Версия 19:22, 5 августа 2012

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>> Тригонометрические уравнения

§ 20. Тригонометрические уравнения

1. Простейшие тригонометрические уравнения

Тригонометрическими уравнениями обычно называют уравнения, в которых переменная содержится под знаками тригонометрических функций. К их числу прежде всего относятся простейшие тригонометрические уравнения, т.е. уравнения вида a — действительное число. К настоящему моменту мы знаем, что:
1)    если | а | < 1, то решения уравнения соз о:-а имеют вид:

   
Во всех перечисленных формулах подразумевается, что параметр (n, к и т.д.) принимает любые целочисленные значения
К простейшим относят обычно и уравнения вида Т(кх + m)=а, где Т — знак какой-либо тригонометрической функции.
Пример 1. Решить уравнения:

Решение: а) Введем новую переменную
Возвращаясь к переменной х, получаем: Осталось обе части этого равенства разделить почленно на 2; получим:

Заметим, что при наличии некоторого опыта можно не вводить промежуточную переменную t = 2х, а сразу переходить от уравнения
Именно так мы и будем действовать в дальнейшем.
б) Мы знаем, что решения уравнения соs t = а имеют вид: Для нашего примера это означает, что

Пример 2. Найти те корни уравнения которые принадлежат отрезку[0, п].
Решение. Сначала решим уравнение в общем виде: (см. пример 1а). Далее придадим параметру п последовательно значения 0,1, 2,..., -1, -2,... и подставим эти значения в общую формулу корней.

Это число не принадлежит заданному отрезку [0, п]. Тем более не будут принадлежать заданному отрезку те значения х, которые получаются из общей формулы при n = -2, -3,...
На рис. 94 представлена геометрическая интерпретация проведенных рассуждений.

Итак, заданному отрезку [0, п] принадлежат те корни уравнения, которые получаются из общей формулы при следующих значениях параметра n: n = 0, n = 1. Эти корни таковы
Ответ:

Пример 3. Найти те корни уравнения которые принадлежат отрезку
Решение: Сначала решим уравнение в общем виде: (см. пример 16). Далее придадим параметру п последовательно значения 0,1, 2,..., -1, -2,... и подставим эти значения в общую формулу корней.

поскольку оба они больше числа л. Тем более не будут принадлежать заданному отрезку те значения х, которые получаются из общей формулы при п = 3,4,...

Не будут принадлежать заданному отрезку те значения х, которые получаются из общей формулы при п = -2, - 3,...
На рис. 95 представлена геометрическая интерпретация проведенных рассуждений.

Итак, заданному отрезку принадлежат следующие корни уравнения

2. Два основных метода решения тригонометрических уравнений

Для решения тригонометрических уравнений чаще всего используются два метода: введения новой переменной и разложения на множители.

Вернемся к материалу § 16. Там в примере 3 мы решили тригонометрическое уравнение Как мы это сделали? Ввели новую переменную z = sin t, переписали уравнение в виде
В результате мы получили два простых уравнения: Первое уравнение не имеет решений, а для второго нашли две серии решений:

  и установили (см. § 18), что эти две серии можно объединить одной формулой
В том же § 16 в примере 4 мы решили тригонометрическое уравнение

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Поскольку есть смысл ввести новую переменную   Это позволит переписать уравнение в более простом виде:
Имеем:

Возвращаясь к переменной х получаем два уравнения:

Теперь поговорим о втором методе решения тригонометрических уравнений — методе разложения на множители. Смысл этого метода вам знаком: если уравнение f(х) =0 возможно преобразовать к виду

то задача сводится к решению двух уравнений (обычно говорят — к решению совокупности уравнений):

Пример 5. Решить уравнение   
Решение. Задача сводится к решению совокупности уравнений:

Из этих уравнений находим соответственно:

Пример 6. Решить уравнение .

Решение. Имеем Значит, приходим к совокупности уравнений:

Замечание. Учтите, что переход от уравнения к совокупности уравнений: не всегда безопасен. Рассмотрим, например, уравнение Из уравнения tg x = 0 находим
х = пn; из уравнения sin x = 1 находим Но включить обе серии решений в ответ нельзя. Дело в том, что при значениях входящий в заданное уравнение множитель tg х не имеет смысла, т.е. значения
не принадлежат области определения уравнения (области допустимых значений уравнения — ОДЗ), это — посторонние корни.

3. Однородные тригонометрические уравнения

Здесь мы познакомимся с довольно часто встречающимися на практике тригонометрическими уравнениями специального вида.

Определение. Уравнение вида: называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени; уравнение вида: называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени.
Сначала поговорим о решении однородных тригонометрических уравнений первой степени, причем рассмотрим только самый общий случай, когда оба коэффициента а и Ъ отличны от нуля, так как, если а =0, уравнение принимает вид такое уравнение отдельного обсуждения не заслуживает; аналогично при Ь=0 получаем sin х =0, что тоже не требует отдельного обсуждения.
Итак, дано уравнение Разделив обе части уравнения почленно на соs x, получим:

В итоге приходим к простейшему тригонометрическому уравнению

Внимание! Вообще-то делить обе части уравнения на одно и то же выражение можно только в том случае, когда мы уверены, что это выражение нигде не обращается в нуль (на 0 делить нельзя). Уверены ли мы, что в нашем уравнении соз х отличен от нуля? Давайте проанализируем. Предположим, что соз х =0. Тогда однородное уравнение а sin х+Ь соз х=0 примет вида зтдг=0, т.е. зщх=0 (вы ведь не забыли, что коэффициент а отличен от нуля). Получается, что и соз х=0, и зш л: =0, а это невозможно, так как зтх и соззс обращаются в нуль в различных точках. Итак, в однородном тригонометрическом уравнении первой степени деление обеих частей уравнения насозх— вполне благополучная операция.
Уравнения вида а зт тх+Ь соз тх=0 тоже называют однородными тригонометрическими уравнениями первой степени. Для их решения обе части уравнения делят почленно на соз тх.
Пример 7. Решить уравнение 2 sin х-3соз х=0.
Решение. Разделив обе части уравнения почленно на соз х, получим:

Пример 8. Решить уравнение 2x + соs2x =0.
Решение. Разделив обе части уравнения почленно на соs 2 x, получим:

Рассмотрим теперь однородное тригонометрическое уравнение второй степени:

Если коэффициент а отличен от нуля, т.е. в уравнении содержится член sin 2 х с каким-то коэффициентом, отличным от нуля, то, рассуждая как и выше, нетрудно убедиться в том, что при интересующих нас значениях переменной сое хне обращается в нуль, а потому можно обе части уравнения разделить почленно на соs 2 х. Что это даст? Смотрите:

Это — квадратное уравнение относительно новой переменной z = tg х.
Пусть теперь в однородном тригонометрическом уравнении

коэффициент а равен 0, т.е. отсутствует член sin² х. Тогда уравнение принимает вид:

Это уравнение можно решить методом разложения на множители:

Получились два уравнения, которые мы с вами решать умеем. Аналогично обстоит дело и в случае, когда с =0, т.е. когда однородное уравнение имеет вид Файл:Alga391.jpg  (здесь можно вынести за скобки sin х).
Фактически мы выработали

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

_{Видеопо математике скачать, домашнее задание, учителям и школьникам на помощь онлайн}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.