*Воспитательные - посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.
+
-
== Задачи урока ==
+
• Повторить и закрепить знания учащихся о таком понятии, как прямоугольник, опираясь на полученные знания в предыдущих классах;<br>
+
• Продолжать усовершенствовать знания школьников о свойствах и признаках прямоугольников;<br>
+
• Продолжать формировать навыки в процессе решения заданий;<br>
+
• Вызвать интерес к урокам математики;<br>
+
• Воспитывать интерес к точным наукам и положительное отношение к урокам математики.<br>
-
*Формировать навыки в построении прямоугольник с помощью масштабной линейки, транспортира и чертежного треугольника.
В предыдущих классах вы уже изучали темы о прямоугольниках. А сейчас давайте освежим память и вспомним, что же это за такая фигура, которая носит название прямоугольник.
-
#Теоретическая часть, определения и свойства.<br>
+
-
#Золотой прямоугольник, общие понятия.<br>
+
-
=== Исторический факт ===
+
Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все четыре угла прямые и равняются 90 градусам.
-
'''Прямоугольник Эвклида.'''<br>
+
Прямоугольник - это такая геометрическая фигура, которая состоит из четырех сторон и четырех прямых углов.
-
+
-
[[Прямокутник i його властивості|Прямоугольник]] Эвклида, называемый также '''золотым сечением''', долго считался совершенной пропорциональной основой строительства, особенно для любого здания религиозного значения.'''На нем основаны классические греческие храмы и многие здания эпохи Возрождения'''. Короткая и длинная стороны прямоугольника брались из соотношения от деления прямой линии на две части таким образом, чтобы короткая часть относилась к длинной, как длинная к целому. Отношение составляло '''382 к 618''', или приблизительно '''19 к 31'''. '''Этот прямоугольник называли самой рациональной, безопасной и правильной из всех геометрических форм.''' Из-за таких дифирамбов в его честь прямоугольник Эвклида или приближения к нему использовались в обиходе повсюду, в домах, комнатах, кроватях, столах, окнах, дверях, картинах, книгах и многих предметах мебели.<br>
+
-
+
-
'''Среди индейцев навахо прямоугольник считался женской формой''', вероятно, потому, что это стандартная форма дома, который символизировал женщину, владеющую им.<br>
Противоположные стороны прямоугольника всегда равны.
-
=== Теоретическая часть ===
+
Если рассматривать определение прямоугольника по евклидовой геометрии, то чтобы четырехугольник считался прямоугольником, необходимо, чтобы в этой геометрической фигуре, хотя бы три угла были прямыми. С этого следует, что и четвертый угол также будет равен девяносто градусам.
-
==== Определения ====
+
Хотя и так понятно, что если сумма углов четырехугольника не имеет 360 градусов, то эта фигура не может быть прямоугольником.
-
*Прямоугольник, [[Параллелограмм. Полные уроки|параллелограмм]], все углы которого прямые.
+
В случае, когда у правильного прямоугольника все стороны равны между собой, то такой прямоугольник носит название квадрата.
-
*Прямоугольник - [[Определение четырехугольника. Полные уроки|четырехугольник]], у которого все углы прямые.
+
В некоторых случаях квадрат может выступать в роли ромба, если у такого ромба кроме равных между собой сторон и все углы прямые.
-
*Прямоугольник, четырехсторонняя геометрическая фигура (четырехугольник), внутренние углы которой являются прямыми, а противоположные стороны попарно параллельны и равны. Это особый случай ПАРАЛЛЕЛОГРАММА.
+
Чтобы доказать причастность какой-либо геометрической фигуры к прямоугольнику, достаточно чтобы эта геометрическая фигура соответствовала хотя бы одному из этих требований:
-
'''Примечание.''' В '''евклидовой '''геометрии для того, чтобы четырёхугольник был прямоугольником, достаточно, чтобы хотя бы три его угла были прямые. Четвёртый угол (в силу теоремы о сумме углов многоугольника) также будет равен 90°. В '''неевклидовой '''геометрии, где сумма углов четырёхугольника не равна 360° - прямоугольников не существует.<br>
+
1. квадрат диагонали этой фигуры должен быть равен сумме квадратов двух сторон, которые имеют общую точку;<br>
+
2. диагонали геометрической фигуры должны иметь одинаковую длину;<br>
+
3. все углы геометрической фигуры должны равняться девяносто градусам.<br>
-
<br>[[Image:4042011 4.jpg|300px|Прямоугольники]]
+
Если эти условия отвечают хотя бы одному требованию, то перед вами прямоугольник.
-
[[Image:4042011 6.png|300px|Прямоугольники]]
+
Прямоугольник в геометрии является основной базовой фигурой, у которой имеется множество подвидов, со своими особыми свойствами и характеристиками.
-
''Прямоугольники''
+
'''Задание:''' Назовите геометрические фигуры, которые относятся к прямоугольникам.
+
<h2>Прямоугольник и его свойства</h2>
-
==== Прямоугольник ====
+
А теперь давайте вспомним о свойствах прямоугольника:
-
*Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.<br>
+
<br>
+
[[Image:8kl_praumygol02.jpg|300x300px|прямоуг]]
+
<br>
+
+
• У прямоугольника все его диагонали равны;<br>
+
• Прямоугольник – это параллелограмм, у которого противоположные стороны параллельны;<br>
+
• Стороны прямоугольника одновременно являются и его высотами;<br>
+
• Противоположные стороны и углы прямоугольника равны;<br>
+
• Около любого прямоугольника можно описать окружность, причем диагональ прямоугольника равна диаметру описанной окружности.<br>
+
• Диагонали прямоугольника делят его на два равных треугольника;<br>
+
• Следуя теореме Пифагора, квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его не противоположных сторон;<br>
1. Прямоугольник обладает такими двумя возможностями, при которых его можно разделить на два равных между собой прямоугольника. Начертите в тетради два прямоугольника и разделите их так, чтобы получились два равных между собой прямоугольника.<br>
2. Опишите вокруг прямоугольника окружность, диаметр которой будет равен диагонали прямоугольника.<br>
-
''Свойства прямоугольника''
+
3. Можно ли вписать в прямоугольник окружность так, чтобы она касалась всех его сторон, но при условии, что этот прямоугольник не является квадратом?<br>
+
{{#ev:youtube|sx4v99K0u1E}}
-
*противолежащие стороны равны;
-
*противоположные углы равны;
-
*диагонали точкой пересечения делятся пополам;
-
*сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°;
-
*сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон;<br>
'''Параллелограмм является прямоугольником, если:'''
+
<h2>Признаки прямоугольника</h2>
-
#Один из его углов прямой.
+
Параллелограмм является прямоугольником при условии:
-
#Его диагонали равны.<br>
+
+
1. если у него, хотя бы один из углов прямой;<br>
+
2. если все четыре его угла прямые;<br>
+
3. если противоположные стороны равны;<br>
+
4. если, хотя бы три угла прямые;<br>
+
5. если у него его диагонали равны;<br>
+
6. если квадрат диагонали равен сумме квадратов не противолежащих сторон.<br>
-
*Величина площади прямоугольника равна произведению ширины прямоугольника на его высоту (длину).
+
<h2>Это интересно знать</h2>
-
*Периметр прямоугольника равен удвоенной сумме длин его ширины и высоты.
+
-
'''Прямоугольник '''- это параллелограмм , у которого все углы прямые (равны 90 градусам).
+
А знаете ли вы, что если в прямоугольнике, у которого неровные смежные стороны, провести биссектрисы углов, то при их пересечении в итоге получится прямоугольник.
-
Как частный случай параллелограмма прямоугольник имеет все его свойства, но есть и частное.
+
А вот если проведенная биссектриса прямоугольника пересекает одну из его сторон, то она отсекает от этого прямоугольника, равнобедренный треугольник.
-
Рассмотрим его:
+
А известно ли вам, что еще до того, как Малевич написал свой знаменитый «Черный квадрат», в 1882 году на выставке в Париже была представлена картина Пола Било, на полотне которой был изображен черный прямоугольник с со своеобразным названием «Битва негров в туннеле».
Для доказательства достаточно рассмотреть на рис1 два прямоугольных треугольника ADB и АВС. Они равны по двум катетам (противолежащие стороны равны), поэтому равны и их гипотенузы - диагонали АС и ВD.
+
<br>
-
+
-
'''Также прямоугольник имеет все признаки параллелограмма, но и тут есть частный признак:'''
+
Эта идея с черным прямоугольником вдохновила и других деятелей культуры. Французский писатель юморист Альфонс Алле выпустил целую серию своих работ и со временем появился прямоугольный пейзаж в радикальном красном цвете под названием «Уборка урожая помидоров на берегу Красного моря апоплексическими кардиналами», который также не имел никакого изображения.
-
+
-
'''Теорема. Если в четырехугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник является прямоугольником.'''
+
-
+
-
Из равенства диагоналей следует и равенство частей, на которые они разбиваются при пересечении. Т.е. точка пересечения диагоналей равноудалена от вершин четырехугольника, а следовательно около него можно описать окружность. Зная теорему: вписанные углы, опирающиеся на диаметр, равны 90 градусов, заключаем, что все углы данного четырехугольника прямые.
+
-
+
-
'''Из этого доказательства также вытекает и следующее утверждение:'''
+
-
+
-
'''Теорема. Диаметр описанной около прямоугольника окружности равен его диагонали.'''
+
-
+
-
<br>'''Точка О - центр и точка пересечения диагоналей, тогда ВО - радиус и BD - диаметр.'''
+
-
+
-
<br>'''Площадь прямоугольника'''
+
-
+
-
{{#ev:youtube|sx4v99K0u1E}}
+
-
+
-
+
-
Первая формула считается стандартом и не нуждается в доказательстве, а вторая является следствием формулы площади четырехугольника с поправкой на то, что диагонали равны.
+
-
+
-
'''Теорема. [[Паралелограм, прямокутник, ромб, квадрат: властивості, обчислення площ |Площадь прямоугольника]] равна половине произведения квадрата диагонали и синуса угла между диагоналями.'''
+
-
+
-
+
-
==== Квадрат ====
+
-
+
-
Квадрат является частным случаем прямоугольника. Он обладает почти всеми свойствами прямоугольника, только из за того что у квадрата все стороны равны появляется дополнительное свойство:
+
-
+
-
*диагонали квадрата взаимно перпендикулярны.
+
-
+
-
Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.
Как упоминалось в наших предыдущих страницах, золотое сечение очень широко используется в геометрии. Начнем знакомство с геометрическими свойствами "золотого" прямоугольника, которые имеет следующее геометрическое определение. "Золотым" прямоугольником называется такой прямоугольник, в котором отношение большей стороны к меньшей равно золотой пропорции, то есть
+
-
+
-
<br>Рассмотрим случай простейшего "золотого" прямоугольника, когда ''AB ''= t и ''BC ''= 1.
+
-
+
-
<br>
+
-
+
-
<br>Найдем теперь на отрезках ''AB ''и ''DC ''точки ''E ''и ''F'', которые делят соответствующие стороны ''AB ''и ''DC ''в "золотом сечении". Ясно, что ''AE ''= ''DF ''= 1, тогда <br>
+
-
+
-
<br>
+
-
+
-
<br>Соединим теперь точки E и F отрезком EF и назовем этот отрезок "золотой линией". При этом с помощью "золотой линии" EF "золотой" прямоугольник ABCD оказывается разделенным на два прямоугольника AEFD и EBCF. Поскольку все стороны прямоугольника AEFD равны между собой, то этот прямоугольник есть ни что иное, как квадрат.
+
-
+
-
Рассмотрим теперь прямоугольник ''EBCF''. Поскольку его большая сторона ''BC ''= 1, а меньшая, то отсюда следует, что их отношение''BC: EB'' = t и, следовательно, прямоугольник EBCF является "золотым"! Таким образом "золотая" линия ''EF ''расчленяет исходный "золотой" прямоугольник ''ABCD ''на квадрат ''AEFD ''и новый "золотой" прямоугольник ''EBCF''.
+
-
+
-
Проведем теперь диагонали ''DB'' и ''EC'' "золотых" прямоугольников ''ABCD'' и ''EBCF''. Из подобия треугольников ''ABD'', ''FEC'', ''BCE'' вытекает, что точка ''G'' разделяет "золотым сечением" как диагональ ''DB'', так и "золотую" линию ''EF''. Проведем теперь новую "золотую" линию ''GH'' в "золотом" прямоугольнике ''EBCF''. Ясно, что "золотая" линия ''GH'' разделяет "золотой" прямоугольник ''EBCF'' на [[Квадрат|квадрат]] ''GHCF'' и новый "золотой" прямоугольник ''EBHG''. Более того, точка ''I'' делит "золотым сечением" диагональ ''EC'' и сторону ''GH''. Повторяя многократно эту процедуру, мы получим бесконечную последовательность квадратов и "золотых" прямоугольников, которые в пределе сходятся к точке ''O''.<br>
+
-
+
-
+
-
=== Интересный факт ===
+
-
+
-
В одном из предыдущих уроков мы уже рассматривали золотое сечение и как часто мы его можем встретить в природе, но про самое главное мы забыл вспомнить. Одним из самых ярких примеров золотого сечения или как говориться "божественной меры" есть человек.
+
-
+
-
В человеческом организме ничего просто так не бывает, каждый орган отвечает за свою функцию или функции и выполняет ее лучше всех остальных. Рост, длина конечностей и так далее яркий пример пропорции Фибоначчи.
+
-
+
-
Разумеется есть золотой прямоугольник, золотой треугольник и даже золотой кубоид. Пропорции человеческого тела во многих соотношениях близки к Золотому Сечению.<br>
+
-
+
-
Но самое интересное начинается, когда мы объединим полученные [http://xvatit.com/vuzi/ знания]. На рисунке наглядно показана связь между последовательностью Фибоначчи и Золотым сечением. Мы начинаем с двух квадратов первого размера. Сверху добавляем квадрат второго размера. Подрисовываем рядом квадрат со стороной, равной сумме сторон двух предыдущих, третьего размера. По аналогии появляется квадрат пятого размера. И так далее пока не надоест, главное, чтобы длина стороны каждого следующего квадрата равнялась сумме длин сторон двух предыдущих. Мы видим серию прямоугольников, длины сторон, которых являются числами Фибоначчи, и, как не странно, они называются прямоугольниками Фибоначчи.<br>
+
{{#ev:youtube|Oa-1zfLd4z4}}
{{#ev:youtube|Oa-1zfLd4z4}}
Строка 188:
Строка 129:
{{#ev:youtube|ezpiHURooMc}}
{{#ev:youtube|ezpiHURooMc}}
-
<br>
-
== Вопросы ==
+
'''Задание'''
-
#''Какая геометрическая фигура называется прямоугольником?''<br>
+
1. Назовите свойство, которое присуще только прямоугольнику?<br>
-
#''Можно ли квадрат назвать прямоугольником, ответ аргументируйте.''<br>
+
2. В чем отличие произвольного параллелограмма от прямоугольника?<br>
-
#''Какая разница между диаметром и радиусом?''<br>
+
3. Верно ли утверждение, что всякий прямоугольник является параллелограммом? Если это так, то докажите почему?<br>
+
4. Перечислите четырехугольники, которые являются прямоугольниками.<br>
+
5. Сформулируйте свойства прямоугольника.<br>
-
<br>
+
<h2>Исторический факт</h2>
-
== Список использованных источников ==
+
'''Прямоугольник Эвклида'''
-
#''Урок на тему "Золотой прямоугольник" Автор: Марина Александровна, г. Киев''
+
<br>
-
#''Мазур К. И. «Решение основных конкурсных задач по математике сборника под редакцией М. И. Сканави»''
+
[[Image:8kl_praumygol05.jpg|500x500px|прямоуг]]
-
#''Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина «Геометрия, 7 – 9: учебник для общеобразовательных учреждений»''
+
<br>
+
+
Известно ли вам, что прямоугольник Эвклида, который называют золотым сечением, долгий период времени являлся для любого здания имеющего религиозное значение, совершенной и пропорциональной основой строительства в те времена. С его помощью были построены многие здания эпохи Возрождения и классические храмы в Древней Греции.
+
«Золотым» прямоугольником называется такой геометрический прямоугольник, в котором отношение большей стороны к меньшей равно золотой пропорции.
-
----
+
Такое отношение сторон этого прямоугольника составляло 382 к 618, или приблизительно 19 к 31. Прямоугольник Эвклида, на то время был самым целесообразным, удобным, безопасным и правильным прямоугольником из всех геометрических форм. Благодаря такой характеристике прямоугольник Эвклида или приближения к нему был использован повсюду. Его применяли в домах, картинах, предметах мебели, окнах, дверях и даже книгах.
-
+
-
<br>'''Над уроком работали'''
+
-
+
-
Марина Александровна
+
-
+
-
Потурнак С.А.
+
-
+
-
Екатерина Рыдлева
+
-
+
-
<br>
+
-
+
-
----
+
-
<br>Поставить вопрос о современном образовании, выразить идею или решить назревшую проблему Вы можете на [http://xvatit.com/forum/ '''Образовательном форуме'''], где на международном уровне собирается образовательный совет свежей мысли и действия. Создав [http://xvatit.com/club/blogs/ '''блог,'''] Вы не только повысите свой статус, как компетентного преподавателя, а и сделаете весомый вклад в развитие школы будущего. [http://xvatit.com/school/guild/ '''Гильдия Лидеров Образования'''] открывает двери для специалистов высшего ранга и приглашает к сотрудничеству в направлении создания лучших в мире школ.
+
Среди индейцев племени навахо прямоугольник сопоставляли с женской формой, так как она считалась обычной, стандартной формой дома, символизирующего женщину, которая этим домом владеет.
• Закрепить знания учеников по теме прямоугольник;
• Продолжать знакомить учащихся с определениями и свойствами прямоугольника;
• Научить школьников применять полученные знания по этой теме в процессе решения задач;
• Развивать заинтересованность к предмету математики, внимание, логическое мышление;
• Воспитывать умение к самоанализу и дисциплине.
Задачи урока
• Повторить и закрепить знания учащихся о таком понятии, как прямоугольник, опираясь на полученные знания в предыдущих классах;
• Продолжать усовершенствовать знания школьников о свойствах и признаках прямоугольников;
• Продолжать формировать навыки в процессе решения заданий;
• Вызвать интерес к урокам математики;
• Воспитывать интерес к точным наукам и положительное отношение к урокам математики.
План урока
1. Теоретическая часть, общие сведения, определения.
2. Повторение темы «Прямоугольники».
3. Свойства прямоугольника.
4. Признаки прямоугольника.
5. Интересные факты из жизни треугольников.
6. Золотой прямоугольник, общие понятия.
7. Вопросы и задания.
Что такое прямоугольник
В предыдущих классах вы уже изучали темы о прямоугольниках. А сейчас давайте освежим память и вспомним, что же это за такая фигура, которая носит название прямоугольник.
Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все четыре угла прямые и равняются 90 градусам.
Прямоугольник - это такая геометрическая фигура, которая состоит из четырех сторон и четырех прямых углов.
Противоположные стороны прямоугольника всегда равны.
Если рассматривать определение прямоугольника по евклидовой геометрии, то чтобы четырехугольник считался прямоугольником, необходимо, чтобы в этой геометрической фигуре, хотя бы три угла были прямыми. С этого следует, что и четвертый угол также будет равен девяносто градусам.
Хотя и так понятно, что если сумма углов четырехугольника не имеет 360 градусов, то эта фигура не может быть прямоугольником.
В случае, когда у правильного прямоугольника все стороны равны между собой, то такой прямоугольник носит название квадрата.
В некоторых случаях квадрат может выступать в роли ромба, если у такого ромба кроме равных между собой сторон и все углы прямые.
Чтобы доказать причастность какой-либо геометрической фигуры к прямоугольнику, достаточно чтобы эта геометрическая фигура соответствовала хотя бы одному из этих требований:
1. квадрат диагонали этой фигуры должен быть равен сумме квадратов двух сторон, которые имеют общую точку;
2. диагонали геометрической фигуры должны иметь одинаковую длину;
3. все углы геометрической фигуры должны равняться девяносто градусам.
Если эти условия отвечают хотя бы одному требованию, то перед вами прямоугольник.
Прямоугольник в геометрии является основной базовой фигурой, у которой имеется множество подвидов, со своими особыми свойствами и характеристиками.
Задание: Назовите геометрические фигуры, которые относятся к прямоугольникам.
Прямоугольник и его свойства
А теперь давайте вспомним о свойствах прямоугольника:
• У прямоугольника все его диагонали равны;
• Прямоугольник – это параллелограмм, у которого противоположные стороны параллельны;
• Стороны прямоугольника одновременно являются и его высотами;
• Противоположные стороны и углы прямоугольника равны;
• Около любого прямоугольника можно описать окружность, причем диагональ прямоугольника равна диаметру описанной окружности.
• Диагонали прямоугольника делят его на два равных треугольника;
• Следуя теореме Пифагора, квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его не противоположных сторон;
Задание:
1. Прямоугольник обладает такими двумя возможностями, при которых его можно разделить на два равных между собой прямоугольника. Начертите в тетради два прямоугольника и разделите их так, чтобы получились два равных между собой прямоугольника.
2. Опишите вокруг прямоугольника окружность, диаметр которой будет равен диагонали прямоугольника.
3. Можно ли вписать в прямоугольник окружность так, чтобы она касалась всех его сторон, но при условии, что этот прямоугольник не является квадратом?
Признаки прямоугольника
Параллелограмм является прямоугольником при условии:
1. если у него, хотя бы один из углов прямой;
2. если все четыре его угла прямые;
3. если противоположные стороны равны;
4. если, хотя бы три угла прямые;
5. если у него его диагонали равны;
6. если квадрат диагонали равен сумме квадратов не противолежащих сторон.
Это интересно знать
А знаете ли вы, что если в прямоугольнике, у которого неровные смежные стороны, провести биссектрисы углов, то при их пересечении в итоге получится прямоугольник.
А вот если проведенная биссектриса прямоугольника пересекает одну из его сторон, то она отсекает от этого прямоугольника, равнобедренный треугольник.
А известно ли вам, что еще до того, как Малевич написал свой знаменитый «Черный квадрат», в 1882 году на выставке в Париже была представлена картина Пола Било, на полотне которой был изображен черный прямоугольник с со своеобразным названием «Битва негров в туннеле».
Эта идея с черным прямоугольником вдохновила и других деятелей культуры. Французский писатель юморист Альфонс Алле выпустил целую серию своих работ и со временем появился прямоугольный пейзаж в радикальном красном цвете под названием «Уборка урожая помидоров на берегу Красного моря апоплексическими кардиналами», который также не имел никакого изображения.
Задание
1. Назовите свойство, которое присуще только прямоугольнику?
2. В чем отличие произвольного параллелограмма от прямоугольника?
3. Верно ли утверждение, что всякий прямоугольник является параллелограммом? Если это так, то докажите почему?
4. Перечислите четырехугольники, которые являются прямоугольниками.
5. Сформулируйте свойства прямоугольника.
Исторический факт
Прямоугольник Эвклида
Известно ли вам, что прямоугольник Эвклида, который называют золотым сечением, долгий период времени являлся для любого здания имеющего религиозное значение, совершенной и пропорциональной основой строительства в те времена. С его помощью были построены многие здания эпохи Возрождения и классические храмы в Древней Греции.
«Золотым» прямоугольником называется такой геометрический прямоугольник, в котором отношение большей стороны к меньшей равно золотой пропорции.
Такое отношение сторон этого прямоугольника составляло 382 к 618, или приблизительно 19 к 31. Прямоугольник Эвклида, на то время был самым целесообразным, удобным, безопасным и правильным прямоугольником из всех геометрических форм. Благодаря такой характеристике прямоугольник Эвклида или приближения к нему был использован повсюду. Его применяли в домах, картинах, предметах мебели, окнах, дверях и даже книгах.
Среди индейцев племени навахо прямоугольник сопоставляли с женской формой, так как она считалась обычной, стандартной формой дома, символизирующего женщину, которая этим домом владеет.
