Версия 18:35, 28 марта 2011

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс. Полные уроки>>Геометрия: Параллелограмм. Полные уроки

ТЕМА УРОКА: Параллелограмм.

Цели урока:

• Образовательные – повторение, обобщение и проверка знаний по теме: “ Медиана равнобедренного треугольника ”; выработка основных навыков.
• Развивающие – развить внимание учащихся, усидчивость, настойчивость, логическое мышление, математическую речь.
• Воспитательные - посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.

Задачи урока:

• Формировать навыки в построении медианы равнобедренного треугольника с помощью масштабной линейки, транспортира и чертежного треугольника.
• Проверить умение учащихся решать задачи.

План урока:

1. Введение.
2. Частные виды параллелограмма.
3. Теоретическая часть.
4. Практическая часть.
5. Дополнительный материал.

Введение.

Для начала я решил узнать, откуда  появилось определение параллелограмма. Оказывается термин «параллелограмм» греческого происхождения и, согласно древнегреческому философу Проклу, был введен Евклидом. Понятие параллелограмма и некоторые его свойства были известны еще пифагорейцам.

В «Началах» Евклида доказывается следующая теорема: в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны, а диагональ разделяет его пополам. Евклид не упоминает о том, что точка пересечения диагоналей параллелограмма делит их пополам. Он не рассматривает ни прямоугольника, ни ромба.

Полная теория параллелограммов была разработана к концу средних веков и появились в учебниках лишь в XVII веке. Все теоремы о параллелограммах основываются непосредственно или косвенно на теореме Евклида о свойствах  параллелограмма.

Само же понятие параллелограмм от греч. Parallelos — параллельный и gramme — линия. Поэтому слово «параллелограмм» можно перевести как «параллельные линии».

Частные виды параллелограмма.

Известны некоторые виды параллелограмма:                                                                

1. Прямоугольник.
2. Ромб.
3. Квадрат.

Прямоугольник - параллелограмм, все углы которого прямые. Прямоугольник имеет все свойства параллелограмма, но так же  имеет свое собственное: Диагонали прямоугольника равны.
Прямоугольник

Ромб - параллелограмм, все стороны которого равны. Ромб обладает очень важным индивидуальным свойством: Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.
Ромб
Слово «ромб» тоже греческого происхождения, оно означало в древности вращающееся тело, веретено, юлу. Ромб связывали первоначально с сечением, проведенным в обмотанном веретене.

Квадрат - равносторонний прямоугольник (или параллелограмм, у которого все углы прямые, стороны равны между собой; или ромб, у которого все углы прямые). Так как квадрат является и ромбом, и прямоугольником, и  параллелограммом он имеет все свойства вышеперечисленных фигур.
Квадрат
Термин «квадрата» происходит от латинского quadratum (quadrare - сделать четырехугольным), перевод с греческого “тетрагонон” - четырехугольник.

Теоретическая часть.

Определения:

Файл:O.gif Параллелограмм (от греч. parallelos — параллельный и gramme — линия) — это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, т. е. лежат на параллельных прямых. Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.

Файл:O.gif Параллелограмм — четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
Файл:O.gif Параллелограмм — всякий четырехугольник, противоположные стороны которого попарно равны и параллельны; преимуществ. так назыв. удлиненный четырехугольник, с двумя острыми и двумя тупыми углами; прочие же виды параллелогр. имеют свои особ. названия (ромб, квадрат, прямоугольник).

Файл:O.gif Параллелограмм, четырехугольник (четырехсторонняя плоская фигура), у которого каждая пара противоположных сторон параллельна. У параллелограмма противоположные стороны и противоположные углы равны. Площадь параллелограмма равна произведению одной стороны на длину перпендикуляра, опущенного на нее с противоположной стороны. Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом.
Файл:O.gif Параллелограмм - четырехугольник, каждая пара противоположных сторон которого параллельны и равны между собой.

Все эти определения верны и по своему дополняют друг друга.

Свойства параллелограмма:

Файл:28032011 3.gif

Файл:T.gif Теорема. Противоположные стороны параллелограма равны.
Доказательство. В параллелограмме АВСD проведем диагональ АС. Треугольники АСD и АСВ равны, как имеющие общую сторону АС и две пары равных углов. прилежащих к ней: ∠САВ=∠АСD, ∠АСВ=∠DAC (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и ВС). Значит, АВ=CD и ВС=AD, как соответственные стороны равных треугольников, ч.т.д. Из равенства этих треугольников также следует равенство соответственных углов треугольников.

Файл:T.gif Теорема. Противоположные углы параллелограмма равны: ∠А=∠С и ∠В=∠D.
Равенство первой пары идет из равенства треугольников АВD и CBD, а второй - АВС и ACD.

Файл:T.gif Теорема. Соседние углы параллелограмма, т.е. углы, прилежащие к одной стороне, составляют в сумме 180 градусов.
Это так, потому что они являются внутренними односторонними углами.

Файл:T.gif Теорема. Диагонали параллелограмма делят друг друга в точке их пересечения пополам.
Доказательство. Рассмотрим треугольники ВОС и АОD. По первому свойству AD=ВС ∠ОАD=∠ОСВ и ∠ОDА=∠ОВС как накрест лежащие при параллельных прямых AD и ВС. Поэтому треугольники ВОС и АОD равны по стороне и прилежащим к ней углам. Значит, ВО=ОD и АО=ОС, как соответственные стороны равных треугольников, ч.т.д.

Признаки параллелограмма:

• Если противоположные стороны четырехугольника попарно параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
• Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
• Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
• Если в четырехугольнике диагонали, пересекаясь, точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.
• Середины сторон произвольного (в том числе невыпуклого или пространственного) четырехугольника KLMN являются вершинами параллелограмма Вариньона.

• Стороны этого параллелограмма параллельны соответствующим диагоналям четырехугольника ABCD. Периметр параллелограмма Вариньона равен сумме длин диагоналей исходного четырехугольника, а площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади исходного четырехугольника.

Файл:28032011 4.gif

Файл:T.gif Теорема. Если четырехугольник имеет пару равных, параллельных между собой сторон, то он является параллелограммом.
Пусть в четырехугольнике АВСD стороны АВ и CD параллельны и равны. Проведем диагонали АС и ВD. Из параллельности этих прямых следует равенство накрест лежащих углов АВО=СDО и ВАО=ОСD. Треугольники АВО и CDО равны по стороне и прилежащим к ней углам. Поэтому АО=ОС, ВО=ОD, т.е. диагонали точкой пересечения делятся пополам и четырехугольник оказывается параллелограммом.
В геометрии рассматривают частные случаи параллелограмма: прямоугольник, ромб, квадрат.

Файл:T.gif Теорема. Если противоположные углы четырехугольника попарно равны, то он является параллелограммом.
Пусть ∠А=∠С и ∠В=∠D. Т.к. ∠А+∠В+∠С+∠D=360^о, то ∠А+∠В=180^о и стороны AD и ВС параллельны (по признаку параллельности прямых). Также докажем и параллельность сторон АВ и CD и заключим, что АВСD является параллелограммом по определению.

Файл:T.gif Теорема. Если соседние углы четырехугольника, т.е. углы, прилежащие к одной стороне, составляют в сумме 180 градусов, то он является параллелограммом.
Если внутренние односторонные углы в сумме составляют 180 градусов, то прямые праллельны. Значит АВ парал CD и ВС парал AD. Четырехугольник оказывается параллелограммом по определению.

Файл:T.gif Теорема. Если противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то он является параллелограммом.
Доказательство. Пусть у четырехугольника АВСD стороны AD и ВС, АВ и CD соответственно равны (рис). Проведем диагональ АС. Треугольникик АВС и ACD равны по трем сторонам. Тогда углы ВАС и DСА равны и, следовательно, АВ параллельна CD. Параллельность сторон ВС и AD следует из равенства углов CAD и АСВ.

Файл:T.gif Теорема. Если диагонали четырехугольника взаимно делятся в точке пересечения пополам, то четырехугольник - параллелограмм.
Доказательство. Если АО=ОС, ВО=ОD, то треугольники АOD и ВОС равны, как имеющие равны углы (вертикальные) при вершине О, заключенные между парами равных сторон. Из равенства треугольников заключаем, что AD и ВС равны. Также равны стороны АВ и CD, и четырехугольник оказывается параллелограммом.

Практическая часть.

Задача №1.

Высоты параллелограмма равны 5см и 4см, а периметр равен 42см. Найдите площадь параллелограмма.

Решение.

Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, опущенную на эту сторону.  Обозначим стороны параллелограмма как a и b.
Следовательно площадь и периметр будут равны:

S = 4a
S = 5b

(должен уточнить что в обеех случаях площадь параллелограмма будет одинаковой не смотря на разность высот, компинсация за счет длин сторон параллелограма)

P = 2a + 2b

Откуда 4a = 5b
a = 5/4b

Поскольку периметр параллелограмма равен 42 см, то
2( 5/4b ) + 2b = 42
b = 9,333

Откуда a = 11,666

Теперь находим площадь параллелограмма:
S = 4 * 11,666 = 5 * 9,333 = 46,66 см² .

Ответ: 46,66 см² .

Задача №2.

Периметр параллелограмма равен 16 см. Чему равны стороны параллелограмма, если известно, что одна его сторона в 3 раза больше другой.

Решение.

У параллелограмма противоположные стороны равны, обозначим их как а и b, тогда периметр будет равен: Р = 2(а+b).
Пусть х - это сторона а, тогда

b=3х.
2(х+3х)=16
2*4х=16
х=2

значит сторона а=2, а сторона b=6.

Ответ: 2 и 6.

Дополнительный материал.

Зачастую учебники републикуют исправляя орфографические ошибки, изменяя аргументы в задачах, часто меняют нумерацию задач, ну и изредка автор дописывает пару слов от себя. Я же предлагаю в качестве дополнительного материала познакомится с некоторыми свойствами какие не так часто можно встретить в "классической" литературе по геометрии. Они не сложны для понимание, выплывают с известных Вам уже определений, свойств и теорем.

В учебнике по геометрии даны только 2 свойства параллелограмма:

• Противоположные углы и стороны равны
• Диагонали параллелограмма пересекаются и  точкой пересечения делятся пополам

Я предлагаю 10 дополнительных свойств:

• Сумма соседних углов параллелограмма равна 180◦

∠1=∠2; ∠3=∠4; ∠1+∠3=∠2+∠4=∠А=∠С;

• Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник;

• Биссектрисы противоположных углов параллелограмма лежат на параллельных прямых;

• Биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются под прямым углом;

∠5=90^о

• Биссектрисы всех углов параллелограмма при пересечении образуют прямоугольник;

• Расстояния от противоположных углов параллелограмма до одной и той  же его диагонали равны.

• Если соединить середины сторон прямоугольника, то получится ромб;

• Если в параллелограмме соединить противоположные  вершины с серединами противоположных сторон, то получится еще один параллелограмм.

• Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его смежных сторон.

• Если в параллелограмме из двух противоположных углов провести высоты, то получится прямоугольник.
  

Интересный факт:

О ходе шахматного коня.

Старинная задача о ходе шахматного коня:

Требуется обойти конем все 64 клетки шахматной доски так, чтобы на каждой клетке конь был только один раз и затем возвратился бы в клетку, из которой вышел.

Задачей этой занимался Эйлер и в письме к Гольдбаху (26 апреля 1757 года) дал одно из решений ее. Вот что, между прочим, пишет он в этом интересном письме:

«... Воспоминание о предложенной когда-то мне задаче послужило для меня недавно поводом к некоторым тонким изысканиям, в которых обыкновенный анализ, как кажется, не имеет никакого применения. Вопрос состоит в следующем. Требуется обойти шахматным конем все 64 клетки шахматной доски так, чтобы на каждой клетке он побывал только один раз. С этой целью все места, которые занимал конь при своих последовательных ходах, закрывались марками. Но к этому присоединилось еще требование, чтобы начало хода делалось с данного места. Это последнее условие казалось мне очень затрудняющим вопрос, так как я скоро нашел некоторые пути, при которых, однако, выбор начала для меня свободен. Я утверждаю, однако, что если полный обход коня будет возвратный, т. е. если конь из последнего места опять может перейти на первое, то устраняется и это затруднение. После некоторых изысканий по этому поводу я нашел, наконец, ясный способ находить сколько угодно подобных решений (число их, однако, не бесконечно), не делая проб. Подобное решение представлено на рисунке (рис. 1).

Рис. 1. Решение задачи о ходе шахматного коня, данное Эйлером.

Конь ходит в порядке, указанном числами. Так как из последнего места 64 он может перейти на 1, то этот полный ход есть возвратный».

Таково решение задачи о ходе шахматного коня, данное Эйлером.

В письме не указаны ни приемы, ни путь, которыми знаменитый ученый пришел к своему открытию.

Вопросы:

1. Сформулируйте определение параллелограмма?
2. Сколько признаков параллелограмма?
   
3. Может ли ромб быть параллелограмом?
4. Квадрат это параллелограм или нет, ответ докажите?

Список использованных источников:

1. Атанасян Л.С. «Геометрия 7-9 кл» «Просвещение» 2005г
2. «Большая Энциклопедия Кирилла и Мефодия» Электронная энциклопедия 2007г
3. «Новейший справочник школьника» «ДОМ XXI век» 2008г

Над уроком работали:

Переутка М.О.

Потурнак С.А.

Поставить вопрос о современном образовании, выразить идею или решить назревшую проблему Вы можете на Образовательном форуме, где на международном уровне собирается образовательный совет свежей мысли и действия. Создав блог, Вы не только повысите свой статус, как компетентного преподавателя, а и сделаете весомый вклад в развитие школы будущего. Гильдия Лидеров Образования открывает двери для специалистов  высшего ранга и приглашает к сотрудничеству в направлении создания лучших в мире школ.