Перпендикулярность прямых в пространстве

KNOWLEDGE HYPERMARKET

 		Версия 10:35, 30 июня 2010 (просмотреть исходный код)
User16  (Обсуждение | вклад)
 (Создана новая страница размером <metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, ...)
← Предыдущая правка
		Версия 10:48, 30 июня 2010 (просмотреть исходный код)
User16  (Обсуждение | вклад) 
Следующая правка →
		
Строка 5:
Строка 5:
 <br>    <br>  
  
- <br>'''&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ&nbsp;&nbsp;&nbsp; ПРЯМЫХ&nbsp;&nbsp;&nbsp; В&nbsp;&nbsp;&nbsp; ПРОСТРАНСТВЕ''' + <br>'''&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ&nbsp;&nbsp;&nbsp; ПРЯМЫХ&nbsp;&nbsp;&nbsp; В&nbsp;&nbsp;&nbsp; ПРОСТРАНСТВЕ'''  
  
- '''''<br>Так же как и на плоскости, две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.''''' + '''''<br>Так же как и на плоскости, две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.'''''  
  
- Теорема 17.1. '''''Если две пересекающиеся прямые параллельны соответственно двум перпендикулярным прямым, то они тоже перпендикулярны.'''''<br> + Теорема 17.1. '''''Если две пересекающиеся прямые параллельны соответственно двум перпендикулярным прямым, то они тоже перпендикулярны.'''''<br>  
  
- Доказательство. Пусть а и b — перпендикулярные прямые, а<sub>1</sub><sub></sub> и b<sub>1</sub> — параллельные им пересекающиеся прямые.<br> + Доказательство. Пусть а и b — перпендикулярные прямые, а<sub>1</sub><sub></sub> и b<sub>1</sub> — параллельные им пересекающиеся прямые.<br>  
  
- Докажем, что прямые а<sub>1</sub> и b<sub>1</sub>перпендикулярны.<br> + Докажем, что прямые а<sub>1</sub> и b<sub>1</sub>перпендикулярны.<br>  
  
- Если прямые а, b, а<sub>1</sub>, b<sub>1</sub> лежат в одной плоскости, то они обладают указанным в теореме свойством, как это известно из планиметрии.<br> + Если прямые а, b, а<sub>1</sub>, b<sub>1</sub> лежат в одной плоскости, то они обладают указанным в теореме свойством, как это известно из планиметрии.<br>  
  
- Допустим теперь, что наши прямые не лежат в одной плоскости. Тогда прямые а и b лежат в некоторой плоскости [[Image:24-06-52.jpg]], а прямые а<sub>1</sub> и b<sub>1</sub> — в некоторой плоскости [[Image:24-06-52.jpg]]1<sub></sub> (рис. 350). По теореме 16.4 плоскости [[Image:24-06-52.jpg]] и [[Image:24-06-52.jpg]]<sub>1</sub> параллельны.. Пусть С — точка пересечения прямых а и b, а C<sub>1</sub> — точка пересечения прямых + Допустим теперь, что наши прямые не лежат в одной плоскости. Тогда прямые а и b лежат в некоторой плоскости [[Image:24-06-52.jpg]], а прямые а<sub>1</sub> и b<sub>1</sub> — в некоторой плоскости [[Image:24-06-52.jpg]]1<sub></sub> (рис. 350). По теореме 16.4 плоскости [[Image:24-06-52.jpg]] и [[Image:24-06-52.jpg]]<sub>1</sub> параллельны.. Пусть С — точка пересечения прямых а и b, а C<sub>1</sub> — точка пересечения прямых  
  
- а<sub>1</sub> и b<sub>1</sub>. Проведем в плоскости параллельных прямых [[Image:24-06-52.jpg]] и [[Image:24-06-52.jpg]]<sub>1</sub> прямую, параллельную прямой СС<sub>1</sub>. Она пересечет прямые а и а<sub>1</sub> в точках А и А<sub>1</sub>.B плоскости прямых b и b<sub>1</sub> проведем пря- + а<sub>1</sub> и b<sub>1</sub>. Проведем в плоскости параллельных прямых [[Image:24-06-52.jpg]] и [[Image:24-06-52.jpg]]<sub>1</sub> прямую, параллельную прямой СС<sub>1</sub>. Она пересечет прямые а и а<sub>1</sub> в точках А и А<sub>1</sub>.B плоскости прямых b и b<sub>1</sub> проведем пря-  
  
  + <br> 
  
  + [[Image:30-06-20.jpg]]<br>&nbsp;<br><br>мую, параллельную прямой СС<sub>1</sub>, и обозначим через В и В<sub>1</sub> точки ее пересечения с прямыми b и b<sub>1</sub>. 
  
- [[Image:30-06-20.jpg]]<br>&nbsp;<br><br>мую, параллельную прямой СС<sub>1</sub>, и обозначим через В и В<sub>1</sub> точки ее пересечения с прямыми b и b<sub>1</sub>. + Четырехугольники САА<sub>1</sub>С<sub>1</sub>и СВВ<sub>1</sub>С<sub>1</sub> — параллелограммы, так как у них противолежащие стороны параллельны. Четырехугольник АВВ<sub>1</sub> А<sub>1</sub> также параллелограмм. У него стороны АА<sub>1</sub>, ВВ<sub>1</sub> параллельны, потому что каждая из них параллельна прямой CC<sub>1</sub>. Таким образом, четырехугольник лежит в плоскости, проходящей через параллельные прямые АА<sub>1</sub> и ВВ<sub>1</sub>. А она пересекает параллельные плоскости [[Image:24-06-52.jpg]] и [[Image:24-06-52.jpg]]<sub>1</sub> по параллельным прямым АВ и А<sub>1</sub>В<sub>1</sub>.
  
- Четырехугольники САА<sub>1</sub><sub></sub>С<sub>1</sub>и СВВ<sub>1</sub>С<sub>1</sub> — параллелограммы, так как у них противолежащие стороны параллельны. Четырехугольник АВВ| А i также параллелограмм. У него стороны АА\, ВВ] параллельны, потому что каждая из них параллельна прямой CCi. Таким образом, четырехугольник лежит в плоскости, проходящей через параллельные прямые АА] и ВВ\. А она пересекает параллельные плоскости а и а: по параллельным прямым АВ и А\В\.<br>Так как у параллелограмма противолежащие стороны равны, то АВ = А[В,, AC=AiC\, BC = B,Ci. По третьему признаку равенства треугольников треугольники ABC и А]В,С\ равны. Итак, угол А,С\В\, равный углу АСВ, прямой, т. е. прямые О] и Ь] перпендикулярны. Теорема доказана.<br>Задача (1). Докажите, что через любую точку прямой в пространстве можно провести перпендикулярную ей прямую.<br>Решение. Пусть с — прямая а А — точка на ней (рис. 351). Возьмем любую точку X вне прямой с и проведем через эту точку и прямую с плоскость а (теорема 15.1). В плоскости а через точку А можно провести прямую Ь, перпендикулярную прямой с.<br><br><br>&nbsp; + Так как у параллелограмма противолежащие стороны равны, то АВ = А<sub>1</sub>В<sub>1</sub>, AC=А<sub>1</sub>C<sub>1</sub>, BC = B<sub>1</sub>C<sub>1</sub>. По третьему признаку равенства треугольников треугольники ABC и А<sub>1</sub>В<sub>1</sub>C<sub>1</sub> равны. Итак, угол А<sub>1</sub>C<sub>1</sub>B<sub>1</sub>, равный углу АСВ, прямой, т. е. прямые а<sub>1</sub> и b<sub>1</sub> перпендикулярны. Теорема доказана.
  +  
  + Задача (1). Докажите, что через любую точку прямой в пространстве можно провести перпендикулярную ей прямую.
  +  
  + Решение. Пусть a — прямая а А — точка на ней (рис. 351). Возьмем любую точку X вне прямой a и проведем через эту точку и прямую a плоскость [[Image:24-06-52.jpg]] (теорема 15.1). В плоскости [[Image:24-06-52.jpg]] через точку А можно провести прямую b, перпендикулярную прямой a.<br><br><br>&nbsp;  
  
 <br> ''А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений'' <br>    <br> ''А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений'' <br>  

Версия 10:48, 30 июня 2010
 
Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>>Математика:Перпендикулярность прямых в пространстве 

 

                                      ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ    ПРЯМЫХ    В    ПРОСТРАНСТВЕ 

Так же как и на плоскости, две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом. 
Теорема 17.1. Если две пересекающиеся прямые параллельны соответственно двум перпендикулярным прямым, то они тоже перпендикулярны.
 
Доказательство. Пусть а и b — перпендикулярные прямые, а₁ и b₁ — параллельные им пересекающиеся прямые.
 
Докажем, что прямые а₁ и b₁перпендикулярны.
 
Если прямые а, b, а₁, b₁ лежат в одной плоскости, то они обладают указанным в теореме свойством, как это известно из планиметрии.
 
Допустим теперь, что наши прямые не лежат в одной плоскости. Тогда прямые а и b лежат в некоторой плоскости , а прямые а₁ и b₁ — в некоторой плоскости 1 (рис. 350). По теореме 16.4 плоскости  и ₁ параллельны.. Пусть С — точка пересечения прямых а и b, а C₁ — точка пересечения прямых 
а₁ и b₁. Проведем в плоскости параллельных прямых  и ₁ прямую, параллельную прямой СС₁. Она пересечет прямые а и а₁ в точках А и А₁.B плоскости прямых b и b₁ проведем пря- 

 

 

мую, параллельную прямой СС₁, и обозначим через В и В₁ точки ее пересечения с прямыми b и b₁. 
Четырехугольники САА₁С₁и СВВ₁С₁ — параллелограммы, так как у них противолежащие стороны параллельны. Четырехугольник АВВ₁ А₁ также параллелограмм. У него стороны АА₁, ВВ₁ параллельны, потому что каждая из них параллельна прямой CC₁. Таким образом, четырехугольник лежит в плоскости, проходящей через параллельные прямые АА₁ и ВВ₁. А она пересекает параллельные плоскости  и ₁ по параллельным прямым АВ и А₁В₁.
Так как у параллелограмма противолежащие стороны равны, то АВ = А₁В₁, AC=А₁C₁, BC = B₁C₁. По третьему признаку равенства треугольников треугольники ABC и А₁В₁C₁ равны. Итак, угол А₁C₁B₁, равный углу АСВ, прямой, т. е. прямые а₁ и b₁ перпендикулярны. Теорема доказана.
Задача (1). Докажите, что через любую точку прямой в пространстве можно провести перпендикулярную ей прямую.
Решение. Пусть a — прямая а А — точка на ней (рис. 351). Возьмем любую точку X вне прямой a и проведем через эту точку и прямую a плоскость  (теорема 15.1). В плоскости  через точку А можно провести прямую b, перпендикулярную прямой a.


  

 А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений 
 
_{Математика скачать, задача школьнику 10 класса, материалы по математике для 10 класса онлайн} 

 

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников
 
Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 
 
Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки



 
Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам. 
Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.

Источник — «http://edufuture.biz/index.php?title=%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D0%B4%D0%B8%D0%BA%D1%83%D0%BB%D1%8F%D1%80%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C_%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%BC%D1%8B%D1%85_%D0%B2_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B5»
@@ Строка 5: / Строка 5: @@
 <br>
 <br>'''&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ&nbsp;&nbsp;&nbsp; ПРЯМЫХ&nbsp;&nbsp;&nbsp; В&nbsp;&nbsp;&nbsp; ПРОСТРАНСТВЕ'''
 '''''<br>Так же как и на плоскости, две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.'''''
 Теорема 17.1. '''''Если две пересекающиеся прямые параллельны соответственно двум перпендикулярным прямым, то они тоже перпендикулярны.'''''<br>
 Доказательство. Пусть а и b — перпендикулярные прямые, а<sub>1</sub><sub></sub> и b<sub>1</sub> — параллельные им пересекающиеся прямые.<br>
 Докажем, что прямые а<sub>1</sub> и b<sub>1</sub>перпендикулярны.<br>
 Если прямые а, b, а<sub>1</sub>, b<sub>1</sub> лежат в одной плоскости, то они обладают указанным в теореме свойством, как это известно из планиметрии.<br>
 Допустим теперь, что наши прямые не лежат в одной плоскости. Тогда прямые а и b лежат в некоторой плоскости [[Image:24-06-52.jpg]], а прямые а<sub>1</sub> и b<sub>1</sub> — в некоторой плоскости [[Image:24-06-52.jpg]]1<sub></sub> (рис. 350). По теореме 16.4 плоскости [[Image:24-06-52.jpg]] и [[Image:24-06-52.jpg]]<sub>1</sub> параллельны.. Пусть С — точка пересечения прямых а и b, а C<sub>1</sub> — точка пересечения прямых
 а<sub>1</sub> и b<sub>1</sub>. Проведем в плоскости параллельных прямых [[Image:24-06-52.jpg]] и [[Image:24-06-52.jpg]]<sub>1</sub> прямую, параллельную прямой СС<sub>1</sub>. Она пересечет прямые а и а<sub>1</sub> в точках А и А<sub>1</sub>.B плоскости прямых b и b<sub>1</sub> проведем пря-
+<br>
+[[Image:30-06-20.jpg]]<br>&nbsp;<br><br>мую, параллельную прямой СС<sub>1</sub>, и обозначим через В и В<sub>1</sub> точки ее пересечения с прямыми b и b<sub>1</sub>.
-[[Image:30-06-20.jpg]]<br>&nbsp;<br><br>мую, параллельную прямой СС<sub>1</sub>, и обозначим через В и В<sub>1</sub> точки ее пересечения с прямыми b и b<sub>1</sub>.
+Четырехугольники САА<sub>1</sub>С<sub>1</sub>и СВВ<sub>1</sub>С<sub>1</sub> — параллелограммы, так как у них противолежащие стороны параллельны. Четырехугольник АВВ<sub>1</sub> А<sub>1</sub> также параллелограмм. У него стороны АА<sub>1</sub>, ВВ<sub>1</sub> параллельны, потому что каждая из них параллельна прямой CC<sub>1</sub>. Таким образом, четырехугольник лежит в плоскости, проходящей через параллельные прямые АА<sub>1</sub> и ВВ<sub>1</sub>. А она пересекает параллельные плоскости [[Image:24-06-52.jpg]] и [[Image:24-06-52.jpg]]<sub>1</sub> по параллельным прямым АВ и А<sub>1</sub>В<sub>1</sub>.
-Четырехугольники САА<sub>1</sub><sub></sub>С<sub>1</sub>и СВВ<sub>1</sub>С<sub>1</sub> — параллелограммы, так как у них противолежащие стороны параллельны. Четырехугольник АВВ| А i также параллелограмм. У него стороны АА\, ВВ] параллельны, потому что каждая из них параллельна прямой CCi. Таким образом, четырехугольник лежит в плоскости, проходящей через параллельные прямые АА] и ВВ\. А она пересекает параллельные плоскости а и а: по параллельным прямым АВ и А\В\.<br>Так как у параллелограмма противолежащие стороны равны, то АВ = А[В,, AC=AiC\, BC = B,Ci. По третьему признаку равенства треугольников треугольники ABC и А]В,С\ равны. Итак, угол А,С\В\, равный углу АСВ, прямой, т. е. прямые О] и Ь] перпендикулярны. Теорема доказана.<br>Задача (1). Докажите, что через любую точку прямой в пространстве можно провести перпендикулярную ей прямую.<br>Решение. Пусть с — прямая а А — точка на ней (рис. 351). Возьмем любую точку X вне прямой с и проведем через эту точку и прямую с плоскость а (теорема 15.1). В плоскости а через точку А можно провести прямую Ь, перпендикулярную прямой с.<br><br><br>&nbsp;
+Так как у параллелограмма противолежащие стороны равны, то АВ = А<sub>1</sub>В<sub>1</sub>, AC=А<sub>1</sub>C<sub>1</sub>, BC = B<sub>1</sub>C<sub>1</sub>. По третьему признаку равенства треугольников треугольники ABC и А<sub>1</sub>В<sub>1</sub>C<sub>1</sub> равны. Итак, угол А<sub>1</sub>C<sub>1</sub>B<sub>1</sub>, равный углу АСВ, прямой, т. е. прямые а<sub>1</sub> и b<sub>1</sub> перпендикулярны. Теорема доказана.
+Задача (1). Докажите, что через любую точку прямой в пространстве можно провести перпендикулярную ей прямую.
+Решение. Пусть a — прямая а А — точка на ней (рис. 351). Возьмем любую точку X вне прямой a и проведем через эту точку и прямую a плоскость [[Image:24-06-52.jpg]] (теорема 15.1). В плоскости [[Image:24-06-52.jpg]] через точку А можно провести прямую b, перпендикулярную прямой a.<br><br><br>&nbsp;
 <br> ''А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений'' <br>

При использовании материалов ресурса
ссылка на edufuture.biz обязательна (для интернет ресурсов - гиперссылка).
edufuture.biz 2008-© Все права защищены.
Сайт edufuture.biz является порталом, в котором не предусмотрены темы политики, наркомании, алкоголизма, курения и других "взрослых" тем.

Разработка - Гипермаркет знаний 2008-

Ждем Ваши замечания и предложения на email:
По вопросам рекламы и спонсорства пишите на email: