Версия 14:59, 6 августа 2010

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>>Математика: Показательные уравнения

§ 46. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Показательными уравнениями называют уравнения вида

где а — положительное число, отличное от 1, и уравнения, сводящиеся к этому виду.
Опираясь на полученные в предыдущем параграфе теоремы 1 и 3, согласно которым равенство , справедливо тогда и только тогда, когда t =s, мы можем сформулировать следующее утверждение.

Пример 1. Решить уравнения:

Решение. а) Представив 64 как 2⁶ , перепишем заданное уравнение в виде 2^2x-4 =2⁶. Это уравнение равносильно уравнению 2x -4=6, откуда находим: х = 5.
б) Представив перепишем заданное уравнение в виде
Это уравнение равносильно уравнению 2x - 3,5 = 0,5, откуда находим: х = 2
в) Заданное уравнение равносильно уравнению х² - Зx = Зx-8. Далее имеем:

Пример 2. Решить уравнение:
Решение. Здесь есть возможность и левую, и правую части уравнения представить в виде степени с основанием 5. В самом деле:

Таким образом, заданное уравнение мы преобразовали к виду: 5^~х=5^-2х.
Далее получаем:x = 5-2 x и, следовательно, x = 5.  
Пример 3. Решить уравнение:
Решение. Заметив, что перепишем заданное уравнение в виде:

Есть смысл ввести новую переменную у = 2^х; тогда уравнение примет вид: у² + 2у -24 = 0. Решив квадратное уравнение относительно у, находим у¹ =4, у² =-6. Но у = 2^x, значит, нам остается решить два уравнения:
2^х =4; 2^х =-6.
Из первого уравнения находим x = 2, а второе уравнение не имеет корней, поскольку при любых значениях х выполняется неравенство 2^х >0.
Ответ: х = 2.
Подведем некоторые итоги. Можно выделить три основных метода решения показательных уравнений:
1) Функционально-графическийметод.    Он основан на использовании графических иллюстраций или каких-либо свойств функций. Мы применяли этот метод в § 45.
2)    Метод уравнивания показателей. Он основан на теореме о том, что уравнение равносильно уравнению f(х) = g(х), где a — положительное число, отличное от 1. Мы применили этот метод в примерах 1 и 2.
3)    Метод введения новой переменной. Мы применили этот метод в примере 3.
Рассмотрим более сложный пример, в котором для решения показательного уравнения используется метод введения новой переменной, и пример решения системы показательных уравнений.
Пример 4. Решить уравнение:
52*+1 -13- 15х + 54-9*"1 =0. Решение. Воспользуемся тем, что
52хЛ=5-52', 15х = 5х 3х,
549'1 =54 — =6 9'=6 3?'. 9
Это позволяет переписать заданное уравнение в более удобном виде:
5 52х-13 5х Зх+6 32х=0. Разделив обе части уравнения почленно наЗ2*, получим равносильное ему уравнение:
ИСГ-'Н!)'^0-
С2«    2х
(2)
Мы воспользовались тем, что
З2'
, и тем, что -
5х 3х
Теперь, как видите, «проявилась» новая переменная: у =
5^(5
зх=[з
5 "
,относи-
тельно которой уравнение (2) имеет вид квадратного уравнения:
бу2 -131/+ 6 = 0.
3
Корнями этого уравнения служат числа у1 =-, у2 =2. Значит, нам оста-
5
ется решить два уравнения:
= 2.
С первым из этих уравнений проблем нет:
Л-1
Г'
3
у—
у= 2—
х=т-1.
Со вторым уравнением у нас возникает проблема: как представить число 2 в виде некоторой
степени числа -, мы пока не знаем. Между тем
второе уравнение тоже имеет единственный корень — это хорошо видно из графической иллюстрации, представленной на рис. 210. Придется нам в дальнейшем еще раз вернуться к этому уравнению.
Ответ: х1 =-1, х2 — корень уравнения
Рис. 210
= 2.
Пример 5. Решить систему уравнений:
|2-(>/2Г» =168хЛ [9х*" -3х*" = 72.
Решение. 1) Преобразуем первое уравнение системы к более простому виду:
258
2 (>/2 Г' =16""',
2-2^<х+1,) =2 4<8*-"), ц1») 2 2 =212х~4*
1    + ^^=12*-41/,
2
2    + Х+1/ = 24лс-81/,
23Х-91/ = 2.
2)    Преобразуем второе уравнение системы к более простому виду. Введем новую переменную г=3*+". Тогда второе уравнение системы примет вид: г2 - г = 72, откуда находим: г1 =9, г2 = -8.
Из уравнения 3*** = 9 находим х + у = 2; уравнение 3х*" = -8 не имеет решений.
Итак, второе уравнение системы нам удалось преобразовать к виду: х + у = 2.
3)    Решим полученную систему уравнений:
(23х-9у = 2, \х + у=2.
Умножим обе части второго уравнения на 9 и сложим полученное уравнение с первым уравнением системы:
(23х-9у)+(9х + 9у)=2 +18,
32*=20, х = ~.
8
5    11
Из уравнения х + у = 2 находим: —+ у = 2, у-—.
8 8
г5 1Г
Ответ: -; — 8 8
V

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

_{Материалы по математике онлайн, задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике скачать}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников
 
Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 
 
Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.