Версия 22:31, 22 октября 2010

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 7 класс. Полные уроки>>Геометрия: Угол. Полные уроки

Угол

Плоский угол — неограниченная геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами угла), выходящими из одной точки (вершины угла).

Углом также называют фигуру образованную всеми точками плоскости, заключёнными между этими лучами (Вообще говоря, двум таким лучам соответствуют два угла, так как они делят плоскость на две части. Один из этих углов условно называют внутренним, а другой — внешним.
Иногда, для краткости, углом называют угловую меру.

Для обозначения угла имеется общепринятый символ: , предложенный в 1634 году французским математиком Пьером Эригоном.

Угол – это геометрическая фигура  ( рис.1 ), образованная двумя лучами OA и OB ( стороны угла ), исходящими из одной точки O ( вершина угла ).

Файл:23102010 1.gif

Угол обозначается символом   и тремя буквами, обозначающими концы лучей и вершину угла: AOB ( причём, буква вершины – средняя ). Углы измеряются величиной поворота луча ОА вокруг вершины O до тех пор, пока  луч OA не переходит в положение OB. Широко применяются две единицы измерения углов: радиан и градус. О радианном измерении углов см. ниже в пункте «Длина дуги», а также в главе «Тригонометрия».

Градусная система измерения углов.

Здесь единицей измерения является градус ( его обозначение ° ) – это поворот луча на 1 / 360  полного оборота. Таким образом, полный оборот луча равен 360!. Один градус делится на  60 минут ( обозначение ‘ ); одна минута – соответственно на 60 секунд  ( обозначение “ ). Угол в 90° ( рис.2 ) называется прямым; угол, меньший, чем  90° ( рис.3 ), называется острым; угол, больший, чем 90° ( рис.4 ), называется тупым.

Файл:23102010 2.gif

Прямые линии, образующие прямой угол, называются взаимно перпендикулярными. Если прямые АВ и МK перпендикулярны, то это обозначается: AB  MK.

Знаки углов. Угол считается положительным, если вращение выполняется против часовой стрелки, и отрицательным – в противном случае. Например, если луч OA смещается к лучу OB так, как показано на рис.2, то AOB = + 90°   ; но на рис.5  AOB = – 90°.

Файл:23102010 3.gif 

Смежные углы ( рис.6 ) – это углы AOB и COB, имеющие общую вершину O и общую сторону OB; две другие стороны OA и OC являются продолжениями одна другой. Таким образом, сумма смежных углов равна 180°.

 Вертикальные углы ( рис.7 ) – это два угла с общей вершиной, у которых стороны одного являются продолжениями сторон другого:  AOB и  COD ( а также AOC и DOB )  - вертикальные углы.

Файл:23102010 4.gif

Биссектрисой угла называется луч, делящий угол пополам ( рис.8 ). Биссектрисы вертикальных углов ( OM и ON, рис.9) являются продолжениями одна другой. Биссектрисы смежных углов ( OM и ON, рис.10 ) взаимно перпендикулярны.

Свойство биссектрисы угла: каждая точка биссектрисы угла находится на одинаковом расстоянии от сторон этого угла.

Угловая мера

Угол измеряют в градусной мере (градус, минута, секунда), в оборотах — отношение длины дуги s к длине окружности L, в радианах — отношение длины дуги s к радиусу r; исторически применялась также градовая мера измерения углов, в настоящее время она почти нигде не используется.

1 оборот = 2 радианам = 360° = 400 градам.

В системе СИ принято использовать радианы.

В морской терминологии углы обозначаются румбами.

Углы на тригонометрической окружности

В математике в качестве начала отсчёта углов принято направление оси абсцисс (то есть для наблюдателя, расположенного в начале координат, — относительно направления направо), и отсчитывается против часовой стрелки.

В географии в качестве начала отсчёта углов принято направление оси ординат (то есть для наблюдателя, расположенного в начале координат, — относительно направления север (вперёд)), и отсчитывается по часовой стрелке.

Типы углов
Смежные углы — острый (a) и тупой (b). Развёрнутый угол (c)

Смежные углы — два угла с общей вершиной, одна из сторон которых — общая, а оставшиеся стороны лежат на одной прямой (не совпадая). Сумма смежных углов равна 180°.

Вертикальные углы — два угла, которые образуются при пересечении двух прямых, эти углы не имеют общих сторон. Другими словами — два угла называют вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого. Два вертикальных угла равны.

Центральные и вписанные углы окружности.

В зависимости от величины углы разделяются на:

1. Острые (от 0 до 90°)
2. Прямые (90°)
3. Тупые (от 90° до 180°)
4. Развернутые (180°)
5. Невыпуклые (от 180° до 360°)
6. Полные (360°)

'Вариации и обобщения':

Величиной ориентированного угла между прямыми AB и CD (обозначение: (AB,CD)) называют величину угла, на который нужно повернуть против часовой стрелки прямую AB так, чтобы она стала параллельна прямой CD. При этом углы, отличающиеся на , считаются равными. Следует отметить, что ориентированный угол между прямыми CD и AB не равен ориентированному углу между прямыми AB и CD (они составляют в сумме 180° или, что по нашему соглашению то же самое, 0°). Ориентированные углы обладает следующими свойствами:

а) (AB,BC)=-(BC,AB);

б) (AB,CD)+(CD,EF)=(AB,EF);

в) точки A,B,C,D, не лежащие на одной прямой, принадлежат одной окружности тогда и только тогда, когда (AB,BC)=(AD,DC).

Ряд практических задач приводит к целесообразности рассматривать угол как фигуру, получающуюся при вращении фиксированного луча вокруг точки О (из которой исходит луч) до заданного положения. В этом случае угол является мерой поворота луча. Такое определение позволяет обобщить понятие угла: в зависимости от направления вращения различают положительные и отрицательные углы, рассматривают углы, большие 360°, углы, равные 0°, и т. д. В тригонометрии такое рассмотрение позволяет изучать тригонометрические функции для любых значений аргумента.

Понятие угла обобщается также на различные объекты, рассматриваемые в стереометрии (двугранный угол, многогранный угол, телесный угол).

Кроме этого, рассматривается угол между гладкими кривыми в точке касания: по определению, его величина равна величине угла между касательными к кривым.

Примеры решения задач :

Вопросы:

1. Что такое угол?
2. Какие бывают типы углов?
3. Чему равно 2 в градусах?

Список использованных источников:

1. Погорелов, Геометрия 7-11 класс.
   
2. Атанасян, Геометрия 7-9 класс.
3. http ://ru.wikipedia.org
   

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.