Особое место в истории математики занимает '''пятый постулат Евклида''' ('''аксиома о параллельных прямых'''). Долгое время математики безуспешно пытались вывести пятый постулат из остальных постулатов Евклида и лишь '''в середине XIX века''' благодаря исследованиям '''Н. И. Лобачевского''', '''Б. Римана''' и '''Я. Бойяи''' стало ясно, что пятый постулат не может быть выведен из остальных, а система аксиом, предложенная Евклидом, не единственно возможная.
Особое место в истории математики занимает '''пятый постулат Евклида''' ('''аксиома о параллельных прямых'''). Долгое время математики безуспешно пытались вывести пятый постулат из остальных постулатов Евклида и лишь '''в середине XIX века''' благодаря исследованиям '''Н. И. Лобачевского''', '''Б. Римана''' и '''Я. Бойяи''' стало ясно, что пятый постулат не может быть выведен из остальных, а система аксиом, предложенная Евклидом, не единственно возможная.
+
+
'''Аксиома параллельных прямых<br>'''<br>Еще древние греки придумали простой способ: как провести циркулем и линейкой через точку А, лежащую вне данной прямой l, другую прямую m, не пересекающую прямую l. Но единственно ли решение этой задачи? Или через точку А можно провести несколько разных прямых, не пересекающих исходную прямую m?<br><br>Евклид, видимо, первый среди эллинов понял, что ответ на этот вопрос нельзя получить, исходя из прочих свойств прямых и точек – тех, которые он сформулировал в виде аксиом и постулатов. Нужно ввести дополнительный постулат о единственности искомой прямой m – и назвать эту прямую параллельной!<br><br>А возможны ли иные формулировки постулата о параллельных прямых – не совместимые с постулатом Евклида? Например, можно предположить существование нескольких разных прямых, не пересекающих данную прямую l и проходящих через общую точку А. Приведет ли такое предположение к логическому противоречию или нет? Если нет, то возможны иные геометрии, кроме евклидовой!<br><br>Первую неевклидову геометрию изобрели в 1820-е годы сразу три талантливых математика: немец Карл Гаусс, русский Николай Лобачевский и венгр Янош Бойяи. Русский математик оказался самым смелым и упорным из троих открывателей. Он первый опубликовал свою книгу с предсказанием замечательных свойств неевклидовых фигур. Например, на плоскости Лобачевского сумма внутренних углов треугольника всегда меньше 180 градусов. Она принимает разные значения для разных треугольников; при этом два подобных треугольника обязательно равны!<br><br>В конце 19 века геометры Клейн и Пуанкаре изобрели довольно простые модели поверхностей, на которых воплощается геометрия Лобачевского. Еще раньше Риман заметил, что на обычной сфере воплощена третья возможная геометрия (проективная): в ней «параллельных» прямых вовсе нет, а сумма внутренних углов треугольника всегда больше, чем 180 градусов.<br><br>До начала 20 века считалось, что неевклидовы геометрии могут быть полезны только внутри математической науки. Но в 1910-е годы Эйнштейн создал Общую Теорию Относительности: она оказалась четырехмерным воплощением неевклидовой геометрии Лобачевского. С тех пор физики верят, что каждая непротиворечивая математическая конструкция воплощена где-нибудь в Природе. Возможно, что так оно и есть.
Определение.Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
Параллельность
прямых а и b обозначают так: а||b. На
рисунке 1 изображены прямые a и b, перпендикулярные к прямой с. Такие прямые а и b не пересекаются, т. е. они параллельны.
Наряду
с параллельными прямыми часто рассматривают параллельные отрезки. Два отрезка
называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. На рисунке (рис. 2,а) отрезки АВ и СD параллельны (АВ||СО) а отрезки
МN и СD не параллельны. Аналогично
определяется параллельность отрезка и прямой (рис. 2,б), луча и прямой, отрезка
и луча, двух лучей(рис. 2,в).
Признаки параллельности двух прямых.
Прямая с называется секущей ми отношению к прямым а
и b, если она пересекает их в двух
точках (рис. 3). При пересечении прямых а и b
секущей с образуется восемь углов, которые на рисунке 3 обозначены цифрами.
Некоторые пары этих углов имеют специальные названия:
накрест лежащие углы: 3 и 5, 4 и 6;
односторонние углы: 4 и 5, 3 и 6; соответственные углы: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7.
Рассмотрим
три признака параллельности двух прямых, связанные с этими парами углов.
Теорема.
Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые
параллельны.
Доказательство.
Пусть при пересечении прямых а и b секущей
АВ накрест лежащие углы равны: ∠1=∠2 (рис. 4, а).
окажем,
что а||b. Если углы 1 и 2 прямые (рис. 4, б), то прямые а и b
перпендикулярны к прямой АВ и, следовательно, параллельны. Рассмотрим случай,
когда углы 1 и 2 не прямые. Из середины О отрезка АВ проведем перпендикуляр ОН
к прямой а (рис. 4, в). На прямой b от точки
В отложим отрезок ВН1 равный отрезку AH, как
показано на рисунке 4, в, и проведем отрезок ОН1. Треугольники ОНА и ОН1В
равны по двум сторонам и углу между ними (АО=ВО. АН=ВН1 ∠1=∠2), поэтому ∠3=∠4 и ∠15=∠16. Из равенства ∠3=∠4 следует, что точка Н1 лежит на
продолжении луча ОН, т. е. точки Н, О и Н1 лежат на одной прямой, а из
равенства ∠5=∠6 следует, что угол 6 —
прямой (так как угол 5 — прямой). Значит, прямые а и b
перпендикулярны к прямой НН1 поэтому они параллельны. Теорема доказана.
Теорема.
Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые
параллельны.
Доказательство.
Пусть при пересечении прямых а и b секущей
с соответственные углы равны, например ∠1=∠2 (рис. 5). Так как углы 2 и 3 - вертикальные,
то ∠2=∠3. Из этих двух равенств
следует, что ∠
1=∠3.
Но углы 1 и 3 — накрест лежащие, поэтому прямые а и b
параллельны. Теорема доказана.
Теорема.
Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°,
то прямые параллельны.
Доказательство.
Пусть при пересечении прямых а и bсекущей
с сумма односторонних углов равна 180°, например ∠1+∠4=180° (см. рис. 5). Так как
углы 3 и 4 — смежные, то ∠3+∠4=180°. Из этих двух равенств следует, что накрест
лежащие углы 1 и 3 равны, поэтому прямые а и b
параллельны. Теорема доказана.
Признаки параллельности
прямых лежат в основе способов построения параллельных прямых с помощью
различных инструментов, используемых на практике. Рассмотрим, например, способ построения
параллельных прямых с помощью чертежного угольника и линейки. Чтобы построить прямую,
проходящую через точку М и параллельную данной прямой а, приложим чертежный
угольник к прямой а, а к нему линейку так, как показано на рисунке 103. Затем, передвигая
угольник вдоль линейки, добьемся того, чтобы точ ка М оказалась на стороне
угольника, и проведем прямую b. Прямые
а и b параллельны, так как
соответственные углы, обозначенные на рисунке 103 буквами альфа
и
бета, равны.
Еще есть способ построения параллельных прямых при
помощи рейсшины. Этим способом пользуются в чертежной практике.
Аналогичный
способ применяется при выполнении столярных работ, где для разметки
параллельных прямых используется малка (две деревянные планки, скрепленные
шарниром).
Интересный факт:
Особое место в истории математики занимает пятый постулат Евклида (аксиома о параллельных прямых). Долгое время математики безуспешно пытались вывести пятый постулат из остальных постулатов Евклида и лишь в середине XIX века благодаря исследованиям Н. И. Лобачевского, Б. Римана и Я. Бойяи стало ясно, что пятый постулат не может быть выведен из остальных, а система аксиом, предложенная Евклидом, не единственно возможная.
Аксиома параллельных прямых
Еще древние греки придумали простой способ: как провести циркулем и линейкой через точку А, лежащую вне данной прямой l, другую прямую m, не пересекающую прямую l. Но единственно ли решение этой задачи? Или через точку А можно провести несколько разных прямых, не пересекающих исходную прямую m?
Евклид, видимо, первый среди эллинов понял, что ответ на этот вопрос нельзя получить, исходя из прочих свойств прямых и точек – тех, которые он сформулировал в виде аксиом и постулатов. Нужно ввести дополнительный постулат о единственности искомой прямой m – и назвать эту прямую параллельной!
А возможны ли иные формулировки постулата о параллельных прямых – не совместимые с постулатом Евклида? Например, можно предположить существование нескольких разных прямых, не пересекающих данную прямую l и проходящих через общую точку А. Приведет ли такое предположение к логическому противоречию или нет? Если нет, то возможны иные геометрии, кроме евклидовой!
Первую неевклидову геометрию изобрели в 1820-е годы сразу три талантливых математика: немец Карл Гаусс, русский Николай Лобачевский и венгр Янош Бойяи. Русский математик оказался самым смелым и упорным из троих открывателей. Он первый опубликовал свою книгу с предсказанием замечательных свойств неевклидовых фигур. Например, на плоскости Лобачевского сумма внутренних углов треугольника всегда меньше 180 градусов. Она принимает разные значения для разных треугольников; при этом два подобных треугольника обязательно равны!
В конце 19 века геометры Клейн и Пуанкаре изобрели довольно простые модели поверхностей, на которых воплощается геометрия Лобачевского. Еще раньше Риман заметил, что на обычной сфере воплощена третья возможная геометрия (проективная): в ней «параллельных» прямых вовсе нет, а сумма внутренних углов треугольника всегда больше, чем 180 градусов.
До начала 20 века считалось, что неевклидовы геометрии могут быть полезны только внутри математической науки. Но в 1910-е годы Эйнштейн создал Общую Теорию Относительности: она оказалась четырехмерным воплощением неевклидовой геометрии Лобачевского. С тех пор физики верят, что каждая непротиворечивая математическая конструкция воплощена где-нибудь в Природе. Возможно, что так оно и есть.
