Версия 15:46, 5 января 2011

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 7 класс. Полные уроки>>Геометрия: Параллельность прямых. Полные уроки

ТЕМА УРОКА: Параллельность прямых.

Цели урока:

• Закрепить у учащихся знания и умения применять аксиомы стереометрии, следствия из аксиом, теоремы о параллельных прямых, прямой и плоскости, развивать внимание  и память, умение анализировать, сравнивать и обобщать;
• Прививать интерес к геометрии.

План урока:

1. Параллельные прямые. Расстояние между параллельными прямыми.
2. Углы с соответственно параллельными сторонами.
3. Соответственные углы.
4. Внутренние и внешние накрест лежащие углы.
5. Внутренние и внешние односторонние углы.
6. Углы с соответственно перпендикулярными сторонами.
7. Пропорциональные отрезки. Теорема Фалеса.

Содержание:

Определение 1. Параллельные прямое

Определение 2. Перпендикулярные прямые

Теорема 1. I свойство параллельных прямых

Теорема 2. II свойство параллельных прямых

Теорема 3. III свойство параллельных прямых

Теорема 4. IV свойство параллельных прямых

Теорема 5. V свойство параллельных прямых

Параллельные прямые.

В теме "Параллельность прямых" даются знания о параллельности прямых и плоскостей в пространстве. В данном материале обобщаются известные из планиметрии сведения о параллельности прямых. На примере теоремы о существовании и единственности прямой, параллельной данной, Вы получаете представление о необходимости заново доказать известные из планиметрии факты в тех случаях, когда речь идет о точках и прямых пространства, а не о конкретной плоскости.

Изучение темы "Параллельные прямые" в школьном курсе математики.

Первый раз учащиеся сталкиваются с параллельными прямыми в шестом классе. Их изучение здесь носит ознакомительный, пропедевтический характер. Второй раз встреча с параллельными прямыми происходит уже в 7 классе, где изучение их проводится теперь на дедуктивной основе и более подробно. В школьном курсе геометрии-7 кл. существование в плоскости непересекающихся прямых показывается прежде введения определения пр. прямых. В дальнейшем для таких прямых формулируется определение, доказываются их признаки,, вводится аксиома Евклида и свойства.

В евклидовой геометрии.

Параллельными (иногда — равнобежными) прямыми называются прямые, которые лежат в одной плоскости и либо совпадают, либо не пересекаются. (В некоторых школьных определениях совпадающие прямые не считаются параллельными, здесь такое определение не рассматривается).
В свою очередь, существование непересекающихся в плоскости прямых является фактом абсолютной геометрии, т.е. может быть доказан и без использования аксиомы Евклида, и без использования аксиомы Лобачевского. А именно, верно следующее утверждение: Если две прямые (в плоскости) перпендикулярны третьей, то они не пересекаются. В планиметрии Евклида любые непересекающиеся прямые — параллельны, в планиметрии Лобачевского это не так.

Через любую точку можно провести ровно одну прямую, параллельную данной. Это отличительное свойство евклидовой геометрии, в других геометриях число 1 заменено другими (в геометрии Лобачевского таких прямых минимум две).

Используя аксиоматику Вейля и векторный подход для построения Евклидовой геометрии, параллельность прямых можно определить так: Две прямые называются параллельными, если направляющие их векторы коллинеарны.

Основные теоремы о параллельных прямых

• Параллельность — бинарное отношение эквивалентности, поэтому разбивает всё множество прямых на классы параллельных между собой прямых.
  
• Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.
  
• Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых и лежит с ними в одной плоскости (такая прямая называется секущей), то

         1) она пересекает и другую прямую.
         2) при пересечении образуется 8 углов, некоторые характерные пары которых имеют особые названия и свойства:
               1. Накрест лежащие углы равны.
               2. Соответственные углы равны.
               3. Односторонние углы в сумме составляют 180°.
               4. Смежные углы в сумме составляют 180°, а вертикальные — равны.

В геометрии Лобачевского.

В геометрии Лобачевского в плоскости через точку "С" вне данной прямой "а" проходит бесконечное множество прямых, не пересекающих "а". Из них параллельными к "а" называются только две. Прямые "b" и "c" называются параллельными прямой "a", если:

1. "b" и "c" не пересекают прямой "a".
2. любая прямая, лежащая в одной паре вертикальных углов с вершиной A и образованных "b" и "c" пересекает "a".
3. любая прямая, лежащая в другой паре вертикальных углов с вершиной и образованных "b" и "c" не пересекает "a". В последнем случае говорят, что прямые являются расходящимися (или ультрапараллельными).
   

В геометрии Лобачевского кроме понятия параллельных прямых, существует и понятие направленной параллельности:

Прямая CE называется параллельной (равнобежной) прямой AB в направлении от A к B, если:

1. точки B и E лежат по одну сторону от прямой AC;
2. прямая CE не пересекает прямую AB, но всякий луч, проходящий внутри угла ACE, пересекает луч AB.

Аналогично определяется прямая, параллельной AB в направлении от B к A.

Основные теоремы о параллельных прямых

• Отношение параллельности на множестве ненаправленных прямых не является бинарным отношением эквивалентности.
• На множестве направленных прямых:

1. через точку C, не лежащую на данной прямой, проходит одна и только одна направленная прямая, параллельная данной.

• Отношение параллельности на множестве направленных прямых есть бинарным отношением эквивалентности.
  

Файл:O.gifОпределение 1. Параллельными называются прямые, которые не пересекаются, сколько бы мы их не продолжали.
На рисунке a и b.

Файл:O.gifОпределение 2. Перпендикулярными называются прямые, которые пересекаются под прямым углом.
На рисунке c и d.

Файл:05012011 0.GIF

При пересечении пары прямых.

Файл:05012011 2.GIF

При пересечении пары прямых (параллельных в данном случае) некой прямой (такая прямая называется секущей прямой) образуются (акромя пройденных нами в теме углы смежных и вертикальных) следующие углы:

Внутренние накрестлежащие углы - 2 и 8; 3 и 5

Внешние накрестлежащие углы - 1 и 7; 4 и 6

Внутренние односторонние углы - 2 и 5; 3 и 8

Внешние односторонние углы - 1 и 6; 4 и 7

Соответственные углы - 1 и 5; 2 и 6; 3 и 7; 4 и 8

Между этими углами можно вывести закономерности.

Файл:T.gifТеорема 1. Внутренние накрестлежащие углы равны

Доказательство

Файл:T.gifТеорема 2. Внешние накрестлежащие углы равны

Доказательство

Файл:T.gifТеорема 3. Сумма внутренних односторонних углов равна 180 градусам

Доказательство

Файл:T.gifТеорема 4. Сумма внешних односторонних углов равна 180 градусам

Доказательство

Файл:T.gifТеорема 5. Соответственные углы равны

Доказательство: Очевидно из первого свойства параллельных прямых.

Две прямые AB и CD ( рис.11 ) называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются, сколько бы их ни продолжать. Обозначение: AB|| CD. Все точки одной параллельной прямой находятся на одинаковом расстоянии от другой параллельной прямой. Все прямые, параллельные одной прямой, параллельны между собой. Принято считать, что угол между параллельными прямыми равен нулю. Угол между двумя параллельными лучами равен нулю, если у них одинаковые направления, и 180°, если их направления противоположны. Все перпендикуляры ( AB, CD, EF,  рис.12 ) к одной и той же прямой KM параллельны между собой. Обратно, прямая KM, перпендикулярная к одной из параллельных прямых, перпендикулярна и к остальным. Длина отрезка перпендикуляра, заключённого между двумя параллельными прямыми, есть расстояние между ними.
Файл:05012011 1.GIF

При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, образуются восемь углов ( рис.13 ), которые попарно называются:

Файл:05012011 3.GIF

1. соответственные углы ( Файл:05012011 7.GIF1 и Файл:05012011 7.GIF5; Файл:05012011 7.GIF2 и Файл:05012011 7.GIF6; Файл:05012011 7.GIF3 и Файл:05012011 7.GIF7; Файл:05012011 7.GIF4 и Файл:05012011 7.GIF8 ); эти углы попарно равны: ( Файл:05012011 7.GIF1 = Файл:05012011 7.GIF5; Файл:05012011 7.GIF2 = Файл:05012011 7.GIF6; Файл:05012011 7.GIF3 = Файл:05012011 7.GIF7; Файл:05012011 7.GIF4 = Файл:05012011 7.GIF8 );
2. внутренние накрест лежащие углы ( Файл:05012011 7.GIF4 и Файл:05012011 7.GIF5; Файл:05012011 7.GIF3 и Файл:05012011 7.GIF6 ); они попарно равны;
3. внешние накрест лежащие углы ( Файл:05012011 7.GIF1 и Файл:05012011 7.GIF8; Файл:05012011 7.GIF2 и Файл:05012011 7.GIF7 ); они попарно равны;
4. внутренние односторонние углы ( Файл:05012011 7.GIF3 и Файл:05012011 7.GIF5; Файл:05012011 7.GIF4 и Файл:05012011 7.GIF6 ); их сумма равна 180° ( Файл:05012011 7.GIF3 + Файл:05012011 7.GIF5 = 180° ; Файл:05012011 7.GIF4 + Файл:05012011 7.GIF6 = 180° );
5. внешние односторонние углы  ( Файл:05012011 7.GIF1 и Файл:05012011 7.GIF7; Файл:05012011 7.GIF2 и Файл:05012011 7.GIF8 ); их сумма равна 180° ( Файл:05012011 7.GIF1 + Файл:05012011 7.GIF7 = 180°; Файл:05012011 7.GIF2 + Файл:05012011 7.GIF8 = 180°).

Углы с соответственно параллельными сторонами либо равны друг другу  ( если они оба острые, или оба тупые,  Файл:05012011 7.GIF1 = Файл:05012011 7.GIF2,  рис.14 ), либо их сумма равна 180° ( Файл:05012011 7.GIF3 + Файл:05012011 7.GIF4 = 180°,  рис.15 ).
Файл:05012011 4.GIF

Углы с соответственно перпендикулярными сторонами также либо равны друг другу ( если они оба острые, или оба тупые ), либо их сумма равна 180°.
Файл:05012011 5.GIF

Теорема Фалеса. При пересечении сторон угла параллельными прямыми ( рис.16 ) стороны угла делятся на пропорциональные отрезки:
Файл:05012011 6.GIF

Интересный факт:

Как вы понимаете это была шутка =D

Вопросы:

1. Сформулируйте три аксиомы о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей.
2. Как формулируются следствия из этих аксиом?
3. Дайте определение параллельных прямых в пространстве.
4. Сформулируйте теорему о параллельных прямых и докажите ее.
5. Как формулируется теорема о трех прямых в пространстве?
   

Список использованных источников:

1. Федеральный общеобразовательный стандарт. Вестник образования. №12,2004.
2. Атанасян, Геометрия 7-9 класс.
3. П.И. Алтынов. Математика. 2600 тестов и проверочных заданий для школьников и поступающих в вузы.
   Издательский дом «Дрофа», 1999.
   
4. Газета «Математика» № 27, 2000 год.

Отредактировано и выслано Потурнаком С. А.

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.