Версия 08:02, 20 декабря 2010

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 7 класс. Полные уроки>>Геометрия: Свойство медианы равнобедренного треугольника. Полные уроки

ТЕМА УРОКА: Свойство медианы равнобедренного треугольника .

Цели урока:

• Образовательные – повторение, обобщение и проверка знаний по теме: “ Медиана равнобедренного треугольника ”; выработка основных навыков.
• Развивающие – развить внимание учащихся, усидчивость, настойчивость, логическое мышление, математическую речь.
• Воспитательные - посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.

Задачи урока:

• Формировать навыки в построении медианы равнобедренного треугольника с помощью масштабной линейки, транспортира и чертежного треугольника.
• Проверить умение учащихся решать задачи.

План урока:

1. Повторение.
   
2. Признаки равнобедренного треугольника.
3. Раскрытие главное темы урока, определения медианы.
   
4. Свойство медианы равнобедренного треугольника.
   

Файл:O.gif Треугольник называетсяравнобедренным, если у него две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, а третья сторона – основанием.
Свойства равнобедренного треугольника.

Файл:T.gif В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Доказательство

Пусть Δ ABC – равнобедренный с основанием AB. Рассмотрим Δ BAC . По первому признаку эти треугольники равны. Действительно, AC = BC; BC = AC; Файл:16122010 13.gifC = Файл:16122010 13.gifC. Отсюда следует Файл:16122010 13.gifA = Файл:16122010 13.gifB как соответствующие углы равных треугольников. Теорема доказана.

Признаки равнобедренного треугольника.

Файл:T.gif Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

Доказательство

Пусть Δ ABC – треугольник, в котором A = B. Δ ABC равен Δ BAC по второму признаку равенства треугольников. Действительно: AB = BA; B = A; A = B. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих его сторон: AC = BC. Тогда, по определению, Δ ABC – равнобедренный. Теорема доказана.

Свойство медианы равнобедренного треугольника.
Файл:T.gif В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Файл:T.gif Если в треугольнике медиана является и высотой, то такой треугольник равнобедренный.

Доказательство

В треугольнике ABC проведем медиану BD, которая по условию также является высотой. Прямоугольные треугольники ABD и CBD равны, т. к. катет BD общий, AD = CD по построению. Следовательно, гипотенузы этих треугольников равны как соответственные элементы равных треугольников, т. е. AB = BC. Теорема доказана.


Файл:13112010 15.gif

Доказательство

Пусть в треугольнике ABC CD медиана и высота.
Тогда треугольники ACD и BCD равны по первому признаку равенства треугольников, так как CD общая для этих треугольников, AD=DB – так как CD медиана и разбивает AB пополам, ∠ CDA = ∠ CDB – так как CD высота.
Отсюда следует, что AC = CB и ABC – равнобедренный треугольник. Теорема доказана.

Свойство медианы равнобедренного треугольника.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Дано: А АВС — равнобедренный треугольник, АВ — основание, CD — медиана

Доказать: CD — биссектриса и высота.

Доказательство. Треугольники CAD и CBD равны но второму признаку равенства треугольников (стороны АС и ВС равны, так как АВС — равнобедренный.

Углы CAD и CBD равны как углы при основании равнобедренного треугольника. Стороны AD и BD равны, поскольку D — середина отрезка АВ).

Из равенства треугольников CBD и CAD следует равенство углов:

Так как углы ACD и BCD равны, то CD — биссектриса. Поскольку углы ADC и BDC смежные и равны друг другу, они прямые. Следовательно, отрезок CD

является также высотой треугольника АВС. Теорема доказана.

Таким образом, установлено, что биссектриса, медиана и высота равнобедренного треугольника, проведенные к основанию, совпадают. Поэтому

справедливы также следующие утверждения:

1. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

2. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

Интересный факт:

Геометрия Вселенной, Большой взрыв и расширение Вселенной

Вопросы:

1. Какой треугольник называется равнобедренным?
   
2. Признаки равнобедренного треугольника?
3. Свойство медианы равнобедренного треугольника?
   

Список использованных источников:

1. Федеральный общеобразовательный стандарт. Вестник образования. №12,2004.
2. Программы общеобразовательных учреждений. Геометрия 7-9 классы. Составитель: С.А. Бурмистрова. Москва. «Просвещение», 2009 год.
3. А.П. Ершова, В.В. Голобородько. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 7 класса. «ИЛЕКСА». Москва. 2004.
4. Проект "Астрогалактика" 25 ноября 2006 .
   

Отредактировано и выслано Потурнаком С. А.

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.