Версия 14:05, 31 июля 2010

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>>Математика: Понятие корня n-й степени из действительного числа

§ 39. ПОНЯТИЕ КОРНЯ п-й СТЕПЕНИ ИЗ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ЧИСЛА
Рассмотрим уравнение x⁴ =1 и решим его графически. Для этого в одной системе координат построим график функции у = хи прямую у = 1 (рис. 164 а). Они пересекаются в двух точках:

,являются корнями уравнения х⁴ = 1.
Рассуждая точно так же, находим корни уравнения х⁴ =16:

А теперь попробуем решить уравнение х⁴ =5; геометрическая иллюстрация представлена на рис. 164 б. Ясно, что уравнение имеет два корня x₁ и x₂, причем эти числа, как и в двух предыдущих случаях, взаимно противоположны. Но для первых двух уравнений корни были найдены без труда (их можно было найти и не пользуясь графиками), а с уравнением х⁴ =5 имеются проблемы: по чертежу мы не Гложем указать значения корней, а можем только установить, что один корень располагается левее точки -1, а второй — правее точки 1.
Можно доказать (примерно так же, как это сделано в нашем учебнике «Алгебра-8» для числа л/б), что х₁ и х₂ — иррациональные числа (т.е. бесконечные непериодические десятичные дроби).
Встретившись впервые с подобной ситуацией, математики поняли, что надо придумать способ ее описания на математическом языке. Они ввели в рассмотрение новый символ который назвали корнем четвертой степени, и с помощью этого символа корни уравнения х⁴ = 5 записали так: хг = -л/5, х2 =^5 (читается: «корень
четвертой степени из пяти»).
Замечание 1. Сравните эти рассуждения с аналогичными рассуждениями, проведенными в § 17, 32 и 38. Новыетермины и новые обозначения в математике появляются тогда, когда они необходимы для описания но-вой математической модели. Это — отражение особенности математического языка: его основная функция не коммуникативная — для общения, а организующая — для организации успешной работы с математическими моделями в разных областях знаний.
Мы говорили об уравнении х4 =а, где а >0. С равным успехом мы могли говорить и об уравнении хп =а, гдеа > 0, а п — любое натуральное число. Например, решая графически уравнение х5 = 1, находим х = 1 (рис. 165); решая уравнение х5' = 7, устанавливаем, что уравнение имеет один корень хг, который располагается на оси х чуть правее точки 1 (см. рис. 165). Для числа хх введем обозначение Чч.
Вообще, решая уравнение хп =а, гдеа >0, л е N, п>1, получаем в случае четного п два корня: - л/а, л/а (рис. 164, в); в случае нечетного п — один корень л/а (читается: «корень л-й степени из числа а»). Решая уравнение хп =0, получаем единственный корень х=0.
Замечание 2. В математическом языке, как и в обыденном языке, бывает так, что один и тот же термин применяется к разным понятиям; так, в предыдущем предложении слово « корень» употреблено в двух смыслах: как корень уравнения (к такому толкованию вы давно привыкли) и как корень л-й степени из числа (новое толкование). Обычно из контекста бывает ясно, какое толкование термина имеется в виду.
Теперь мы готовы дать точное определение.
Определение 1. Корнем л-й степени из неотрицательного числа а (л = 2, 3,4, 5,...) называют такое неотрицательное число, которое при возведении в степень л дает в результате число а.
Это число обозначают л/а, число а при этом называют подкоренным числом, а число л — показателем корня.
[Если л=2, то обычно не говорят «корень второй степени», а говорят"«корень квадратный». В этом случае не пишут \1а, а пишут л/а. Это тот частный случай, который вы специально изучали в курсе алгебры 8-го класса.
               
        1    — 7=    /__
        - - е       
        1-1    7=    1
    "Iй           
               
               
Рис. 165
214
Если п = 3, то вместо «корень третьей степени» часто говорят «корень кубический». Первое знакомство с кубическим корнем у вас также состоялось в курсе алгебры 8-го класса. Мы использовали кубический корень в § 36 при решении йримера 6.
Итак,
еслиа>0,п = 2,3,4,5,...,то: 1 )я4а>Щ 2)(3/а)" = а.
Вообще, л/а =Ь и Ьп =а — одна и та же математическая модель (одна и та же зависимость между неотрицательными числами а и Ь), но только вторая описана более простым языком (использует более простые символы), чем первая.
Операцию нахождения корня из неотрицательного числа называют обычно извлечением корня. Эта операция является обратной по отношению к возведению в соответствующую степень. Сравните:
Возведение в степень    Извлечение корня
52 =25    л/25=5
103 =1000    3/1000 = 10
0.34 =0,0081    ф,0081 =0,3
Еще раз обратите внимание: в таблице фигурируют только положительные числа, поскольку это оговорено в определении 1. И хотя, например, (-б)2 =36 — верное равенство, перейти от него к записи с использованием квадратного корня, т.е. написать, что л/36=-6, нельзя. По определению л/36 — положительное число, значит, л/36 =6 (а не -6). Точно так же, хотя и 24 =16, и (-2)4 =16, переходя к знакам корней, мы должны написать ^16 = 2 (и в то же время л/16 Ф -2).
Иногда выражение л/а называют радикалом (от латинского слова гасИх — «корень»). В русском языке термин радикальный используется довольно часто, например, «радикальные изменения» — это значит «коренные изменения». Между прочим, и само обозначение корня напоминает о слове гасИх: символ — это стилизованная буква г.
Пример 1. Вычислить: а) -749; б) ^0,125; в)л/0; г)^17.
Решение, а) л/49 =7, так как 7 >0и 7г = 49.
б)^0,125=0,5,    так как 0,5 >0и 0,5'= 0,125.
в)    >/0 = 0.
215
г) В отличие от предыдущих примеров мы не можем указать точное значение числа ^17. Ясно лишь, что оно больше, чем 2, но меньше, чем 3, поскольку 24=16 (это меньше, чем 17), а З4 = 81 (это больше, чем 17). Замечаем, что 24 намного ближе к 17, чем З4, так что есть основания использовать знак приближенного равенства: ^17 ~2.
Впрочем, более точное приближенное значение числа ^17 можно найти с помощью калькулятора, который содержит операцию извлечения корня, оно равно приближенно 2,03, т.е. ^17 = 2,03(с точностью до 0,01). <Д
Операцию извлечения корня определяют и для отрицательного подкоренного числа, но только в случае нечетного показателя корня. Иными словами, равенство (-2)5 =-32 можно переписать в эквивалентной форме как V-32 = -2. При этом используется следующее определение.
Определение 2. Корнем нечетной степени л из отрицательного числа а (л = 3,5,...) называют такое отрицательное число, которое, будучи возведено в степень л, дает в результате число а.
Это число, как и в определении 1, обозначают л/а, число а — подкоренное число, число л — показатель корня.
Итак,
если а <0,п =3,5,7,...,то: 1)^а<0; 2)(ч/а)я =а.
Таким образом, корень четной степени имеет смысл (т.е. определен ) только для неотрицательного подкоренного выражения; корень нечетной степени имеет смысл для любого подкоренного выражения.
Пример 2. Решить уравнения:
а)^Зх + 4=-2; б)*/Зх-2=1; в)*/2-5х=-4; г^х2 -5х + 68 = 2.
Решение, а) Если^у = -2, то у = -8. Фактически обе части заданного уравнения мы должны возвести в куб. Получим:
Зх + 4 = -8;
Зх = -12; х = -4.
б)    Рассуждая, как в примере а), возведем обе части уравнения в четвертую степень. Получим:
3* -2 = 1; 3х=3; х = 1.
в)    Здесь не надо возводить в четвертую степень, это уравнение не имеет решений. Почему? Потому, что согласно определению 1 корень четной степени — неотрицательное число.
г)    Возведя обе части уравнения в шестую степень, получим:
х2-5х +68=64; х2 -5х + 4=0;
х1 =1, х2 =4.    <■
216

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

_{Материалы по математике онлайн, задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике скачать}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников
 
Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 
 
Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.