Версия 18:49, 26 августа 2015

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>> Логарифмические неравенства

Логарифмические неравенства

На предыдущих уроках мы с вами изучали логарифмические уравнения и теперь знаем, что это такое и как их решать. А сегодняшний урок будет посвящен изучению логарифмических неравенств. Что же это за такие неравенства и в чем разница между решением логарифмического уравнения и неравенства?

Неравенства, которые имеют переменную, которая стоит под знаком логарифма или в его основании, называются логарифмическими неравенствами.

Или же, можно еще сказать, что логарифмическое неравенство – это такое неравенство, в котором его неизвестная величина, так же, как и в логарифмическом уравнении, стоит под знаком логарифма.

Простейшие логарифмические неравенства имеют такой вид:

где f(x) и g(x) являются некоторыми выражениями, которые зависят от x.

Давайте это рассмотрим на таком примере: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.

Решение логарифмических неравенств

Приступая к решению логарифмических неравенств, следует отметить, что они при решении имеют сходство с показательными неравенствами, а именно:

• Во-первых, переходя от логарифмов к выражениям, которые стоят под знаком логарифма, нам также необходимо сравнить основание логарифма с единицей;

• Во-вторых, при решении логарифмического неравенства, используя замену переменных, нам необходимо решать неравенства относительно замены до того момента, пока мы не получим простейшее неравенство.

Но это мы с вами рассмотрели сходные моменты в решении логарифмических неравенств. А теперь давайте обратим внимание на довольно таки существенное отличие. Нам с вами известно, что логарифмическая функция имеет ограниченную область определения, при переходе от логарифмов к выражениям, которые стоят под знаком логарифма, поэтому здесь необходимо учитывать область допустимых значений (ОДЗ).

То есть, следует учитывать, что при решении логарифмического уравнения мы в вами, можем сначала найти корни уравнения, а потом сделать проверку этого решения. А вот при решении логарифмического неравенства так не получится, так как при переходе от логарифмов к выражениям, которые стоят под знаком логарифма, в этом случае нужно записывать ОДЗ неравенства.

Так же, не лишним будет запомнить, что теория неравенств состоит из действительных чисел, которыми являются положительные и отрицательные числа, а также и число 0.

Например, в том случае, когда число «а» является положительным, то необходимо использовать такую запись: a >0. В этом случае, как сумма, так и произведение таких этих чисел также будут положительными.

Основным принципом решения неравенства является его замена на более простое неравенство, но главное, чтобы оно было равносильно данному. Дальше, также мы получили неравенство и снова его заменили на то, которое имеет более простой вид и т.д.

При решении неравенств с переменной необходимо найти все его решения. Если два неравенства имеют одну переменную х, то такие неравенства равносильны, при условии, что их решения совпадают.

Выполняя задания на решение логарифмических неравенств, необходимо запомнить, что если a > 1, то в этом случае логарифмическая функция возрастает, а если 0 < a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

Способы решения логарифмических неравенств

Теперь, давайте рассмотрим некоторые способы, которые имеют место при решении логарифмических неравенств. Для лучшего понимания и усвоения, попробуем в них разобраться на конкретных примерах.

Нам с вами известно, что простейшее логарифмическое неравенство имеет такой вид:

В этом неравенстве V – является одним из таких знаков неравенства, как: <,>, ≤ или ≥.

В том случае, если основание данного логарифма больше единицы (a>1), когда мы будем делать переход от логарифмов к выражениям, которые стоят под знаком логарифма, то в этом варианте знак неравенства сохраняется, и неравенство будет иметь такой вид:

что равносильно такой вот системе:

В случае же, когда основание логарифма больше нуля и меньше единицы (0<a<1), то в момент преображения от логарифмов к выражениям, которые стоят под знаком логарифма, в этом варианте знак неравенства будет изменен на противоположный, и неравенство приобретет такой вид:

Это равносильно данной системе:

Посмотрим еще примеры решения простейших логарифмических неравенств, которые изображены на картинке внизу:

Решение примеров

Задание. Давайте попробуем решить такое вот неравенство:

Решение области допустимых значений.

Теперь попробуем умножить его правую часть на:

Смотрим, что у нас получится:

Далее, следуя свойствам логарифмов, возьмем и внесем коэффициент –2, как степень подлогарифмического выражения и в итоге получим:

Теперь, давайте с вами перейдем к преобразованию подлогарифмических выражений. В связи с тем, что основание логарифма 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x - 8 > 16;
3x > 24;
х > 8.

А из этого следует, что интервал, который мы получили, целиком и полностью принадлежит ОДЗ и является решением такого неравенства.

Вот какой ответ у нас получился:

Что необходимо для решения логарифмических неравенств?

А теперь давайте попробуем проанализировать, что нам необходимо для успешного решения логарифмических неравенств?

• Во-первых, сосредоточить все свое внимание и постараться не допускать ошибок при выполнении преобразований, которые даны в этом неравенстве. Также, следует запомнить, что при решении таких неравенств нужно не допускать расширений и сужений ОДЗ неравенства, которые могут привести к потере или приобретению посторонних решений.

• Во-вторых, при решении логарифмических неравенств необходимо научиться мыслить логически и понимать разницу между такими понятиями, как система неравенств и совокупность неравенств, чтобы вы без проблем смогли осуществлять отбор решений неравенства, при этом руководствуясь его ОДЗ.

• В-третьих, для успешного решения таких неравенств каждый из вас должен отлично знать все свойства элементарных функций и четко понимать их смысл. К таким функциям относятся не только логарифмические, но и рациональные, степенные, тригонометрические и т.д., одним словом, все те, которые вы изучали на протяжении школьного обучения алгебры.

Как видите, изучив тему о логарифмических неравенствах, в решении этих неравенств нет ничего сложного при условии, если вы будете внимательны и настойчивы в достижении поставленных целей. Чтобы в решении неравенств не возникало никаких проблем, нужно как можно больше тренироваться, решая различные задания и при этом запоминать основные способы решения таких неравенств и их систем. При неудачных решениях логарифмических неравенств, следует внимательно проанализировать свои ошибки, чтобы в будущем не возвращаться к ним снова.

Домашнее задание

Для лучшего усвоения темы и закрепления пройденного материала, решите следующие неравенства: