнений ....................294<br>§ 56. Общие методы решения уравнений................302<br>§ 57. Решение неравенств с одной переменной ............308<br>§ 58. Системы уравнений.........................318<br>§ 59. Уравнения и неравенства с параметрами . . . . ........327<br>Основные результаты ..........................333 + <br>'''УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРАМИ'''<br>Если дано уравнение f(х, а) =0, которое надо решить относительно переменной х и в котором буквой а обозначено произвольное действительное число, то его называют уравнением с параметром а. Основная трудность, связанная с решением уравнений (и тем более неравенств) с параметром, состоит в следующем. При одних значениях параметра уравнение не имеет решений, при других имеет бесконечно много решений, при третьих оно решается по одним формулам, при четвертых — по другим. Как все это учесть? Сразу скажем, что решению уравнений и неравенств с параметрами посвящена масса учебно-методической литературы. Наша задача весьма скромна: завершая изучение курса алгебры в школе, дать вам некоторое представление о том, как рассуждают при решении уравнений и неравенств с параметрами. Для этого мы рассмотрим&nbsp; пример.<br>'''Пример 1.''' Решить относительно х:<br>а)&nbsp;&nbsp;&nbsp; уравнение 2а( а - 2)х = а - 2;<br>б)&nbsp;&nbsp;&nbsp; неравенство 2а(а -2)х &gt; а -2.<br>'''Решение''', а) Обычно корень уравнения вида bх = с мы находим без труда: [[Image:Qw436.jpg]], поскольку в конкретном уравнении коэффициент b отличен от нуля. В заданном уравнении коэффициент при х равен 2а(а -2), и поскольку значение параметра а нам неизвестно и в принципе оно может быть любым, следует подстраховаться, т.е. сначала предусмотреть возможность обращения указанного коэффициента в нуль.<br>Рассмотрим следующие случаи:<br>[[Image:Qw437.jpg]]<br>В первом случае (при а- 0) заданное уравнение принимает вид 0 • х = -2; это уравнение не имеет корней.<br>Во втором случае (при а = 2) заданное уравнение принимает вид 0 х = 0; этому уравнению удовлетворяют любые значения переменной х.<br>В третьем случае [[Image:qw438.jpg]] коэффициент при х отличен от нуля и, следовательно, на этот коэффициент можно разделить обе части уравнения. Получим:
  
  + [[Image:qw439.jpg]]
  
  + б) Решая неравенство, нужно учитывать знак коэффициента при х. Поэтому для решения заданного неравенства нужно рассмотреть не три случая, как это было в п. а), а пять:<br>1)а = 0; 2)а = 2; 3)а&lt;0; 4)0&lt;а&lt;2; 5)а&gt;2. В первом случае (при а = 0) заданное неравенство принимает вид 0 • х &gt; -2; этому неравенству удовлетворяют любые значения переменной х.<br>Во втором случае (при о = 2) заданное неравенство принимает вид 0- х &gt; 0; это неравенство не имеет решений.<br>В третьем случае (при а &lt;0) коэффициент 2а(а -2) положителен, значит, деля на него обе части заданного неравенства, знак неравенства следует оставить таким, каким он был:
  
  + [[Image:qw440.jpg]]<br>Сразу заметим, что так же будет обстоять дело и в пятом случае (при а &gt; 2). В этом случае, как и в третьем, коэффициент 2а(а -2) положителен и, решая заданное неравенство, получаем: [[Image:qw441.jpg]]<br>Осталось рассмотреть четвертый случай, когда 0&lt;а &lt;2. В этом случае коэффициент 2а(а -2) отрицателен, значит, деля на него обе части заданного неравенства, знак неравенства следует изменить на противоположный:
  + 
  + [[Image:qw442.jpg]]<br>'''Ответ:''' а) Если а = 0, то корней нет; если а = 2, то х — любое действительное число; если [[Image:qw443.jpg]]<br>б) Если а = 2, то решений нет; если а = 0, то х — любое действительное число; если [[Image:qw444.jpg]]<br><br>
  + <br>
 А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс    А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс  
  
Версия 08:21, 28 сентября 2010
Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>>Математика: Уравнения и неравенства с параметрами 

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРАМИ
Если дано уравнение f(х, а) =0, которое надо решить относительно переменной х и в котором буквой а обозначено произвольное действительное число, то его называют уравнением с параметром а. Основная трудность, связанная с решением уравнений (и тем более неравенств) с параметром, состоит в следующем. При одних значениях параметра уравнение не имеет решений, при других имеет бесконечно много решений, при третьих оно решается по одним формулам, при четвертых — по другим. Как все это учесть? Сразу скажем, что решению уравнений и неравенств с параметрами посвящена масса учебно-методической литературы. Наша задача весьма скромна: завершая изучение курса алгебры в школе, дать вам некоторое представление о том, как рассуждают при решении уравнений и неравенств с параметрами. Для этого мы рассмотрим  пример.
Пример 1. Решить относительно х:
а)    уравнение 2а( а - 2)х = а - 2;
б)    неравенство 2а(а -2)х > а -2.
Решение, а) Обычно корень уравнения вида bх = с мы находим без труда: , поскольку в конкретном уравнении коэффициент b отличен от нуля. В заданном уравнении коэффициент при х равен 2а(а -2), и поскольку значение параметра а нам неизвестно и в принципе оно может быть любым, следует подстраховаться, т.е. сначала предусмотреть возможность обращения указанного коэффициента в нуль.
Рассмотрим следующие случаи:

В первом случае (при а- 0) заданное уравнение принимает вид 0 • х = -2; это уравнение не имеет корней.
Во втором случае (при а = 2) заданное уравнение принимает вид 0 х = 0; этому уравнению удовлетворяют любые значения переменной х.
В третьем случае  коэффициент при х отличен от нуля и, следовательно, на этот коэффициент можно разделить обе части уравнения. Получим:

б) Решая неравенство, нужно учитывать знак коэффициента при х. Поэтому для решения заданного неравенства нужно рассмотреть не три случая, как это было в п. а), а пять:
1)а = 0; 2)а = 2; 3)а<0; 4)0<а<2; 5)а>2. В первом случае (при а = 0) заданное неравенство принимает вид 0 • х > -2; этому неравенству удовлетворяют любые значения переменной х.
Во втором случае (при о = 2) заданное неравенство принимает вид 0- х > 0; это неравенство не имеет решений.
В третьем случае (при а <0) коэффициент 2а(а -2) положителен, значит, деля на него обе части заданного неравенства, знак неравенства следует оставить таким, каким он был:

Сразу заметим, что так же будет обстоять дело и в пятом случае (при а > 2). В этом случае, как и в третьем, коэффициент 2а(а -2) положителен и, решая заданное неравенство, получаем: 
Осталось рассмотреть четвертый случай, когда 0<а <2. В этом случае коэффициент 2а(а -2) отрицателен, значит, деля на него обе части заданного неравенства, знак неравенства следует изменить на противоположный:

Ответ: а) Если а = 0, то корней нет; если а = 2, то х — любое действительное число; если 
б) Если а = 2, то решений нет; если а = 0, то х — любое действительное число; если 




А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс 

 
_{Материалы по математике онлайн, задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике скачать} 

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки



 
Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам. 
Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.

Источник — «http://edufuture.biz/index.php?title=%D0%A3%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%B8_%D0%BD%D0%B5%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D1%81_%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B8»
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 '''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]&gt;&gt;[[Математика|Математика]]&gt;&gt;[[Математика 10 класс|Математика 10 класс]]&gt;&gt;Математика: Уравнения и неравенства с параметрами<metakeywords>Уравнения и неравенства с параметрами</metakeywords>'''
-<br>'''УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРАМИ'''<br>Если дано уравнение f(х, а) =0, которое надо решить относительно переменной х и в котором буквой а обозначено произвольное действительное число, то его называют уравнением с параметром а. Основная трудность, связанная с решением уравнений (и тем более неравенств) с параметром, состоит в следующем. При одних значениях параметра уравнение не имеет решений, при других имеет бесконечно много решений, при третьих оно решается по одним формулам, при четвертых — по другим. Как все это учесть? Сразу скажем, что решению уравнений и неравенств с параметрами посвящена масса учебно-методической литературы. Наша задача весьма скромна: завершая изучение курса алгебры в школе, дать вам некоторое представление о том, как рассуждают при решении уравнений и неравенств с параметрами. Для этого мы рассмотрим ряд примеров.<br>'''Пример 1.''' Решить относительно х:<br>а)&nbsp;&nbsp;&nbsp; уравнение 2а( а - 2)х = а - 2;<br>б)&nbsp;&nbsp;&nbsp; неравенство 2а(а -2)х &gt; а -2.<br>'''Решение''', а) Обычно корень уравнения вида bх = с мы находим без труда: [[Image:qw436.jpg]], поскольку в конкретном уравнении коэффициент b отличен от нуля. В заданном уравнении коэффициент при х равен 2а(а -2), и поскольку значение параметра а нам неизвестно и в принципе оно может быть любым, следует подстраховаться, т.е. сначала предусмотреть возможность обращения указанного коэффициента в нуль.<br>Рассмотрим следующие случаи:<br>[[Image:qw437.jpg]]<br>В первом случае (при а- 0) заданное уравнение принимает вид 0 • х = -2; это уравнение не имеет корней.<br>Во втором случае (при а = 2) заданное уравнение принимает вид 0 х = 0; этому уравнению удовлетворяют любые значения переменной х.<br>327<br>В третьем случае (при а ФО, а ф2) коэффициент при х отличен от нуля<br>и, следовательно, на этот коэффициент можно разделить обе части уравне-а -2&nbsp;&nbsp;&nbsp; 1<br>ния. Получим: х =--, т.е. х = —.<br>2а(а -2)&nbsp;&nbsp;&nbsp; 2а<br>б) Решая неравенство, нужно учитывать знак коэффициента при х. Поэтому для решения заданного неравенства нужно рассмотреть не три случая, как это было в п. а), а пять:<br>1)а = 0; 2)а = 2; 3)а&lt;0; 4)0&lt;а&lt;2; 5)а&gt;2. В первом случае (при а = 0) заданное неравенство принимает вид 0 • х &gt; -2; этому неравенству удовлетворяют любые значения переменной х.<br>Во втором случае (при о = 2) заданное неравенство принимает вид 0- х &gt; 0; это неравенство не имеет решений.<br>В третьем случае (при а &lt;0) коэффициент 2а(а -2) положителен, значит, деля на него обе части заданного неравенства, знак неравенства следует оставить таким, каким он был:<br>а -2&nbsp;&nbsp;&nbsp; 1<br>х&gt;-, т.е. х &gt;—.<br>2а(а -2)&nbsp;&nbsp;&nbsp; 2 а<br>Сразу заметим, что так же будет обстоять дело и в пятом случае (при а &gt; 2). В этом случае, как и в третьем, коэффициент 2а(а -2) положителен<br>1<br>и, решая заданное неравенство, получаем: х &gt; —.<br>2 а<br>Осталось рассмотреть четвертый случай, когда0&lt;а &lt;2. В этом случае коэффициент 2а(а -2) отрицателен, значит, деля на него обе части заданного неравенства, знак неравенства следует изменить на противоположный:<br>а-2&nbsp;&nbsp;&nbsp; 1<br>х &lt;-, т.е. х &lt; —.<br>2а(а -2)&nbsp;&nbsp;&nbsp; 2 а<br>Ответ: а) Если а = 0, то корней нет; если а = 2, то х — любое действительное число; если а *0и а ф2, то х =—.<br>2а<br>б) Если а = 2, то решений нет; если а = 0, то х — любое действительное<br>число; если а &lt; 0 или а &gt; 2, то х &gt; —; если 0 &lt; а &lt; 2, то х &lt; —.<br>2а&nbsp;&nbsp;&nbsp; 2а<br>Пример 2. Решить уравнение<br>(а -1)х2 + 2(2а + 1)х + (4а + 3)=0. Решение. По виду это уравнение представляется квадратным. Но (внимание!) значение параметра а нам неизвестно, и оно вполне может оказаться равным 1; в этом случае коэффициент при х2 обращается в нуль и уравнение квадратным не является, оно будет линейным. Квадратные и линейные уравнения решаются по различным алгоритмам. Итак, нам следует рассмотреть два случая: а = 1 и В первом случае (при а = 1) уравнение принимает следующий вид: 0- хг + 2- Зх + 7 =0, т.е. 6х + 7 =0. Решив это линейное уравнение, получаем 7<br>х =—. 6<br>Во втором случае (при а Ф1) мы имеем квадратное уравнение<br>(а -1)*2 + 2(2 а + 1)х + (4а + 3)=0. Найдем его дискриминант:<br>328<br>1)=(2(2а + 1))2 -4(а -1)(4а +3)=4(4а2 +4а + 1)-4(4а2 -а -3)= = 20а + 16=4(5а +4).<br>Итак, ,0=4(5а +4).<br>Дальнейшие рассуждения зависят от знака дискриминанта. Если Б &lt;0, то квадратное уравнение не имеет корней; если 25 = 0, то уравнение имеет один корень; если Х&gt; &gt; 0, то уравнение имеет два корня. Дискриминант об-<br>4&nbsp;&nbsp;&nbsp; 4<br>ращается в нуль при а = —, положителен при а &gt; —, отрицателен при<br>5&nbsp;&nbsp;&nbsp; 5<br>а &lt; —. Именно эти три случая нам и предстоит теперь рассмотреть. 5<br>4<br>Начнем со случая, когда а &lt; —. В этом случае I) &lt;0 и, следовательно,<br>5<br>квадратное уравнение не имеет корней.<br>4<br>Пусть теперь а &gt; — (но, напомним, а Ф1). В этом случае 2Э &gt; 0 и, следова-<br>5<br>тельно, квадратное уравнение имеет два корня, которые мы найдем по известной формуле:<br>_-2(2а + 1)±У4(5а+4) ~&nbsp;&nbsp;&nbsp; 2(а -1) • '<br>Полученное выражение можно упростить, если вынести из-под знака квадратного корня множитель 2 и сократить дробь на 2. Получим:<br>_-(2а + 1)±л/5а+4 Хгя ~&nbsp;&nbsp;&nbsp; „<br>^ г&nbsp;&nbsp;&nbsp; а -1<br>Осталось рассмотреть случай, когда а=—. Используя написанную<br>5<br>формулу для корней квадратного уравнения, получаем:<br>Л-1 ~ Л ~ 3'<br>5&nbsp;&nbsp;&nbsp; 5<br>7<br>Ответ: если а = 1, то я = —;<br>6<br>4&nbsp;&nbsp;&nbsp; 1 если а = —, то х = —;<br>5&nbsp;&nbsp;&nbsp; 3<br>4<br>если а &lt; —, то корней нет;<br>5<br>4<br>если а &gt; — (но а * 1), то уравнение имеет два корня:<br>5<br>_-(2а + 1)±л/5а+4<br>Х1Л ~&nbsp;&nbsp;&nbsp; л<br>а -1<br>Пример 3. Решить уравнение 4х-а -1а- х.<br>Решение. Сначала будем действовать по стандартной схеме — возведем обе части заданного иррационального уравнения в квадрат и решим полученное квадратное уравнение:<br>=(2а-*/, х - а = 4а2-4ах + я2,<br>329<br>х2 -(4а + 1)я: + 4а2 + а =0.<br>Найдем дискриминант: Д=(4а +-4(4а2 + а)=4а +1. Далее:<br>4а +1 ± У4 а +1<br>Теперь надо выполнить проверку, подставляя поочередно каждый из найденных корней в исходное уравнение. Эта проверка, как нетрудно догадаться, будет весьма и весьма сложной. Мы выберем другой путь — графический: построим графики функций: у = ^х-аУ1у=2а-х и найдем точки их пересечения. При этом целесообразно рассмотреть три случая:<br>а =0, а &lt;0, а &gt;0.<br>В первом случае (при а =0) заданное уравнение принимает вид 4х = -х. Построив графики функций у<br>у = ~х (рис. 258), убеждаемся, что они имеют одну общую точку (0; 0), а потому уравнение имеет только один корень х = 0.<br>~У =&nbsp;&nbsp;&nbsp; У -х"&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; <br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; У=т1х<br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; &lt;Л&nbsp;&nbsp;&nbsp; V-&nbsp;&nbsp;&nbsp; <br>Рис. 258<br>Рис. 259<br>Во втором случае (при а &lt;0) графики функций у = 2а -х и у = 4х-а не пересекаются (рис. 259); значит, заданное уравнение не имеет корней.<br>В третьем случае (при а &gt; 0) графики функций у = 2а-хтлу = 4х-а пересекаются в одной точке (рис. 260); значит, заданное уравнение имеет один корень. Следовательно, из двух полученных выше корней один окажется посторонним. Какой? Ответ можно почерпнуть из графической иллюстрации, представленной на рис. 260. Абсцисса точки пересечения графиков меньше, чем 2а (это — абсцисса точки пересечения прямой<br>о ч тх ~ 4а + 1-&gt;/4а + 1 у = 2а-х с осью х). Из двух наиденных корней: х1 =—■- и<br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; кУ&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; <br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 2&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; <br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; а&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; У&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; <br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; X&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; <br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; <br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; <br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; 0&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; 1 .&nbsp;&nbsp;&nbsp; 2(&nbsp;&nbsp;&nbsp; N&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; X<br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; <br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; <br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; <br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; / 1111&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; <br><br>4а +1 + &gt;/4а + 1<br>второй явно больше, чем<br>2а; чтобы в этом убедиться, достаточно переписать второй корень в виде:<br>х^ =2 а +<br>1 + &gt;/4а +1<br>Итак, если а &gt;0, то заданное уравнение имеет один корень<br>Рис. 250<br>х=-<br>4а +1 - -&gt;/4а + 1<br>330<br>Ответ: если а &lt;0, то корней нет; если а = 0, то х = 0;<br>_ 4а +1 --у/4а +1 если а &gt;0, тод:=-.<br>2<br>Замечание. В только что решенном примере ответ можно записать компактнее. Дело в том, что записанная для случая а &gt; 0 формула для корня уравнения пригодна и для случая а = 0: если а = 0, то по указанной формуле получаем х = 0. Поэтому ответ можно было записать так: если а &lt;0, то корней нет; если а &gt; 0, то:<br>4а + 1-&gt;/4а + 1<br>Пример 4. При каких значениях параметра а корни уравнения 2а*2 ~2х -За -2=0 меньше 1.<br>Решение. Если а = 0, то уравнение принимает вид -2*-2=0; корень этого уравнения х = -1 удовлетворяет заданному условию, он меньше 1.<br>Если а Ф0, то заданное уравнение является квадратным. Графиком функции у = ?(х),' где / (я) = 2ад;2 - 2х - За - 2, является парабола с ветвями вверх, если 2а &gt;0, и ветвями вниз, если 2а &lt;0. Поскольку корни уравнения по условию должны быть меньше 1, упомянутая выше ' парабола должна располагаться в координатной плоскости так, как изображено на рис. 261 (для случая 2а &gt;0) и на рис. 262 (для случая 2а &lt;0).<br>Дадим аналитическое описание геометрической модели, представленной на рис. 261. Во-первых, напомним, при 2а &gt; 0 ветви параболы направлены вверх. Во-вторых, парабола обязательно пересекается с осью абсцисс (в крайнем случае касается ее), иначе у квадратного уравнения не будет корней. Корни есть, значит, дискриминант Х&gt; неотрицателен, т.е. I) &gt; 0. В-третьих, в точке х = 1 имеем /(1) &gt;0. В-четвертых, /'(1) &gt; 0, поскольку в окрестности точки х = 1 функция возрастает.<br>Итак, получаем систему неравенств — аналитическую модель, дающую описание геометрической модели, представленной на рис. 261:<br>2а &gt; 0,<br>Д&gt;0,<br>Д1)&gt;0,<br>/'(1)&gt;0.<br>Аналогичные рассуждения позволяют составить вторую систему неравенств — аналитическую модель, дающую описание геометрической модели, представленной на рис. 262:<br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; У&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; 1&nbsp;&nbsp;&nbsp; I = Г(х&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; <br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; к&nbsp;&nbsp;&nbsp; к&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; V&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; <br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; <br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; <br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; 1)&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; <br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; <br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; <br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 0&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; х\&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; г 1&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; X<br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; <br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; <br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; <br>Рис. 261<br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; кУ&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; <br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 1&nbsp;&nbsp;&nbsp; к&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; <br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; <br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; <br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; <br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 0&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; X._&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; хг&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; 1&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; X<br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; 1)&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; <br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; <br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; <br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; <br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; у&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; <br>Рис. 262<br>331<br>2а &lt; О, 23 &gt; О, /(1)&lt;0, /'(1)&lt;0.<br>Решим первую систему неравенств. Составим выражение для дискриминанта I) квадратного трехчлена2ах2 -2х-За-2:<br>Д=4-4-2а(-За-2) = 24а2 + 16а + 4. Составим выражение для /(1):<br>Г{1) = 2а 1г-2 1-За-2 = -а-4. Составим выражение для /'(1):<br>Г(х)=2а-2х-2=4ах-2; /"(1)=4а-2.<br>Таким образом, первая система неравенств принимает вид:<br>2а &gt; О,<br>24а2 + 16а + 4 &gt;0, -а -4&gt;0, 4а-2 &gt;0.<br>Эта система не имеет решений, поскольку из первого ее неравенства получаем а &gt;0, а из третьего получаем а &lt; -4, что одновременно выполняться не может ни при каких значениях а.<br>Вторая система неравенств принимает вид:<br>2а &lt; 0,<br>24а2 +16а + 4&gt;0, -а -4&lt;0, 4а-2 &lt;0.<br>Сразу обратим внимание на то, что квадратный трехчлен 24а2 + 16а + 4 имеет отрицательный дискриминант (Х&gt; = 162 -4-4-24&lt;0) и положительный старший коэффициент. Значит, при всех значениях а выполняется неравенство 24а2 + 16а + 4&gt;0, а потому квадратное неравенство в данной системе неравенств можно отбросить. Далее имеем<br>а &lt;0,<br>. а &gt; -4, 1<br>а &lt;-. 2<br>Решение этой системы достаточно очевидно: -4 &lt; а &lt;0. Итак, мы нашли все интересующие нас значения параметра а:<br>а=0; -4&lt;а&lt;0.<br>Ответ: -4 &lt; а &lt;0.<br>332<br>ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ<br>В этой главе мы подвели итоги изучения в школе уравнений, неравенств, систем уравнений. Мы достаточно аккуратно ввели следующие термины:<br>равносильность уравнений, равносильность неравенств, равносильность систем уравнений;<br>следствие уравнения, следствие неравенства; равносильное преобразование уравнения, неравенства; посторонние корни (для уравнений);<br>проверка корней (для уравнений), проверка решений (для систем уравнений);<br>система уравнений, система неравенств, совокупность неравенств; решение системы неравенств, решение совокупности неравенств.<br>Мы сформулировали теоремы. о равносильности уравнений; о равносильности неравенств.<br>Мы ответили на четыре главных вопроса, связанных с решением уравнений: ^<br>как узнать, является ли переход от одного уравнения к другому равносильным преобразованием?<br>какие преобразования переводят данное уравнение в уравнение-следствие?<br>как сделать проверку, если она сопряжена со значительными трудностями в вычислениях?<br>в каких случаях при переходе от одного уравнения к другому может произойти потеря корней и как этого не допустить?<br>Мы выделили четыре общих метода решения уравнений: замена уравнения Щ(х)) = к(§(х)) уравнением /(ж) = §(х)\ метод разложения на множители; метод введения новых переменных; функционально-графический метод.<br>Мы расширили представления о методах решения систем уравнений (метод подстановки, метод алгебраического сложения, метод введения новых переменных, графический метод, метод умножения, метод деления), познакомились с новыми классами систем уравнений (иррациональных, тригонометрических), рассмотрели системы уравнений с различным числом переменных.<br>Мы познакомились с тем, как решаются уравнения и неравенства с параметрами.<br>ОГЛАВЛЕНИЕ<br>Предисловие для учителя........................ 3<br>ГЛАВА 1. Тригонометрические функции<br>§ 1. Введение..............................................................5<br>§ 2. Числовая окружность................................................8<br>'§ 3. Числовая окружность на координатной плоскости..............17<br>§ 4. Синус и косинус......................................................25<br>§ 5. Тангенс и котангенс..................................................32<br>§ 6. Тригонометрические функции числового аргумента............35<br>§ 7. Тригонометрические функции углового аргумента . ...........37<br>§ 8. Формулы приведения .....,.,.&lt;..............................41<br>§ 9. Функция у = зтх, ее свойства и график............................43<br>§10. Функция у = соз х, ее свойства и график ..........................49<br>§ 11. Периодичность функций у = зтх, у = созх........... .&nbsp;&nbsp;&nbsp; 51<br>§ 12. Как построить график функции у=т{(х),<br>если известен график функции у = {(х)............................53<br>§ 13. Как построить график функции у = {(кх),<br>если известен график функции у = ?(х)............................56<br>§ 14. График гармонического колебания................................60<br>§15. Функции у = х, у = с1§ х, их свойства и графики................61<br>Основные результаты....................................................67<br>ГЛАВА 2. Тригонометрические уравнения<br>§ 16. Первые представления о решении тригонометрических<br>уравнений............................................................69<br>§ 17. Арккосинус. Решение уравнениясоз* = а..........................72<br>§ 18. Арксинус. Решение уравнения зш&lt; = а............................77<br>§ 19. Арктангенс и арккотангенс.<br>Решение уравнений 1§х = а, с1§х = а..............................83<br>§ 20. Тригонометрические уравнения ..................................89<br>Основные результаты ......................100<br>ГЛАВА 3. Преобразование тригонометрических выражений<br>§ 21. Синус и косинус суммы аргументов . :.............101<br>§ 22. Синус и косинус разности аргументов..............105<br>§ 23. Тангенс суммы и разности аргументов..............108<br>§ 24. Формулы двойного аргумента...................110<br>§ 25. Формулы понижения степени...................115<br>§ 26. Преобразование сумм тригонометрических функций<br>в произведения ...........................117<br>§ 27. Преобразование произведений тригонометрических<br>функций в суммы..........................122<br>§ 28. Преобразование выражения А зш х + В соз х<br>к видуСзт(х + 2)..........................123<br>Основные результаты ......................126<br>334<br>ГЛАВА 4. Производная<br>§ 29. Числовые последовательности ..................128<br>§ 30. Предел числовой последовательности..............131<br>§31. Предел функции ..........................140<br>§ 32. Определение производной.....................148<br>§ 33. Вычисление производных.....................155<br>§ 34. Уравнение касательной к графику функции..........165<br>§ 35. Применение производной для исследования функций<br>на монотонность и экстремумы..................170<br>§ 36. Применение производной для отыскания наибольших<br>и наименьших значений величин.................184<br>Основные результаты......................192<br>ГЛАВА 5. Первообразная и интеграл<br>§ 37. Первообразная и неопределенный интеграл...........194<br>§ 38. Определенный интеграл......................202<br>Основные результаты ..........................212<br>ГЛАВА 6. Степени и корни. Степенные функции<br>§ 39. Понятие корня п-й степени из действительного числа.....213<br>§ 40. Функции вида у = 4х, их свойства и графики..........217<br>§ 41. Свойства корня л-й степени....................2?3<br>§ 42. Преобразование выражений, содержащих радикалы......228<br>§ 43. Обобщение понятия о показателе степени............231<br>§ 44. Степенные функции, их свойства и графики...........235<br>Основные результаты ..........................243<br>ГЛАВА 7. Показательная и логарифмическая функции<br>§ 45. Показательная функция, ее свойства и график.........245<br>§ 46. Показательные уравнения.....................256<br>§ 47. Показательные неравенства....................259<br>§ 48. Понятие логарифма ........................261<br>§ 49. Функция у = 1о§0 х, ее свойства и график ............264<br>§ 50. Свойства логарифмов........................270<br>§ 51. Логарифмические уравнения...................276<br>§ 52. Логарифмические неравенства..................279<br>§ 53. Переход к новому основанию логарифма............282<br>§ 54. Дифференцирование показательной и логарифмической<br>функций ............ ....................285<br>Основные результаты ..........................293<br>ГЛАВА 8. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств<br>§ 55. Равносильность уравнений ....................294<br>§ 56. Общие методы решения уравнений................302<br>§ 57. Решение неравенств с одной переменной ............308<br>§ 58. Системы уравнений.........................318<br>§ 59. Уравнения и неравенства с параметрами . . . . ........327<br>Основные результаты ..........................333
+<br>'''УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРАМИ'''<br>Если дано уравнение f(х, а) =0, которое надо решить относительно переменной х и в котором буквой а обозначено произвольное действительное число, то его называют уравнением с параметром а. Основная трудность, связанная с решением уравнений (и тем более неравенств) с параметром, состоит в следующем. При одних значениях параметра уравнение не имеет решений, при других имеет бесконечно много решений, при третьих оно решается по одним формулам, при четвертых — по другим. Как все это учесть? Сразу скажем, что решению уравнений и неравенств с параметрами посвящена масса учебно-методической литературы. Наша задача весьма скромна: завершая изучение курса алгебры в школе, дать вам некоторое представление о том, как рассуждают при решении уравнений и неравенств с параметрами. Для этого мы рассмотрим&nbsp; пример.<br>'''Пример 1.''' Решить относительно х:<br>а)&nbsp;&nbsp;&nbsp; уравнение 2а( а - 2)х = а - 2;<br>б)&nbsp;&nbsp;&nbsp; неравенство 2а(а -2)х &gt; а -2.<br>'''Решение''', а) Обычно корень уравнения вида bх = с мы находим без труда: [[Image:Qw436.jpg]], поскольку в конкретном уравнении коэффициент b отличен от нуля. В заданном уравнении коэффициент при х равен 2а(а -2), и поскольку значение параметра а нам неизвестно и в принципе оно может быть любым, следует подстраховаться, т.е. сначала предусмотреть возможность обращения указанного коэффициента в нуль.<br>Рассмотрим следующие случаи:<br>[[Image:Qw437.jpg]]<br>В первом случае (при а- 0) заданное уравнение принимает вид 0 • х = -2; это уравнение не имеет корней.<br>Во втором случае (при а = 2) заданное уравнение принимает вид 0 х = 0; этому уравнению удовлетворяют любые значения переменной х.<br>В третьем случае [[Image:qw438.jpg]] коэффициент при х отличен от нуля и, следовательно, на этот коэффициент можно разделить обе части уравнения. Получим:
+[[Image:qw439.jpg]]
+б) Решая неравенство, нужно учитывать знак коэффициента при х. Поэтому для решения заданного неравенства нужно рассмотреть не три случая, как это было в п. а), а пять:<br>1)а = 0; 2)а = 2; 3)а&lt;0; 4)0&lt;а&lt;2; 5)а&gt;2. В первом случае (при а = 0) заданное неравенство принимает вид 0 • х &gt; -2; этому неравенству удовлетворяют любые значения переменной х.<br>Во втором случае (при о = 2) заданное неравенство принимает вид 0- х &gt; 0; это неравенство не имеет решений.<br>В третьем случае (при а &lt;0) коэффициент 2а(а -2) положителен, значит, деля на него обе части заданного неравенства, знак неравенства следует оставить таким, каким он был:
+[[Image:qw440.jpg]]<br>Сразу заметим, что так же будет обстоять дело и в пятом случае (при а &gt; 2). В этом случае, как и в третьем, коэффициент 2а(а -2) положителен и, решая заданное неравенство, получаем: [[Image:qw441.jpg]]<br>Осталось рассмотреть четвертый случай, когда 0&lt;а &lt;2. В этом случае коэффициент 2а(а -2) отрицателен, значит, деля на него обе части заданного неравенства, знак неравенства следует изменить на противоположный:
+[[Image:qw442.jpg]]<br>'''Ответ:''' а) Если а = 0, то корней нет; если а = 2, то х — любое действительное число; если [[Image:qw443.jpg]]<br>б) Если а = 2, то решений нет; если а = 0, то х — любое действительное число; если [[Image:qw444.jpg]]<br><br>
+<br>
 А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

При использовании материалов ресурса
ссылка на edufuture.biz обязательна (для интернет ресурсов - гиперссылка).
edufuture.biz 2008-© Все права защищены.
Сайт edufuture.biz является порталом, в котором не предусмотрены темы политики, наркомании, алкоголизма, курения и других "взрослых" тем.

Разработка - Гипермаркет знаний 2008-

Ждем Ваши замечания и предложения на email:
По вопросам рекламы и спонсорства пишите на email: