Версия 15:30, 30 июля 2010

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>>Математика: Предел функции

§ 31. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
1. Предел функции на бесконечности
В § 30 мы получили следующий результат: равенство означает, что прямая у = b является горизонтальной асимптотой графика функции у = f (n) (рис. 105). Напомним, что аргумент п принимает только натуральные значения.
Пусть теперь дана функция у =f(n), в области определения которой содержится луч и пусть прямая у = Ь является горизонтальной асимптотой графика (рис. 106) функции у =f(x). Естественно, что математики в этом случае по аналогии с приведенным выше равенством (1) решили использовать запись:

(читают: предел функции у = f(х) при стремлении х к плюс бесконечности равен b).
Если же дана функция у = f (х), в области определения которой содержится луч a и прямая у = Ь является горизонтальной асимптотой графика функции у = f(х) (рис. 107), то в этом случае используют запись:

 (читают: предел функции у =f(х) при стремлении х к минус бесконечности равен b).
Если одновременно выполняются два соотношения:

то можно объединить их одним соотношением: Но условились использовать более экономную запись:

(читают: предел функции у = f(х) при стремлении х к бесконечности равен Ь).

В этом случае прямая у = Ь является горизонтальной асимптотой графика функции у = f(х) как бы с двух сторон (рис. 108).
Вычисление предела функции на бесконечности осуществляется по тем же правилам, что и вычисление предела последовательности. Приведем их (с соответствующими изменениями).
1) Для любого натурального показателя m и любого коэффициента к справедливо соотношение:

2) Если , то
а)    предел суммы равен сумме пределов:

б)    предел произведения равен произведению пределов:

в)    Предел частного равен частному от деления пределов (разумеется, при условии, что
г)    постоянный множитель можно вынести за знак предела:

Пример 1. Вычислить
Решение. Разделим числитель и знаменатель дроби почленно на х²:

Осталось воспользоваться правилом «предел частного». Поскольку предел числителя равен 2 + 0 = 2, а предел знаменателя равен 1 -0 = 1, то 2
предел дроби равен

Замечание. Сравните только что решенный пример с примером 6 из § 30: все то же самое — та же идея, те же рассуждения. Отличие только одно: там переменная п принимала лишь натуральные значения, а здесь переменная х принимает любые действительные значения (кроме, разумеется, значений -2 и 2, которые обращают в нуль знаменатель дроби, содержащейся под знаком предела).
2. Предел функции в точке
Рассмотрим функции, графики которых изображены на рис. 109—111. Во всех трех случаях изображена одна и та же кривая, тем не менее это три разные функции, они отличаются друг

от друга своим поведением в точке х =а. Для функции у = f(х), график которой изображен на рис. 109, значение f(а) не существует, функция в указанной точке не определена. Для функции у = f (х), график которой изображен на рис. 110, значение f (а) существует, но оно «неудачное», оно отлично, от, казалось бы, естественного значения Ъ. Наконец, для функции у = f(х), график которой изображен на рис. 111, значение f(а) существует, и оно «удачное». Если же точку х=а исключить из рассмотрения, то все три функции будут тождественными.
Для всех трех случаев используется одна и та же запись:

(читаем: «предел функции у =f( х ) при стремлении х к а равен b» ).
Содержательный смысл приведенной выше записи заключается в следующем: если значения аргумента выбираются все ближе и ближе к значению х =а, то значения функции все меньше и меньше отличаются от предельного значения Ъ. Можно сказать и так: в достаточно малой окрестности точки а справедливо приближенное равенство:
f(x)=b (причем это приближенное равенство тем точнее, чем меньшая окрестность выбирается). При этом, подчеркнем еще раз, сама точка х =а исключается из рассмотрения.
А теперь ответьте на вопрос: какую из рассмотренных трех функций естественно считать непрерывной в точке х=а? Ответ очевиден: непрерывной естественно считать третью функцию, которая удовлетворяет условию
В каких случаях мы с вами до сих пор использовали понятие «непрерывная функция» ? Мы говорили, что функция непрерывна, если видели, что ее график представляет собой сплошную линию, т.е. не имеет «проколов» и «скачков». На самом деле график функции изображают в виде сплошной линии (без «проколов» и «скачков») только тогда, когда установлена непрерывность функции. При этом функцию у = f(х) называют непрерывной в точке х = а, если выполняется соотношение:

Иными словами, функцию у = f(х) называют непрерывной в точке х=а, если предел функции у = f(х) при стремлении х к а равен значению функции в точке х=а.
Функцию у = f(х) называют непрерывной на промежутке X, если она непрерывна в каждой точке промежутка.
В курсе алгебры 7—9-го классов мы отмечали, что функции: — натуральное число, — непрерывны на всей числовой прямой. Отмечали также, что функция но претерпевает разрыв в точке х =0. В главе 1, говоря о тригонометрических функциях, мы отмечали непрерывность функций у = sin х и у=соs х на всей числовой прямой, а также непрерывность функций у = х, у=х в каждом промежутке из области их определения. До сих пор мы опирались на наглядные представления и интуицию. Математики доказали, опираясь на определение непрерывности, что все упомянутые утверждения верны. Так что теперь мы будем ими пользоваться на законных основаниях.
Между прочим, математики доказали более сильное утверждение:
Если выражение f(х) составлено из рациональных, иррациональных, тригонометрических выражений, то функция у = f(х) непрерывна в любой точке, в которой определено выражение f (х).
Рассмотрим несколько примеров на вычисление пределов функций.
Пример 2. Вычислить:
Решение. Выражение определено в любой точке х, в частности, в точке х = 1. Следовательно, функция непрерывна в точке х = 1, а потому предел функции при стремлении х к 1 равен значению функции в точке х = 1.
Имеем:
Ответ: 7.
Пример 3. Вычислить:
Решение. Выражение , в частности, в точке х = 2. Следовательно, функция у = f(х)непрерывна в точке х = 2, а потому предел функции при стремлении х к 2 равен значению
функции в точке х = 2. Имеем:
Ответ: 0.
Вы заметили, наверное, что в рассмотренных примерах вычисление пределов не составило значительных сложностей: достаточно было найти значение функции в точке, к которой стремится аргумент х. Но часты случаи, когда этот прием не срабатывает.
Пример 4. Вычислить
Решение. Если подставить значение х = -3 в заданное выражение, то и в числителе, и в знаменателе получится 0, а на 0 делить нельзя. Но заданную алгебраическую дробь можно сократить:

Значит, функции
Но (внимание!) при вычислении предела функции при х —» -3 саму точку х = -3 можно исключить из рассмотрения, мы об этом говорили  выше. Значит,
Ответ: -1,5.
Вернемся снова к названию раздела математики, который мы начали изучать, — математический анализ. В начале главы 4 мы отметили: анализируют в этом разделе математики то, как ведет себя функция около, конкретной точки. Теперь мы можем сказать точнее: в окрестности конкретной точки. Именно этим мы и занимались, делая выводы о функциях, графики которых изображены на рис. 109—111. Проведенный краткий анализ привел нас к понятию предела функции в точке и к понятию непрерывности функции в точке.
Важное замечание. Теория пределов — достаточно сложный раздел математического анализа, который изучается в вузах. Наше знакомство с понятием предела, как вы, наверное, заметили, поверхностное, основанное на интуиции и наглядных представлениях. Продолжая это «шапочное» знакомство, получим один очень существенный для высшей математики результат. При этом опять будем использовать не строгие рассуждения (нам пока это не по силам), а рассуждения, основанные на интуиции, наглядности, правдоподобии. Такие рассуждения математики часто называют рассуждениями «на пальцах».
Возьмем числовую окружность, выберем достаточно малое положительное значение t, отметим на окружности точку М(?) и ее ординату, т.е. sin t — это длина дуги АМ, sin t — это длина
перпендикуляра МР (рис. 112). Для достаточно малых значений t выполняется приближенное равенство АМ-МР, т.е. sin t=t, и, следовательно,

Естественно предположить, что

В курсе математического анализа доказано, что это утверждение верно.
3. Приращение аргумента. Приращение функции
Изучая поведение функции у = f(х) около конкретной точки х₀, важно знать, как меняется значение функции при изменении значения аргумента. Для этого используются понятия приращений аргумента и функции.
Определение 1. Пусть функция у =f(х) определена в точках х₀ и х₁ Разность х, -х₀ называют приращением аргумента (при переходе от точки х₀ кх,), а разность f(х,)-f(х₀) называют приращением функции.
Приращение аргумента обозначают (читают: «дельта икс»; А — прописная буква греческого алфавита «дельта», а соответствующая строчная буква пишется так: Приращение функции обозначают

Пример 5. Найти приращение функции у = х¹ при переходе от точки х⁰ =1 к точкам: а) х = 1,1; б) х = 0,98. Обратите внимание на полученный в примере 5 ответ: приращение функции (как, впрочем, и приращение аргумента) может быть и положительным, и отрицательным числом, так что не истолковывайте термин «приращение» как «прирост».
А теперь посмотрим на определение непрерывной функции с точки зрения приращений аргумента и функции. Определение непрерывности функции в точке х =а выглядит так:

Получаем новое истолкование понятия непрерывности функции в точке.
Функция у = f(х) непрерывна в точке х =а, если в точке х =а выполняется следующее условие:

Пример 6. Для функции у = кх + m найти:
а)    приращение функции при переходе от фиксированной точки х к точке х + f(х;
б)    предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.
Решение, а)Имеем:

/(х)=йх + тп;
/(х + Ах)=к(х + Ах) + т;
Ду = Дх + Дх)-/(х)=(й(х + Ах) + т)-(кх + т)=
=(кх+кАх + т)-(кх + т)=к-Ах.
Итак, для заданной линейной функции у =кх + т. получили: Ау =к■ Ах. б) Нужно вычислить Ит —.Имеем:
4*->0 Дх
Ит — = Ит —— = Ит к=к.
Дх-»0 Дх 4х-»0 Дд; 4х-»0
Итак, для заданной линейной функции у=кх + т получили:
Ит — =к.    /ш
&х-+о Дд;    \Я
На рис. 113 изображен график линейной функции у = кх+т, выделена фиксированная точка графика М(х, Дх)), отмечены приращения аргумента и функции при переходе от точки х к точке х+Ах. Чер-
теж подсказывает, что —1- — тангенс
Ах
угла между прямой у = кх + т и положительным направлением оси х, а это — угловой коэффициент прямой. Значит,
                У            1        1               
            1    к                    р               
                                        А           
                                                   
                            /ГА        X               
                                                   
            0                X        с+Ах                X
    Л            т                                   
Ж                                                   
                                                   
                                                   
Рис. 113
Ау
— = к, что фактически и получено при Ах
решении примера 6, но с помощью формальных преобразований.
Пример 7. Для функции у = х2 найти:
а)    приращение функции при переходе от фиксированной точки х к точке х + Дх;
б)    предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.
Решение. а) Имеем:
/(х) = х2; Дх + Дх)=(х + Дх)2; Д{/ = Дх + Дх)-/(х)=(х +Дх/ -х2 =
=(х2 +2хДх+(Дх/)-х2 =2хДх+(Дх/.
Итак, для функции у = х2 получили: Ау = 2х-Ах +(Дх/.
147
б) Нужно вычислить Ит —.
л*-лдх
™ ,■ Ьу 2хДх + (Дх/ /л 4 ч л
Имеем: Ит —= Иш--—— = Ит(2х + Дх)=2х.
4х-»0 Дх 4х-»0 Дх    Дх-»0
При вычислении последнего предела мы учли, что х — фиксированная точка, т.е. постоянное число, а Дх — переменная: если Дх—>0, то (2х + Дх)—»2х.
Итак, для заданной функции у = хг получили: Ит — = 2х.    <(■!
4х-»0 Дх

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

_{Материалы по математике онлайн, задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике скачать}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников
 
Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 
 
Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.