Объем прямоугольного параллелепипеда — Гипермаркет знаний

KNOWLEDGE HYPERMARKET

Объем прямоугольного параллелепипеда

 		Версия 09:12, 2 июля 2010 (просмотреть исходный код)
User16  (Обсуждение | вклад)
 (Создана новая страница размером <metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, ...)
← Предыдущая правка
		Версия 09:20, 2 июля 2010 (просмотреть исходный код)
User16  (Обсуждение | вклад) 
Следующая правка →
		
Строка 3:
Строка 3:
 '''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]&gt;&gt;[[Математика|Математика]]&gt;&gt;[[Математика 11 класс|Математика 11 класс]]&gt;&gt;Математика:Объем прямоугольного параллелепипеда'''    '''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]&gt;&gt;[[Математика|Математика]]&gt;&gt;[[Математика 11 класс|Математика 11 класс]]&gt;&gt;Математика:Объем прямоугольного параллелепипеда'''  
  
  + <br> &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; '''ОБЪЕМ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА''' 
  
- &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; '''ОБЪЕМ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА''' + <br>Найдем объем прямоугольного параллелепипеда с линейными размерами a, b, с. Для этого сначала докажем, что объемы двух прямоугольных параллелепипедов с равными основаниями относятся как их высоты. 
  
- <br>Найдем объем прямоугольного параллелепипеда с линейными размерами a, b, с. Для этого сначала докажем, что объемы двух прямоугольных параллелепипедов с равными основаниями относятся как их высоты. + <br>  
  
  + [[Image:2-07-48.jpg]]<br><br>&nbsp;<br>Пусть Р и Р<sub>1</sub> — два прямоугольных параллелепипеда с общим основанием ABCD и высотами АЕ и АЕ<sub>1</sub>. Будем считать для определенности, что АЕ<sub>1</sub>&lt;АЕ (рис. 475). Пусть V и V<sub>1</sub>— объемы параллелепипедов. Разобьем ребро АЕ параллелепипеда Р на большое число n равных частей. Каждая из них АЕ равна 
  
  + [[Image:2-07-49.jpg]]<br>Пусть m— число точек деления, которые лежат на ребре АЕ<sub>1</sub>. Тогда<br> 
  
- [[Image:2-07-48.jpg]]<br><br>&nbsp;<br>Пусть Р и Р<sub>1</sub> — два прямоугольных параллелепипеда с общим основанием ABCD и высотами АЕ и АЕ<sub>1</sub>. Будем считать для определенности, что АЕ<sub>1</sub>&lt;АЕ (рис. 475). Пусть V и V<sub>1</sub>— объемы параллелепипедов. Разобьем ребро АЕ параллелепипеда Р на большое число n равных частей. Каждая из них АЕ равна + [[Image:2-07-50.jpg]]<br><br>Проведем через точки деления плоскости, параллельные основанию. Они разобьют параллелепипед Р на n равных параллелепипедов.  
  
- [[Image:2-07-49.jpg]]<br>Пусть m— число точек деления, которые лежат на ребре АЕ<sub>1</sub>. Тогда<br> + Каждый из них имеет объем [[Image:2-07-51.jpg]]. Параллелепипед P<sub>1</sub> содержит первые m параллелепипедов, считая снизу, и содержится в m + 1 параллелепипедах. Поэтому 
  
- [[Image:2-07-50.jpg]]<br><br>Проведем через точки деления плоскости, параллельные основанию. Они разобьют параллелепипед Р на n равных параллелепипедов. + [[Image:2-07-52.jpg]]  
  
- Каждый из них имеет объем [[Image:2-07-51.jpg]]. Параллелепипед P<sub>1</sub> содержит первые m параллелепипедов, считая снизу, и содержится в m + 1 параллелепипедах. Поэтому + <br>Из неравенств (*) и (**) мы видим, что оба числа [[Image:2-07-53.jpg]] и [[Image:2-07-54.jpg]] заключены между [[Image:2-07-55.jpg]]. Поэтому они отличаются не более чем на [[Image:2-07-56.jpg]]. А так как п можно взять сколь угодно большим, то это может быть только при [[Image:2-07-57.jpg]]&nbsp; что&nbsp; и требовалось доказать.  
  
- [[Image:2-07-52.jpg]] + Возьмем теперь куб, являющийся единицей измерения объема, и три прямоугольных параллелепипеда с измерениями:<br>а, 1, 1; а, b, 1; a, b, с. Обозначим их объемы V<sub>1</sub>, V<sub>2</sub> и V соответственно. По доказанному&nbsp;
  
- <br>Из неравенств (*) и (**) мы видим, что оба числа [[Image:2-07-53.jpg]] и [[Image:2-07-54.jpg]] заключены между [[Image:2-07-55.jpg]]. Поэтому они отличаются не более чем на [[Image:2-07-56.jpg]]. А так как п можно взять сколь угодно большим, то это может быть только при [[Image:2-07-57.jpg]]&nbsp; что&nbsp; и требовалось доказать. + [[Image:2-07-58.jpg]]
  
- Возьмем теперь куб, являющийся единицей измерения объе-<br>ма, и три прямоугольных параллелепипеда с измерениями:<br>а, 1, 1; а, Ь, 1; с, Ь, с. Обозначим их объемы V\, V-i и V соот-<br>ветственно. По доказанному&nbsp;&nbsp; &nbsp;&gt;<br>Zi=iL Zi=A Ji=JL<br>1&nbsp; ^ 1&nbsp;&nbsp; '&nbsp;&nbsp; к,&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 1&nbsp; '&nbsp;&nbsp; &nbsp;1&nbsp;&nbsp; *<br>Перемножая эти три равенства почленно, получим:<br>¦V=abc.<br>Итак, объем прямоугольного параллелепипеда с линейными размерами а, Ь, с вычисляется по формуле V=аЬс.<br>Задача (3). Если каждое ребро куба увеличить на 2 см, то его объем увеличится на 98 см^. Чему равно ребро куба?<br>Решение. Обозначим ребро куба через х, тогда {x-\-2f — х^ = 98, т. е. + 2x —15 = 0. Уравнение имеет два корня: х=3, х = — 5. Геометрический смысл имеет только положительный корень. Итак, ребро куба равно 3 см.<br><br><br> + Перемножая эти три равенства почленно, получим:<br>V=abc.
  +  
  + Итак, объем прямоугольного параллелепипеда с линейными размерами а, b, с вычисляется по формуле V=аЬс.
  +  
  + Задача (3). Если каждое ребро куба увеличить на 2 см, то его объем увеличится на 98 см<sup>2</sup>. Чему равно ребро куба?
  +  
  + Решение. Обозначим ребро куба через х, тогда (x + 2)<sup>3</sup> — х<sup>3</sup> = 98, т. е.x<sup>2</sup> + 2x —15 = 0. Уравнение имеет два корня: х=3, х = — 5. Геометрический смысл имеет только положительный корень. Итак, ребро куба равно 3 см.<br><br><br>  
  
 <br> ''А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений'' <br>    <br> ''А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений'' <br>  

Версия 09:20, 2 июля 2010
 
Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 11 класс>>Математика:Объем прямоугольного параллелепипеда 

                                                 ОБЪЕМ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА 

Найдем объем прямоугольного параллелепипеда с линейными размерами a, b, с. Для этого сначала докажем, что объемы двух прямоугольных параллелепипедов с равными основаниями относятся как их высоты. 

 


 
Пусть Р и Р₁ — два прямоугольных параллелепипеда с общим основанием ABCD и высотами АЕ и АЕ₁. Будем считать для определенности, что АЕ₁<АЕ (рис. 475). Пусть V и V₁— объемы параллелепипедов. Разобьем ребро АЕ параллелепипеда Р на большое число n равных частей. Каждая из них АЕ равна 

Пусть m— число точек деления, которые лежат на ребре АЕ₁. Тогда
 


Проведем через точки деления плоскости, параллельные основанию. Они разобьют параллелепипед Р на n равных параллелепипедов. 
Каждый из них имеет объем . Параллелепипед P₁ содержит первые m параллелепипедов, считая снизу, и содержится в m + 1 параллелепипедах. Поэтому 
 

Из неравенств (*) и (**) мы видим, что оба числа  и  заключены между . Поэтому они отличаются не более чем на . А так как п можно взять сколь угодно большим, то это может быть только при   что  и требовалось доказать. 
Возьмем теперь куб, являющийся единицей измерения объема, и три прямоугольных параллелепипеда с измерениями:
а, 1, 1; а, b, 1; a, b, с. Обозначим их объемы V₁, V₂ и V соответственно. По доказанному 

Перемножая эти три равенства почленно, получим:
V=abc.
Итак, объем прямоугольного параллелепипеда с линейными размерами а, b, с вычисляется по формуле V=аЬс.
Задача (3). Если каждое ребро куба увеличить на 2 см, то его объем увеличится на 98 см². Чему равно ребро куба?
Решение. Обозначим ребро куба через х, тогда (x + 2)³ — х³ = 98, т. е.x² + 2x —15 = 0. Уравнение имеет два корня: х=3, х = — 5. Геометрический смысл имеет только положительный корень. Итак, ребро куба равно 3 см.


 

 А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений 
 
_{Планирование уроков по математике онлайн, задачи и ответы по классам, домашнее задание по математике 11 класса скачать} 

 

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников
 
Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 
 
Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки



 
Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам. 
Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.

Источник — «http://edufuture.biz/index.php?title=%D0%9E%D0%B1%D1%8A%D0%B5%D0%BC_%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%BC%D0%BE%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%BB%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BF%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D0%B0»
@@ Строка 3: / Строка 3: @@
 '''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]&gt;&gt;[[Математика|Математика]]&gt;&gt;[[Математика 11 класс|Математика 11 класс]]&gt;&gt;Математика:Объем прямоугольного параллелепипеда'''
+<br> &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; '''ОБЪЕМ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА'''
-&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; '''ОБЪЕМ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА'''
+<br>Найдем объем прямоугольного параллелепипеда с линейными размерами a, b, с. Для этого сначала докажем, что объемы двух прямоугольных параллелепипедов с равными основаниями относятся как их высоты.
-<br>Найдем объем прямоугольного параллелепипеда с линейными размерами a, b, с. Для этого сначала докажем, что объемы двух прямоугольных параллелепипедов с равными основаниями относятся как их высоты.
+<br>
+[[Image:2-07-48.jpg]]<br><br>&nbsp;<br>Пусть Р и Р<sub>1</sub> — два прямоугольных параллелепипеда с общим основанием ABCD и высотами АЕ и АЕ<sub>1</sub>. Будем считать для определенности, что АЕ<sub>1</sub>&lt;АЕ (рис. 475). Пусть V и V<sub>1</sub>— объемы параллелепипедов. Разобьем ребро АЕ параллелепипеда Р на большое число n равных частей. Каждая из них АЕ равна
+[[Image:2-07-49.jpg]]<br>Пусть m— число точек деления, которые лежат на ребре АЕ<sub>1</sub>. Тогда<br>
-[[Image:2-07-48.jpg]]<br><br>&nbsp;<br>Пусть Р и Р<sub>1</sub> — два прямоугольных параллелепипеда с общим основанием ABCD и высотами АЕ и АЕ<sub>1</sub>. Будем считать для определенности, что АЕ<sub>1</sub>&lt;АЕ (рис. 475). Пусть V и V<sub>1</sub>— объемы параллелепипедов. Разобьем ребро АЕ параллелепипеда Р на большое число n равных частей. Каждая из них АЕ равна
+[[Image:2-07-50.jpg]]<br><br>Проведем через точки деления плоскости, параллельные основанию. Они разобьют параллелепипед Р на n равных параллелепипедов.
-[[Image:2-07-49.jpg]]<br>Пусть m— число точек деления, которые лежат на ребре АЕ<sub>1</sub>. Тогда<br>
+Каждый из них имеет объем [[Image:2-07-51.jpg]]. Параллелепипед P<sub>1</sub> содержит первые m параллелепипедов, считая снизу, и содержится в m + 1 параллелепипедах. Поэтому
-[[Image:2-07-50.jpg]]<br><br>Проведем через точки деления плоскости, параллельные основанию. Они разобьют параллелепипед Р на n равных параллелепипедов.
+[[Image:2-07-52.jpg]]
-Каждый из них имеет объем [[Image:2-07-51.jpg]]. Параллелепипед P<sub>1</sub> содержит первые m параллелепипедов, считая снизу, и содержится в m + 1 параллелепипедах. Поэтому
+<br>Из неравенств (*) и (**) мы видим, что оба числа [[Image:2-07-53.jpg]] и [[Image:2-07-54.jpg]] заключены между [[Image:2-07-55.jpg]]. Поэтому они отличаются не более чем на [[Image:2-07-56.jpg]]. А так как п можно взять сколь угодно большим, то это может быть только при [[Image:2-07-57.jpg]]&nbsp; что&nbsp; и требовалось доказать.
-[[Image:2-07-52.jpg]]
+Возьмем теперь куб, являющийся единицей измерения объема, и три прямоугольных параллелепипеда с измерениями:<br>а, 1, 1; а, b, 1; a, b, с. Обозначим их объемы V<sub>1</sub>, V<sub>2</sub> и V соответственно. По доказанному&nbsp;
-<br>Из неравенств (*) и (**) мы видим, что оба числа [[Image:2-07-53.jpg]] и [[Image:2-07-54.jpg]] заключены между [[Image:2-07-55.jpg]]. Поэтому они отличаются не более чем на [[Image:2-07-56.jpg]]. А так как п можно взять сколь угодно большим, то это может быть только при [[Image:2-07-57.jpg]]&nbsp; что&nbsp; и требовалось доказать.
+[[Image:2-07-58.jpg]]
-Возьмем теперь куб, являющийся единицей измерения объе-<br>ма, и три прямоугольных параллелепипеда с измерениями:<br>а, 1, 1; а, Ь, 1; с, Ь, с. Обозначим их объемы V\, V-i и V соот-<br>ветственно. По доказанному&nbsp;&nbsp; &nbsp;&gt;<br>Zi=iL Zi=A Ji=JL<br>1&nbsp; ^ 1&nbsp;&nbsp; '&nbsp;&nbsp; к,&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 1&nbsp; '&nbsp;&nbsp; &nbsp;1&nbsp;&nbsp; *<br>Перемножая эти три равенства почленно, получим:<br>¦V=abc.<br>Итак, объем прямоугольного параллелепипеда с линейными размерами а, Ь, с вычисляется по формуле V=аЬс.<br>Задача (3). Если каждое ребро куба увеличить на 2 см, то его объем увеличится на 98 см^. Чему равно ребро куба?<br>Решение. Обозначим ребро куба через х, тогда {x-\-2f — х^ = 98, т. е. + 2x —15 = 0. Уравнение имеет два корня: х=3, х = — 5. Геометрический смысл имеет только положительный корень. Итак, ребро куба равно 3 см.<br><br><br>
+Перемножая эти три равенства почленно, получим:<br>V=abc.
+Итак, объем прямоугольного параллелепипеда с линейными размерами а, b, с вычисляется по формуле V=аЬс.
+Задача (3). Если каждое ребро куба увеличить на 2 см, то его объем увеличится на 98 см<sup>2</sup>. Чему равно ребро куба?
+Решение. Обозначим ребро куба через х, тогда (x + 2)<sup>3</sup> — х<sup>3</sup> = 98, т. е.x<sup>2</sup> + 2x —15 = 0. Уравнение имеет два корня: х=3, х = — 5. Геометрический смысл имеет только положительный корень. Итак, ребро куба равно 3 см.<br><br><br>
 <br> ''А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений'' <br>

Авторські права | Privacy Policy |FAQ | Партнери | Контакти | Кейс-уроки

© Автор системы образования 7W и Гипермаркета Знаний - Владимир Спиваковский

При использовании материалов ресурса
ссылка на edufuture.biz обязательна (для интернет ресурсов - гиперссылка).
edufuture.biz 2008-© Все права защищены.
Сайт edufuture.biz является порталом, в котором не предусмотрены темы политики, наркомании, алкоголизма, курения и других "взрослых" тем.

Разработка - Гипермаркет знаний 2008-

Ждем Ваши замечания и предложения на email:
По вопросам рекламы и спонсорства пишите на email: