Расширение кругозора, возбуждение интереса к геометрии, к истории математики.
Развитие и закрепление теоретических и практических навыков.
Задачи урока:
Разработать рекомендации при решении задач на построение с помощью циркуля и линейки
Провести условное разбиение задач на классы, определяемые методами решения.
Формировать навыки в построении масштабной линейки, транспортира и чертежного треугольника.
Проверить умение учащихся решать задачи.
План урока:
Обозначения, краткий обзор буквенных переменных для исключения ошибок разного типа.
Раскрытие главное темы урока, определения высоты, медианы, биссектрисы.
Пошаговое построение, инструкции для корректного выполнения построения.
Задание для самостоятельной проверки.
Приборы и материалы:
Линейка.
Циркуль.
Карандаш.
Альбомный лист.
Ведение.
Геометрические задачи на построение, возможно, самые древние математические задачи. Кому-то они сейчас могут показаться не очень интересными и нужными, какими-то надуманными. И в самом деле, где и зачем может понадобиться умение с помощью циркуля и линейки построить правильный семнадцатиугольник или треугольник по трем высотам, или даже просто сделать построение параллельной прямой. Современные технические устройства сделают все эти построения и быстрее, и точнее, чем любой человек, а заодно смогут выполнить и такие построения, которые просто невозможно выполнить при помощи циркуля и линейки.
И все же без задач на построение геометрия перестала бы быть геометрией. Геометрические построения являются весьма существенным элементом изучения геометрии.
В чем же особенность этих задач? Задачи на построение не просты. Не существует единого алгоритма для решения всех таких задач. Каждая из них по-своему уникальна, и каждая требует индивидуального подхода для решения. Именно поэтому научиться решать задачи на построение чрезвычайно трудно, а, порой, практически невозможно. Но эти задачи дают уникальный материал для индивидуального творческого поиска путей решения с помощью своей интуиции и подсознания.
Любая ли задача решается с помощью циркуля и линейки? Еще в древности греческие математики встретились с тремя задачами на построение, которые не поддавались решению.
1. Задача об удвоении объема куба.
Требуется построить ребро куба, который по объему был бы в два раза больше объема данного куба.
2. Задача о трисекции угла.
Требуется произвольный угол разделить на три равные части.
3. Задача о квадратуре круга.
Требуется построить квадрат, площадь которого равнялась бы площади данного круга.
Возникновение этих задач связано с целым рядом легенд. Любопытна легенда, связанная с первой задачей.
Царь Минос велел воздвигнуть памятник сыну Главку. Архитекторы придали памятнику форму куба, ребро которого равнялось 100 локтям. Но Минос нашел этот памятник слишком малым и приказал удвоить объем.
Чувствуя свое бессилие в решении поставленной задачи, архитекторы обратились за помощью к ученым-геометрам, но и те не смогли им помочь. Циркулем и линейкой решить задачу нельзя.
Исторический факт.
В 1904 году американский математик Ф.Морли доказал, что если у каждой вершины провести две трисектрисы, то точки пересечения смежных трисектрис углов являются вершинами равностороннего треугольника.
В задачах на построение рассматриваются множество всех точек плоскости, множество всех прямых плоскости и множество всех окружностей плоскости, над которыми допускаются следующие операции:
1. Выделить точку из множества всех точек:
произвольную точку
произвольную точку на заданной прямой
произвольную точку на заданной окружности
точку пересечения двух заданных прямых
точки пересечения/касания заданной прямой и заданной окружности
точки пересечения/касания двух заданных окружностей
2. «С помощью линейки» выделить прямую из множества всех прямых:
произвольную прямую
произвольную прямую, проходящую через заданную точку
прямую, проходящую через две заданных точки
3. «С помощью циркуля» выделить окружность из множества всех окружностей:
произвольную окружность
произвольную окружность с центром в заданной точке
произвольную окружность с радиусом, равным расстоянию между двумя заданными точками
окружность с центром в заданной точке и с радиусом, равным расстоянию между двумя заданными точками
Решение задачи на построение содержит в себе три существенные части:
Описание способа построения заданного множества.
Доказательство того, что множество, построенное описанным способом, действительно находится в заданном соотношении с исходным множеством. Обычно доказательство построения производится как обычное доказательство теоремы, опирающееся на аксиомы и другие доказанные теоремы.
Анализ описанного способа построения на предмет его применимости к разным вариантам начальных условий, а также на предмет единственности или неединственности решения, получаемого описанным способом.
Пример.
Задача на бисекцию.
С помощью циркуля и линейки разбить данный отрезок AB на две равные части. Одно из решений показано на рисунке:
Циркулем проводим окружности с центром в точках A и B радиусом AB.
Находим точки пересечения P и Q двух построенных окружностей (дуг).
По линейке проводим отрезок или линию, проходящую через точки P и Q.
Находим искомую середину отрезка AB - точку пересечения AB и PQ.
Решение задачи на построение.
