Версия 09:45, 9 июля 2010

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>>Математика: Арксинус. Решение уравнения sint = a

'§ 18. АРКСИНУС. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ sint = a'
Рассмотрим уравнение     С помощью числовой окружности (рис. 82) получаем:

Что же такое Это — число (длина дуги АМ), синус которого равен и которое принадлежит первой четверти числовой окружности — отрезку

Теперь рассмотрим уравнение
С помощью числовой окружности (рис. 83) получаем:

где t₁ — длина дуги ЬА, взятая со знаком минус, 1г — длина дуги К А, взятая тоже со знаком минус. Математики обозначили число t₂ символом и сразу обратили внимание на два обстоятельства.
Первое: дуги АМ и АЬ (см. рис. 82 и 83) равны по длине и противоположны по направлению. Значит,

Второе:

Сформулируем определение арксинуса в общем виде.
Определение.

Теперь мы в состоянии сделать общий вывод о решении уравнения t = a:

Правда, в трех случаях предпочитают пользоваться не полученной общей формулой, а более простыми соотношениями:

Пример 1. Вычислить:

Решение: а) Положим

Пример 2. Решить уравнения:

Решение: а)Составим формулы решений:
4з    4з
I = агсзт — + 2л к; * = л - агсзт — + 2л к. 2 2
■ 4з л
Вычислим значение арксинуса: агсзт— = —.
2 3
Подставим найденное значение в формулы решений:
л    2л
1 = — + 2лк; 1 = — + 2 пк. 3    3
б) Составим формулы решений:
, • ( ^ I = агсзт--
2
V У
Вычислим значение арксинуса
+ 2тск; 4 = л-агсзт
+ 2л к.
    МП        (А)
агсзт    2    =-агсзт    2
    ч ;    V у   
'_4з) 2
л 3'
Подставим найденное значение в формулы решений:
* = - - + 2лк; * = л- [ - - | + 2лА, т.е. * = — + 2лк. 3    ^ 3^    3
в) Составим формулы решений:
2 2 1 = агсзт — + 2лА; I = л - агсзт — + 2лА. 7    7
80
Вычислить значение арксинуса в данном случае мы не можем, поэтому запись решений уравнения оставим в полученном виде.
г) Так как -1,2 < -1, то уравнение зт* = -1,2 не имеет решений (переходить здесь к арксинусу не имеет смысла).    <■]
Пример 3. Решить неравенства:
а)зт*>^; б)зтг>0,3; в)зтI<0,3.
Решение, а) Учтем, что зт I — ордината точки М(() числовой окружности. Значит, нам надо найти такие точки М(г), лежащие на окружности,
которые удовлетворяют неравенству у > —. Прямая у = — пересекает числовую окружность в двух точках К и Р (рис. 87). Неравенству у > — соответствуют точки откры-
той дуги КР. Главные « имена » точек КиР — — и
6
5п „
—. Значит, ядром аналитической записи дуги 6
л 5л
КР является неравенство — < I < —, а сама анали-
6 6
тическая запись дуги КР имеет вид: 11 „ , 5л „ ,
6 6
б)    Прямая у = 0,3 пересекает числовую окружность в двух точках КиР (рис. 88). Неравенству у > 0,3 соответствуют точки открытой дуги КР. Главные «имена» точек КиР — соответственно агсзт 0,3 и л -агсзт 0,3. Значит, решение неравенства имеет вид:
агсзт 0,3 + 2лк < * < л - агсзт0,3 + 2лк.
в)    Неравенству у <0,3 соответствуют точки открытой дуги РК (рис. 89). Главные «имена» точек Р и К в этом случае — соответственно -л-агсзт0,3 и агсзш 0,3. Значит, решение неравенства имеет вид:
-л- агсзт0,3 + 2лк <К агсзт0,3 + 2лк. <Ш
Полученные выше две формулы для решения уравнения =а:
^ = агсзт а+2 лк; I = л -агсзт а+2 лк можно объединить одной формулой. Перепишем эти формулы следующим образом:
I = агсзт а+я-2й, I = -агсзт а+п(2к +1).
                    1    1 IV                   
    \                0*    *                   
1            >    **            ч    V           
        >■/    г                    >           
        Г        1 2                           
                                           
                        0                »   
        V                            )       
        \                            /       
            ч    V,            ✓               
                                           
                                           
Рис. 87
                        и                   
                    **                       
            /    **            ч    V,           
у=0,3/            г                    >        К   
                                    А       
        р                                   
                        0                »   
                                    /       
        \                            V       
                                ✓           
                                           
                                           
Рис. 88
                    1    IV"                   
                                           
                            ч    ^           
                                    \    к    -
    N                                л       
    1 р                                       
                        0                   
                                    /       
            к                    4    г       
            \    ч            **    Г           
                                           
                                           
Рис. 96
81
Замечаем, что если перед агсзт а стоит знак «+*, то у числа л множителем является четное число 2к (см. первую строку); если же перед агсзт а стоит знак «—», то у числа л множителем является нечетное число(2й + 1)(см. вторую строку). Это наблюдение позволяет записать общую формулу для решения уравнения зт 1=а:
I =(-1)" агсзша+лп.
Почему эта формула общая? Да потому, что при четном п (п- 2к) из нее получается первая из написанных выше формул, а при нечетном п (п = 2к +1) — вторая из написанных выше формул.
С помощью полученной общей формулы можно по-другому записать решения уравнений примера 2. Так, для уравнения
д    к    7з
зш I-— получаем I =(-1)п — + пп. Для уравнения зт I =--полу-
2    3    2
чаем < =(-1)"    Это выражение можно записать иначе, вы-
полнив следующие преобразования:
(-1П-^=(-1Г(-1) | =(-1)л+1
В итоге получаем I =(-1)'141 ^ + яп.
2
Для рассмотренного в примере 2 в) уравнения зт*=у ответ
2
можно записать так: I =(-1)" агсзхп —+яп.
7
Теперь мы можем найти решения уравнения, которое не смогли решить в примере 2 § 16: зт I =-0Д Имеем
I = (-1)"агсзт(-0,3) + яп или I =(-1)"+1 агсзт 0,3+яп.
Замечание. Вы, наверное, обратили внимание на то, что мы здесь и в § 17, говоря о решении уравнений и неравенств, все время обозначали переменную буквой 2, а не х, к чему вы, естественно, больше привыкли. Это дало нам возможность более комфортно использовать для решения уравнений и неравенств числовую окружность. Теперь мы имеем готовые формулы для решения уравнений зш( = а, соз* = а. Значит, мы можем обойтись без числовой окружности. А коли так, то в дальнейшем, говоря о тригонометрических уравнениях и неравенствах, вернемся к более традиционному обозначению переменной — обозначению х.
82
I
Пример4. Вычислить: а) зт^агсят^ б)соз    в)1^агс51п^.
Решение, а) Воспользовавшись определением арксинуса, получим:
31П
агсзт-
5
я
Требуется вы-
3    3
б) Положим агсзт-=*. Тогда зш * = -, причем *б О, 5    5    Ь 2
числить соз*. Имеем:
соз2* = 1 - з1п2 *;
2 , 9
соз * = 1--;
25 ■
2 16 , -    сое *=—; ,
25
4    4 соз* = - или соз* = —.
5    5
Поскольку * принадлежит первой четверти, из двух указанных выше
- „    4
возможностей выбираем первую: соз * = —.
5
( 3"| 4 Итак, соз агсзт- =—.
Л Ч 5
зш * 3 4 3
В) 18*=-:=7:7 = Т-
соз * 5 5 4
( . 3^ 3 а
Итак, 18 агсзт — = —
V 5) *
Ответ: а) —; б) —; в) —.
5 5 4

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

_{Материалы по математике онлайн, задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике скачать}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников
 
Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 
 
Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.