Версия 08:45, 10 июля 2010

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>>Математика: Тригонометрические уравнения

§ 20. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
1. Простейшие тригонометрические уравнения
Тригонометрическими уравнениями обычно называют уравнения, в которых переменная содержится под знаками тригонометрических функций. К их числу прежде всего относятся простейшие тригонометрические уравнения, т.е. уравнения вида a — действительное число. К настоящему моменту мы знаем, что:
1)    если | а | < 1, то решения уравнения соз о:-а имеют вид:

   
Во всех перечисленных формулах подразумевается, что параметр (n, к и т.д.) принимает любые целочисленные значения
К простейшим относят обычно и уравнения вида Т(кх + m)=а, где Т — знак какой-либо тригонометрической функции.
Пример 1. Решить уравнения:

Решение: а) Введем новую переменную
Возвращаясь к переменной х, получаем: Осталось обе части этого равенства разделить почленно на 2; получим:

Заметим, что при наличии некоторого опыта можно не вводить промежуточную переменную t = 2х, а сразу переходить от уравнения
Именно так мы и будем действовать в дальнейшем.
б) Мы знаем, что решения уравнения соs t = а имеют вид: Для нашего примера это означает, что

Пример 2. Найти те корни уравнения которые принадлежат отрезку[0, п].
Решение. Сначала решим уравнение в общем виде: (см. пример 1а). Далее придадим параметру п последовательно значения 0,1, 2,..., -1, -2,... и подставим эти значения в общую формулу корней.

Это число не принадлежит заданному отрезку [0, п]. Тем более не будут принадлежать заданному отрезку те значения х, которые получаются из общей формулы при n = -2, -3,...
На рис. 94 представлена геометрическая интерпретация проведенных рассуждений.

Итак, заданному отрезку [0, п] принадлежат те корни уравнения, которые получаются из общей формулы при следующих значениях параметра n: n = 0, n = 1. Эти корни таковы
Ответ:

Пример 3. Найти те корни уравнения сое Зх =--, которые принадле-
2
жат отрезку
N•4
Решение. Сначала решим уравнение в общем виде:
, л 2лл
х=±—+-
4 3
(см. пример 16). Далее придадим параметру п последовательно значения 0,1, 2,..., -1, -2,... и подставим эти значения в общую формулу корней.
Если л = 0, тоя; = ±^ + 0 = ±^. Оба эти числа: ~ ~ и ~ принадлежат задан-
Г ■ я '
ному отрезку — —, л
гл    1    2л г,    л 2л 11л -
Если п = 1, то х = ±— + —. Это значит, что либо х= — + — =-, либо
4 3    4 3 12
л 2л 5л „    11л 5л
х = — + — = —. Оба числа:-и —
4 3 12    12 12
принадлежат заданному отрезку
л
л 4л    л 4л 19л
Если п = 2, то х = ± — + —. Это значит, что либо х=— + — =-, либо
4 3    4 3 12
л 4л 13л    19л 13л
х- — + — --. Оба числа:- и- — не принадлежат заданному от-
4 3 12    12 12
резку
[-И
, поскольку оба они больше числа л. Тем более не будут при-
надлежать заданному отрезку те значения х, которые получаются из общей формулы при п = 3,4,...
гт    1 гг.    , л 2л _    л 2л 5л
Пусть п =-1. Тогда х = ±---. Это значит, что либо х ----=--,
4 3    4 3 12
л 2л 11л „
либо х = ~— —— =    Из зтих двух значении заданному отрезку
л

5л
принадлежит только первое: х =--, поскольку второе число, т.е.
X 2
11л л число - —, меньше числа--.
12 2
Не будут принадлежать заданному отрезку те значения х, которые получаются из общей формулы при п = -2, - 3,...
На рис. 95 представлена геометрическая интерпретация проведенных рассуждений.
                    1 1            1 1 1 л 5л            1                           
                                                                       
                    1.1.            ч                                       
                У        0                    1 р                        X   
                                            1                           
Рис. 96
92
Итак, заданному отрезку
л
~2'К
принадлежат следующие корни урав-
л/2 л л 5л 11л 5л
нения соз Зл: = —: —, —, —,-,--.
2 4 4 12 12 12
Л    5л л л 5л 11л
итвет:--, —, —, —, -.
12 4 4 12 12
2. Два основных метода решения тригонометрических уравнений
Для решения тригонометрических уравнений чаще всего используются два метода: введения новой переменной и разложения на множители.
Вернемся к материалу § 16. Там в примере 3 мы решили тригонометрическое уравнение 2вт2 *-5зт*+2 =0. Как мы это сделали? Ввели новую переменную г = аш *, переписали уравнение в виде
2гг -5г+ 2=0, откуда г1 =2, г2 =—. В результате мы получили два
2
простых уравнения: зтI =2; зт* = —. Первое уравнение не имеет
2
решений, а для второго нашли две серии решений:
*= —+ 2лк; *= —+ 2лк и установили (см. § 18), что эти две серии 6 6
можно объединить одной формулой * =(—1)" — + лп.
6
В том же § 16 в примере 4 мы решили тригонометрическое уравнение сое2 *-вт2*-соа* =0. Как мы это сделали? Воспользовались тем, что зт2*=1-со82* и заданное уравнение переписали в виде со82*-(1-со82*)-со8*=0 и далее 2созг *-соз *-1 =0. Введя новую
переменную г=со8*, получили 2г2 -2-1=0, откуда г1 =1, г2 =-—.
2
Значит, либо со8 * =1, либо сов* =-—. В итоге получили две серии
2
2л
решений: * =2пк; *=±—+2лк.
3
Рассмотрим еще один пример на использование метода введения новой переменной при решении тригонометрических уравнений.
X    X
Пример 4. Решить уравнение —н Зс1§— =4.
2 2
Решение. Поскольку с1§— = —, есть смысл ввести новую переменную
2 <•§
х    3
г = . Это позволит переписать уравнение в более простом виде: г + — =4. 2 2
93
Имеем:
г2+3=4г, г2 -42 + 3=0, 2! =1, г2 =3.
х
Возвращаясь к переменной х9 получаем два уравнения: = 1 или
X    X    X тс
= 3. Из первого уравнения находим: — = агс1§ 1 + тел, т.е. —= —+ял,
К    X
х=— + 2тсл. Из второго уравнения находим: — = агс1§ 3 + яп, х =2агс{§ 3 + 2ял. 2 2 тс
Ответ: х = — + 2пп, лс=2агс(еЗ + 2тсл. 2
V^Теперь поговорим о втором методе решения тригонометрических уравнений — методе разложения на множители. Смысл этого метода вам знаком: если уравнение х) =0 возможно преобразовать к виду /, (х) /2(х) =0, то задача сводится к решению двух уравнений (обычно говорят — к решению совокупности уравнений):
А(*)=0; /2(х)=0. Пример 5. Решить уравнение    ||созх + ^|=0.
Решение. Задача сводится к решению совокупности уравнений:
1 2
81ПЛС = -; СОЗ X = —.
3    5
Из этих уравнений находим соответственно:
1 2 х =(-1)"агсзш- + ял; х = ± агссоз(—)+2ял.    <И]
3    5
Пример 6. Решить уравнение 2 зт х соз 5х - соз 5х=0. Решение. Имеем со85лс(28тл<;-1)=0. Значит, приходим к совокупности уравнений:
„ „ . 1 соз 5х = 0; 81П х=—.
2
„    я    я тсп
Из первого уравнения находим :5х = — + я л, ж = —+ —.
я
Из второго уравнения находим: х =(-1)" — + ял.
6
Л    я ял , „,„ я
Ответ: х=— + —; дс =(—1) — + ял. 10 5 ^ ' 6
Замечание. Учтите, что переход от уравнения ^(лс)-Ц(х)=0 к совокупности уравнений: ^(х)=0;^(х)=0 не всегда безопасен. Рассмотрим, например, уравнение х(зтх-1)=0. Из уравнения 1б*=0 находим
я
х = ял; из уравнения зтл: = 1 находим лс = —+ 2ял. Но включить обе серии
я
решений в ответ нельзя. Дело в том, что при значениях х = — + 2ял.входя-
94
щий в заданное уравнение множитель х не имеет смысла, т.е. значения
ж
х = — + 2пп не принадлежат области определения уравнения (области допустимых значений уравнения — ОДЗ), это — посторонние корни.
3. Однородные тригонометрические уравнения
Здесь мы познакомимся с довольно часто встречающимися на практике тригонометрическими уравнениями специального вида.
Определение. Уравнение вида: аз1пх + Ьсозх =0 называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени; уравне-н ие вида: азю2 х + Ьз1п х соз х + с соз2 х = 0 называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени.
Сначала поговорим о решении однородных тригонометрических уравнений первой степени, причем рассмотрим только самый общий случай, когда оба коэффициента а и Ъ отличны от нуля, так как, если а =0, уравнение принимает вид Ьсоз х=0, т.е. соз х=0 — такое уравнение отдельного обсуждения не заслуживает; аналогично при Ь=0 получаем зт х =0, что тоже не требует отдельного обсуждения.
Итак, дано уравнение азтх+Ьсозх=0, где а * 0,Ь * 0. Разделив обе части уравнения почленно на соз*, получим:
азтзс Ьсозх 0    , Л
-+-=-, т.е. а1%х+Ъ=0.
соз х соз х со&х
В итоге приходим к простейшему тригонометрическому уравнению
Ъ
= —. а
Внимание! Вообще-то делить обе части уравнения на одно и то же выражение можно только в том случае, когда мы уверены, что это выражение нигде не обращается в нуль (на 0 делить нельзя). Уверены ли мы, что в нашем уравнении соз х отличен от нуля? Давайте проанализируем. Предположим, что соз х =0. Тогда однородное уравнение а зтх+Ь соз х=0 примет вида зтдг=0, т.е. зщх=0 (вы ведь не забыли, что коэффициент а отличен от нуля). Получается, что и соз х=0, и зш л: =0, а это невозможно, так как зтх и соззс обращаются в нуль в различных точках. Итак, в однородном тригонометрическом уравнении первой степени деление обеих частей уравнения насозх— вполне благополучная операция.
Уравнения вида а зт тх+Ь соз тх=0 тоже называют однородными тригонометрическими уравнениями первой степени. Для их решения обе части уравнения делят почленно на соз тх.
Пример 7. Решить уравнение2 зт х-3соз х=0.
Решение. Разделив обе части уравнения почленно на соз х, получим:
95
3    3
21§лс-3=0, л: = —, лс = агс 1%- + пп.
2 2
3
Ответ: х = агс1е- + пп.
2
Пример 8. Решить уравнение 8т2лс + со82лс =0.
Решение. Разделив обе части уравнения почленно насо82лс, получим: 182*+ 1=0, 1&2х=-1, 2х = агс1ё(-1)+ пп,
„л    п пп
2х = — + пп, х = — + —.
4    8 2
^    п пп
Ответ: х ----1--.
8 2_^
Рассмотрим теперь однородное тригонометрическое уравнение второй степени:
а 81П2 х+Ь 81П x соз Х+С соз2 X =0.
Если коэффициент а отличен от нуля, т.е. в уравнении содержится член зт2 х с каким-то коэффициентом, отличным от нуля, то, рассуждая как и выше, нетрудно убедиться в том, что при интересующих нас значениях переменной сое хне обращается в нуль, а потому можно обе части уравнения разделить почленно на сое2 х. Что это даст? Смотрите:
а 81п2 X Ь 81п X соз X С соз2 X 0
сов2 X    соз2 X    сов2 X соз2 X
т.е. а 1§2х+Ь х+с =0.
Это — квадратное уравнение относительно новой переменной г = 1%х.
Пусть теперь в однородном тригонометрическом уравнении
а 81п2 Х + Ь 81п X соз Х + С соз2 X =0
коэффициент а равен 0, т.е. отсутствует член азт2 х. Тогда уравнение принимает вид:
Ь 81п X соз х + ссоз2 Х = 0.
Это уравнение можно решить методом разложения на множители: с08 X (Ъ 81п Х + С соз X) =0, соз X = 0 или Ъ 81п Х + С соз X =0.
Получились два уравнения, которые мы с вами решать умеем. Аналогично обстоит дело и в случае, когдас =0, т.е. когда однородное уравнение имеет вид а зт2 х+Ь зт х соз х=0 (здесь можно вынести за скобки зтх).
Фактически мы выработали
96
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ автгх+Ь 81П хсоз х+ссоа2 х=0:
1.    Посмотреть, есть ли в уравнении член азт2 х.
2.    Если членавт2 хв уравнении содержится (т.е. а Ф 0), то уравнение решается делением обеих его частей на сое2 х и последующим введением новой переменной г = х.
3.    Если член азт2 х в уравнении не содержится (т.е. а = 0), то уравнение решается методом разложения на множители: за скобки выносят совх.
Так же обстоит дело и в однородных уравнениях вида: а 81П2 тх+Ъ 8111 тхсовтх+с сов2 тх=0.
Пример 9. Решить уравнение
81П2 лс - 3 81П л: соз х+ 2 сое2 х = 0.
Решение. Разделив обе част^ уравнения почленно на соз2 х, получим 1^х-31§ х + 2=0. Введя новую переменную г=Щх, получим г2 -Зг + 2=0, откуда находим г1 = 1, г2 =2. Значит, либо {%х = 1, либо 1%х=2. Из первого уравнения находим:
х = агс1ё 1 + пп, т.е. х = — + пп.
Из второго уравнения находим: х = агс1§ 2 + пп. п
Ответ: х = — + пп\ х = агс1§ 2 + пп. 4
Пример 10. Решить уравнение
•у/Ззтлссовлс + соз2 х=0.
Решение. Здесь отсутствует член вида а зш2 х, значит, делить обе части уравнения на соз2 х нельзя. Решим уравнение методом разложения на множители. Имеем:
совх(4з 8Н1л; + со8л;)=0, т.е. соз х = 0 или 73 зш х + соз х=0.
тт    я
Из первого уравнения находим х = — + кп.
Второе уравнение — однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Решим его с помощью почленного деления обеих частей уравнения насозлс:
81пя; + Со8я;=0,
4З^х + 1=0;
-П    п
—Г= + пп,х = — + пп. л/3    6
1е л: = —Дг, откуда х = агс1§
4з
Ответ: х = — + пп: х = -—+пп. 2 6
В заключение рассмотрим более сложный пример.
4 Мордкович «Алгебра, 10 кл.»
97
Пример 11. Решить уравнение
3 81 п2 Зле - 2л/3 81Г1 Зх сое Зле + 5 сое2 Зле = 2 и выделить те его корни, которые принадлежат интервалу (-л, л).
Решение. Чем это уравнение сложнее предыдущих? Во-первых, оно не является однородным, так как в правой его части содержится не 0, а 2. Во-вторых, в левой части уравнения под знаками синуса и косинуса находится не х, а Зле. В-третьих, нужно не только решить уравнение в общем виде, но и выбрать корни, принадлежащие заданному промежутку. Эти три дополнительные трудности мы сейчас и начнем преодолевать.
С числом 2, содержащимся в правой части уравнения, мы поступим следующим образом. Известно, что зт21 + сое21 = 1 — это тождество верно для любого I. В частности, зт2 3* + сое2 Зле = 1. Но тогда 2 зт2 Зх + 2соз2 Зх =2. Заменив в правой части уравнения 2 на 2 81п2 Зле + 2со82 Зле, получим:
3 зт2 Зх - 273 зт Зх соа Зх + 5 соз2 Зх=2зт2Зх + 2 сов2 Зх.
Далее имеем:
3 зт2 Зх -2-Уз зт Зх соз Зх + 5сое2 3*'-2 зт2 Зх-2сов2 Зле = О, зт2 Зх-2^3 зт Зх соз Зле + Зсоз2 Зле =0.
Как видите, нам удалось преобразовать заданное уравнение в однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Оно содержит в своем составе член зт2 Зх, значит, применив способ почленного деления на соз2 Зле, получим:
1§2 3 лс - 2-У31§ Зле + 3=0.
Положив г Зх, получим квадратное уравнение:
г2 -2л/3г +3=0.
Для решения этого уравнения можно использовать формулу корней квадратного уравнения, но изящнее сделать так: заметив, что
г2 -273г+3=(г-73)2, преобразовать квадратное уравнение к виду:
(г-7з)2=0,
и далее г--Уз =0.
Значит, 2 = л/5, т.е.
1§ЗХ = ТЗ, Зх = ап*8 -Уз + пп,
о 71
Злс = — + пп, 3
л пп
лс = - +-.
9 3
Осталось из найденной серии решений выбрать те корни уравнения, которые принадлежат заданному интервалу (-л, л). Можно осуществить «перебор по параметру», т.е. последовательно придать параметру п значения 0,1, 2,..., -1, -2,..., как мы это делали в п. 1 (примеры 2 иЗ). Но мы хотим показать вам еще один прием (быть может, он покажется вам более интересным).
98
Нам нужно найти такие значения х, которые содержатся в интервале (-л, л), т.е. удовлетворяют двойному неравенству -%<х<к. Поскольку л лл
х =— + —, получаем неравенство:
П ПП -л< —+-< л.
9 3
Умножив все части этого неравенства на 9 и разделив на тс, получим:
-9<1 + Зл<9, -10<3я<8,
10 8
--<п <-.
3 3
Осталось выяснить, какие целочисленные значения параметра п удовлетворяют последнему неравенству. Это значения: -3, -2, -1, 0,1, 2. Значит, если перечисленные шесть значений подставить вместо п в форте тел
мулу решении х = — н--, то мы тем самым и выделим интересующие нас
9 3
корни уравнения, принадлежащие заданному интервалу (-тс, тс). Итак:
1)    если л = -3, то из формулы х=— + — получаем
9 3
п    8л
х =--л=--;
9    9
2)    если л = -2, то из формулы х = — + — получаем
9 3
л _ 2л __ 5 л
3)    если л = -1, то из формулы х + ^ получаем
_ л _ л _ 2 л
4)    если л = 0, то из формулы + ~ получаем
л „ л
х=- + 0=~; 9 9
С\    1    Я тел
5)    если л = I, то из формулы х=—л--получаем
9 3 _ л я_4тс. *"9 + 3~~9~'
6)    если л = 2, то из формулы х=— + — получаем
9 3
п 2тс 7тс
х=- +-=-.
9 3 9
^    8л 5 л 2 л п 4тс 7п
Ответ:--;--;--; —; —.
9 9 9 9 9 9
4 й
99

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

_{Материалы по математике онлайн, задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике скачать}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников
 
Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 
 
Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.