Версия 08:10, 8 августа 2010

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>>Математика: Логарифмические неравенства

§ 52. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
Логарифмическими неравенствами называют неравенства вида

где а — положительное число, отличное от 1, и неравенства, сводящиеся к этому виду.
Для решения неравенства (1) проведем следующие рассуждения: преобразуем неравенство к виду

Теперь следует рассмотреть два случая: а>1 и 0<а<1. Если а > 1, то неравенство log_a t >0 имеет место тогда и только тогда, когда (см. § 49, рис. 216). Значит,

Если 0 < а < 1, то неравенство log_a t > 1 имеет место тогда и только тогда, когда 0 <t<1 (см. § 49, рис. 217). Значит,

Проведенные рассуждения позволяют сформулировать следующее утверждение.

На практике эту теорему применяют так: переходят от неравенства к равносильной ему системе неравенств:

Первые два неравенства каждой из этих систем определяют область допустимых значений переменной для неравенства (1), а знак последнего неравенства каждой из систем (обратите внимание!) либо совпадает со знаком неравенства (1) — в случае, когда а> 1, — либо противоположен знаку неравенства (1) — в случае, когда0 <а <1.
Пример 1. Решить неравенства:

а) 1ое3(2х-4)>1о&3(14-х); б) 1оеД2х -4)> 10^(14 - х).
3    3
Решение, а) Область допустимых значений переменной для заданного неравенства определяется условиями: 2х-4>0и 14-х>0. Поскольку основанием логарифмов служит число 3, а оно больше 1, то, «освобождаясь» от знаков логарифмов, мы получим неравенство того же смысла: ' 2х-4>14-х.
В итоге получаем систему неравенств:
|2х-4>0, Ш-х>0, |2х-4>14-х.
Из первого неравенства системы находим х >2, из второго — х <14, из третьего — х >6. Геометрическая модель (рис. 226) помогает найти решение системы неравенств: 6 < х < 14.
б) Здесь основание логарифма, т.е. число меньше 1. Значит, соответс-
3
твующая система неравенств имеет вид:
2х-4>0,
■    14-х>0, 2х-4<14-х
                    *                        =1-       
    *                1    /                    I       
                                        [    -14-        X
                    1                    1    I       
                                                       
                    Л                            I       
    1                                            -14-        X
                    1                            I       
Рис. 226
280
Рис. 227
(обратите внимание: знак последнего неравенства системы противоположен знаку исходного логарифмического неравенства).
Из первого неравенства системы находим х > 2, из второго — х <14, из третьего — х <6. Геометрическая модель (рис. 227) помогает найти решение системы неравенств: 2 < х < 6.
Ответ: а)6<х<14; 6)2 <х <6.
Замечание. Еще раз рассмотрим систему неравенств, которая получилась в примере 1а. Третье неравенство системы имеет вид 2х -4>14-х, а второе —14 - х > 0. Но из этих двух неравенств автоматически (по свойству транзитивности неравенств) следует, что 2х - 4 > 0. Что это значит? Это значит, что первое неравенство системы с самого начала можно было отбросить без всякого ущерба для решения системы.
Рассуждая аналогично, в системе неравенств, которую мы получили в примере 16, можно было с самого начала отбросить второе неравенство.
Получив систему неравенств, математики обычно смотрят, нет ли в ней неравенства, которое логически следует из других. Если такое неравенство есть, его можно отбросить. Советуем и вам так поступать, но, разумеется, только в том случае, если вы уверены в правильности своих выводов.
Пример 2. Решить неравенство: 1ое, (16 + 4х - х2 )< - 4.
2 1
Решение. Представим -4 в виде логарифма по основанию —:
2
ГIV4
-4 = I — = 16. Это позволит переписать заданное неравенство в
IV2;    2
виде: 1о{Г, (16 + 4х - х2) < 1о§, 16.
2 2
Учитывая, что здесь основанием логарифмов служит число, меньше 1,
составляем равносильную заданному неравенству систему неравенств:
16 + 4х-х2>0,
16 + 4х-х2>16.    *
Обратите внимание: если выполняется второе неравенство системы, то автоматически выполняется и первое неравенство (если А > 16, то тем более А >0). Значит, первое неравенство системы можно отбросить. Решая второе неравенство, находим: х2-4х<0; х(х-4)<0.
С помощью метода интервалов (рис. 228) получаем 0<х <4.
Ответ: 0<х<4.
Пример 3. Решить неравенство 1§х + 1§(45-х)<2 +1§2.
Решение. Имеем последовательно:
х + 1ё(45 - х)= 1ё х(45 - х) = 1ё(45х - х2), 2+1в2 = 18100+1ё2 = 1ё100-2 = 1§200.
Значит, заданное неравенство можно преобразовать к виду 1ё(45х - х2) < 200.
«Освобождаясь» от знаков десятичных логарифмов, получим неравенство того же смысла: 45х - х2 < 200. А условия, задающие область допустимых значений переменной, всегда определяют по исходному неравенству; в данном примере они таковы: х>0и45-х>0. В итоге получаем систему неравенств:
                            1                                   
        +                    _                                   
                        /            4    > (                       
                    0    1            /    4                        X
                                                               
Рис. 228
281
х>0, 45-х>0, 45л:-л:2 <200.
Первые два неравенства можно записать в виде двойного неравенства 0 < х < 45. Решая третье неравенство системы, находим:
х2 -45х + 200>0; (х-40Хх~5)>0; ас<5; х>40 (рис.229).
Отметив на числовой прямой эти решения совместно с полученным ранее интервалом 0 < х <45, находим их пересечение (рис. 230), т.е. решение составленной выше системы неравенств: 0 < х < 5; 40 < х < 45.
Ответ:0<х<5; 40<х<45.
    1 1                        1                        1           
    +                                                +    л       
                                                        Л       
            ч                                У    г 41    г»            X
                                                               
    I                                                       
                                                           
                                                           
    о    с        4        4                    -0-    И    5        X
    1                                                       
Рис. 229    Рис. 230
Пример 4. Решить неравенство 1о§2 х2 -51о§2 х +1 <0. Решение. Здесь «напрашивается» введение новой переменной V = х, но сначала надо разобраться с выражением \о§22 х2.
Имеем: 1о§2 х2 =(1о§2 х2)? =(21ое2 х)? =41о§2 х. Итак, если у = х, то
х2 =4(/. Поняв это, перепишем заданное неравенство в виде
4^-бу+КО.
Найдем корни квадратного трехчлена 4у2 - 5у +1: у, = 1, у2 = —. Значит,
4
4 у2 -5у + 1=4(у-1) у — 1а потому последнее неравенство можно перепи-
I V
сать в виде 4(у -1) I у - — < 0.
Находим решение неравенства: -< у <1.
4
Подставив вместо у выражение 1о^2 х, получим: — < 1о§2 х <1 или, что то
4
же самое, 24 <1о^2 х <1ое2 2. Остается «освободиться» от знаков лога-рифмов, сохранив имеющиеся знаки неравенств: 24 < х <2. Ответ: 24 <х<2.

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

_{Материалы по математике онлайн, задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике скачать}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников
 
Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 
 
Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.