Суть решения задачи на построение состоит в том, что требуется построить наперед указанными инструментами некоторую фигуру, если дана некоторая фигура и указаны некоторые соотношения между элементами искомой фигуры и элементами данной фигуры. Каждая фигура, удовлетворяющая условиям задачи, называется решением этой задачи. Найти решение задачи на построение – значит свести ее к конечному числу основных построений, то есть указать конечную последовательность основных построений, после выполнения которых, искомая фигура будет уже считаться построенной в силу принятых аксиом конструктивной геометрии.
Еще в IV в. до н. э. древнегреческие геометры разработали общую схему решения задач на построение, которой мы пользуемся и теперь. Процесс решения задачи разбивают на 4 этапа: анализ, построение, доказательство и исследование. Рассмотрим каждый этап более подробно.
Первый этап – анализ.
Это важный этап решения задачи, который мы понимаем как поиск способа решения задачи на построение. На этом этапе должны быть подмечены такие зависимости между данными фигурами и искомой фигурой, которые позволили бы в дальнейшем построить эту искомую фигуру.
Второй этап – построение – состоит из двух частей:
перечисление в определенном порядке всех элементарных построений, которые нужно выполнить, согласно анализу, для решения задачи;
непосредственное выполнение этих построений на чертеже при помощи чертежных инструментов.
Третий этап – доказательство.
После того как фигура построена, необходимо установить, удовлетворяет ли она условиям задачи, то есть показать, что фигура, полученная из данных элементов определенным построением, удовлетворяет всем условиям задачи. Значит, доказательство существенно зависит от способа построения.
Четвертый этап – исследование.
При построении обычно ограничиваются отысканием одного какого-либо решения, причем предполагается, что все шаги построения действительно выполнимы.
Для полного решения задачи нужно еще выяснить следующие вопросы:
всегда ли (то есть при любом ли выборе данных) можно выполнить построение избранным способом;
можно ли и как построить искомую фигуру, если избранный способ нельзя применить;
сколько решений имеет задача при каждом возможном выборе данных? Рассмотрение всех этих вопросов и составляет содержание исследования.
Основным методам решения задач на построение:
1. Метод геометрических мест.
2. Методы геометрических преобразований:
Метод параллельного переноса
Метод поворота
Метод подобия
3. Алгебраический метод.
Каждому методу сопоставляется определенный класс задач. Однако провести классификацию задач на построение по методам их решения нельзя. Это следует уже из того, что многие задачи допускают несколько методов решения. Поэтому можно говорить лишь об условном разбиении задач на построение на классы, определяемые их методами решения.
Задачи на построение.
Задача №1.
Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними.
Постройте остроугольный треугольник АВС по сумме углов В и А, высоте ВD и стороне АС.
Решение: Дан угол, представляющий сумму углов А и В, отрезок АС и отрезок ВD. Требуется построить такой треугольник АВС, в котором угол С1= 1800 - (угол А1+ угол В1), высота B1D1 равна отрезку ВD,сторона А1С1 равна отрезку АС.
Допустим, что такой треугольник построен. Нам известна сумма углов А и В => мы можем найти угол С1. Затем построим ∆СВD по катету и противолежащему углу. А потом достроим ∆АВС.
Построение.
Построить прямую а.
Построить перпендикуляр (прямая b) к прямой а.
Отложить отрезок В1D1, равный ВD.
Построить отдельно угол С1= 1800 - ( угол А1+ угол В1).
Построить угол В1=900 - угол С1.
С1- точка пересечения.
На прямой b провести окружность R=АС и с центром С1.
Возникновение магических квадратов относится к глубокой древности. Наиболее ранние сведения о них содержатся, по-видимому, в китайских книгах, написанных в IV — V вв. до н. э. Из дошедших до нас древних магических квадратов самым «старым» является таблица Ло-шу (2200 до н. э.).
Определение. Магические квадраты — квадратные (т.е. с одинаковым количеством столбцов и строк) таблицы натуральных чисел, имеющие одинаковые суммы чисел по всем строкам, столбцам и двум диагоналям. Магические квадраты свое название магических или волшебных получили от арабов, которые усматривали в подобных сочетаниях чисел нечто чудесное, мистическое и смотрели на них как на талисманы.
Таблица Ло-шу состоит из 9 клеток: 3 строк и 3 столбцов, заполненных натуральными числами от 1 до 9. В этом магическом квадрате суммы чисел по всем строкам, столбцам и двум диагоналям равны одному и тому же числу 15.
Следующие по времени сведения о магических квадратах дошли до нас из Индии и Византии.
В Европе изображение магических квадратов впервые встречается на гравюре «Меланхолия» немецкого художника Альбрехта Дюрера (1514). Этот магический квадрат состоит из 16 клеток: 4 строк и 4 столбцов, заполненных натуральными числами от 1 до 16. В нем сумма чисел по каждой строке, каждому столбцу и двум диагоналям равна 34. Средние числа в нижней строке (15 и 14) означают дату 1514 — год издания этой гравюры А. Дюрера.
Вопросы:
Что такое задачи на построение?
Какие виды этих задач бывают?
С помощю каких чертежных приспособлений их можно решить?
Список использованных источников:
Математика • Физика • Справочник.
Урок на тему: "Задачи на построение". Автор: учитель математики высшей квалификационной категории Шарова С. Г.
Элементарная геометрия. В 2 тт.. — М.: МЦНМО, 2004.
