*Воспитательные - посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.
*Воспитательные - посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.
-
=== <br>Задачи урока: ===
+
== Задачи урока ==
*Проверить умение учащихся решать задачи.
*Проверить умение учащихся решать задачи.
-
<br>
+
<br>
-
=== План урока: ===
+
== План урока ==
-
#Вступительное слово.<br>
+
#Вступительное слово.
#Повторение ранее изученного материала.
#Повторение ранее изученного материала.
-
#Уравнение окружности.<br>
+
#Уравнение окружности.
-
<br>
+
<br>
-
=== <u>Вступительное слово.</u><br> ===
+
=== Вступительное слово ===
-
''По традиции начнем с повторения ранее изученного материала. Для того что бы полностью разобраться с уравнением окружности нам нужно вспомнить:''<br>
+
По традиции начнем с повторения ранее изученного материала. Для того что бы полностью разобраться с уравнением окружности нам нужно вспомнить:<br>
*'''как окружность взаимосвязана с другими примитивами'''
*'''как окружность взаимосвязана с другими примитивами'''
-
*'''что такое прямоугольная система координат<br>'''
+
*'''что такое прямоугольная система координат'''
-
*'''что такое окружность и круг на первый взгляд'''<br>
+
*'''что такое окружность и круг на первый взгляд'''
-
<br>
+
<br>
-
Вы уверены что знаете, что такое окружность? ''Окружность- это не только замкнутая линия, но и совершенная линия, так считал '''''<i>Аристотель</i>'''. А как считают сейчас? Где вы видите окружность? А она... Эллипс - окружность?<br>
+
Вы уверены что знаете, что такое окружность? Окружность- это не только замкнутая линия, но и совершенная линия, так считал '''Аристотель'''. А как считают сейчас? Где вы видите окружность? А она... Эллипс - окружность?<br>
-
<br>
+
<br>
-
==== Немного истории.<br> ====
+
==== Немного истории ====
Только в Древней Греции '''окружность '''и '''круг '''получили свои названия.
Только в Древней Греции '''окружность '''и '''круг '''получили свои названия.
-
Самая простая из всех кривых линий - ''окружность''. ''Это одна из древнейших геометрических фигур''. Философы древности придавали ей большое значение. Согласно '''Аристотелю''', небесная материя, из которой состоят планеты и звезды, как самая совершенная, должна двигаться по самой совершенной линии - окружности. Сотни лет астрономы считали, что планеты двигаются по окружностям. Это ошибочное мнение было опровергнуто лишь в XVII веке учением '''Коперника, Галилея, Кеплера и Ньютона'''.
+
Самая простая из всех кривых линий - '''окружность'''. Это одна из древнейших геометрических фигур. Философы древности придавали ей большое значение. Согласно '''Аристотелю''', небесная материя, из которой состоят планеты и звезды, как самая совершенная, должна двигаться по самой совершенной линии - окружности. Сотни лет астрономы считали, что планеты двигаются по окружностям. Это ошибочное мнение было опровергнуто лишь в XVII веке учением '''Коперника, Галилея, Кеплера и Ньютона'''.
| '''Аристотель''', также известный как Стагирит по месту рождения (384, Стагир — 322 до н.э., Халкида на Эвбее) — древнегреческий философ и учёный.<br>
+
-
|}
+
-
<br>
+
''Аристотель, также известный как Стагирит по месту рождения (384, Стагир — 322 до н.э., Халкида на Эвбее) — древнегреческий философ и учёный.''<br>
| '''Николай Коперник''' (1473-1543) — польский астроном, создатель гелиоцентрической системы мира.<br>
+
-
| '''Галилео Галилей''' (итал. Galileo Galilei; 1564-1642) — итальянский физик, механик, астроном, философ и математик, оказавший значительное влияние на науку своего времени.<br>
+
-
|}
+
-
<br>
+
''Николай Коперник (1473-1543) — польский астроном, создатель гелиоцентрической системы мира.''
| '''Иоганн Кеплер''' (нем. Johannes Kepler; 1571-1630) — немецкий математик, астроном, оптик и астролог. Открыл законы движения планет.<br>
-
| Сэр '''Исаак Ньютон''' (англ. Sir Isaac Newton, 1642-1727) — английский физик, математик и астроном, один из создателей классической физики.<br>
-
|}
-
<br>
+
[[Image:13062011 2.jpg|300px|Галилео Галилей]]
-
=== <u>Повторение ранее изученного материала.</u> ===
+
''Галилео Галилей (итал. Galileo Galilei; 1564-1642) — итальянский физик, механик, астроном, философ и математик, оказавший значительное влияние на науку своего времени.''
+
+
+
[[Image:13062011 3.jpg|300px|Иоганн Кеплер ]]
+
+
''Иоганн Кеплер (нем. Johannes Kepler; 1571-1630) — немецкий математик, астроном, оптик и астролог. Открыл законы движения планет.''
+
+
+
[[Image:13062011 4.jpg|300px|Исаак Ньютон ]]
+
+
''Сэр Исаак Ньютон (англ. Sir Isaac Newton, 1642-1727) — английский физик, математик и астроном, один из создателей классической физики.''<br>
+
+
<br>
+
+
=== Повторение ранее изученного материала ===
Круглые тела в древности заинтересовали человека. Так в Древнем Египте для постройки знаменитых египетских пирамид никаких технических сооружений еще не было. Даже шлифовать огромные каменные глыбы приходилось вручную, а перемещали их с помощью бревен круглой формы. Позже вместо бревен стали использовать их части – в виде '''колес''', которые катились уже легче.
Круглые тела в древности заинтересовали человека. Так в Древнем Египте для постройки знаменитых египетских пирамид никаких технических сооружений еще не было. Даже шлифовать огромные каменные глыбы приходилось вручную, а перемещали их с помощью бревен круглой формы. Позже вместо бревен стали использовать их части – в виде '''колес''', которые катились уже легче.
-
==== '''<br>'''Геометрические примитивы.<br> ====
+
==== Геометрические примитивы ====
-
'''Фигура '''– это произвольное множество точек на плоскости. Точка, прямая, отрезок, луч, треугольник, круг, квадрат и так далее – всё это примеры геометрических фигур.<br>
+
'''Фигура '''– это произвольное множество точек на плоскости. Точка, прямая, отрезок, луч, треугольник, круг, квадрат и так далее – всё это примеры геометрических фигур.<br>
-
Основными геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая. Этим фигурам в геометрии не даётся определений.<br>
+
Основными геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая. Этим фигурам в геометрии не даётся определений.<br>
-
Неопределяемыми геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая.<br>
+
Неопределяемыми геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая.<br>
Точки принято обозначать прописными латинскими буквами: А, В, С, D …. Прямые обозначаются строчными латинскими буквами: а, b, с, d ….
Точки принято обозначать прописными латинскими буквами: А, В, С, D …. Прямые обозначаются строчными латинскими буквами: а, b, с, d ….
Строка 100:
Строка 93:
'''Прямая '''— одно из основных понятий геометрии.<br>Геометрическая прямая (прямая линия) — незамкнутый с двух сторон, протяженный не искривляющийся геометрический объект, поперечное сечение которого стремится к нулю, а продольная проекция на плоскость даёт точку.
'''Прямая '''— одно из основных понятий геометрии.<br>Геометрическая прямая (прямая линия) — незамкнутый с двух сторон, протяженный не искривляющийся геометрический объект, поперечное сечение которого стремится к нулю, а продольная проекция на плоскость даёт точку.
-
<br>
+
'''Треугольник '''— простейший многоугольник, имеющий 3 вершины (угла) и 3 стороны; часть плоскости, ограниченная тремя точками, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки.
-
'''[[Image:O.gif]] Треугольник '''— простейший многоугольник, имеющий 3 вершины (угла) и 3 стороны; часть плоскости, ограниченная тремя точками, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки.
+
'''Прямоугольник '''— это параллелограмм , у которого все углы прямые (равны 90 градусам).
'''[[Image:O.gif]] Прямоугольник '''— это параллелограмм , у которого все углы прямые (равны 90 градусам).
-
[[Image:19102010 3.png]]<br>
+
'''Окружность '''— геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой центром, на заданное ненулевое расстояние, называемое её радиусом.<br>
-
<br>
-
'''[[Image:O.gif]] Окружность '''— геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой центром, на заданное ненулевое расстояние, называемое её радиусом.<br>
+
[[Image:19102010 7.png|300px|Окружность]]<br>
-
[[Image:19102010 7.png]]<br>
-
<br>
+
==== Связь окружности с другими фигурами ====
-
==== Связь окружности с другими фигурами.<br> ====
+
'''Описанная окружность многоугольника''' — окружность, содержащая все вершины многоугольника. Центром является точка (принято обозначать O) пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.
-
''[[Image:O.gif]] Описанная окружность многоугольника'' — окружность, содержащая все вершины многоугольника. Центром является точка (принято обозначать O) пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.
''[[Image:O.gif]] Окружность называется вписанной'' в выпуклый многоугольник, если она лежит внутри данного многоугольника и касается всех прямых, проходящих через его стороны.<br>
+
'''Окружность называется вписанной''' в выпуклый многоугольник, если она лежит внутри данного многоугольника и касается всех прямых, проходящих через его стороны.<br>
''И так эта система координат имеет '''два своих вполне оправданных названия'''. '''Первым из них является''' декартова, такое название она получила от фамилии своего автора. '''И второе не менее интересное''' и оправданное - прямоугольная система координат, происхождение такого имени становится понятным после первого взгляда на саму систему координат. Угол между двумя направляющими равен '''90°''' такое угол зачастую называют прямым, откуда и пошло второе название.''
+
{{#ev:youtube|8MaaXFAob44}}
-
[[Image:29052011 5.jpg|242x243px|29052011 5.jpg]]
+
<br>
-
<br>
+
==== Прямоугольная система координат ====
-
==== Окружность и круг. ====
+
И так эта система координат имеет '''два своих вполне оправданных названия'''. '''Первым из них является''' декартова, такое название она получила от фамилии своего автора. '''И второе не менее интересное''' и оправданное - прямоугольная система координат, происхождение такого имени становится понятным после первого взгляда на саму систему координат. Угол между двумя направляющими равен '''90°''' такое угол зачастую называют прямым, откуда и пошло второе название.
-
'''[[Image:O.gif]] Окружность '''- это замкнутая прямая линия, все точки которой расположены на одинаковом расстоянии от одной внутренней точки, которая называется центром.
-
[[Image:O.gif]] А '''круг '''- это часть плоскости, ограниченная окружностью.<br>
+
[[Image:29052011 5.jpg|300px|Прямоугольная система координат]]
-
[[Image:13062011 5.gif]]
+
<br>
-
'''[[Image:O.gif]] Диаметр '''- это отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через центр этой окружности, это максимальное расстояние между точками одной фигуры. А вот половинка диаметра называется радиусом.
+
==== Окружность и круг. ====
-
''[[Image:O.gif]] '''''Радиус '''соединяет центр окружности с любой точкой окружности. Есть еще такое необычное слово - хорда.
+
'''Окружность '''- это замкнутая прямая линия, все точки которой расположены на одинаковом расстоянии от одной внутренней точки, которая называется центром.
-
''[[Image:O.gif]] '''''Хорда '''- это отрезок, который соединяет две точки окружности, но, в отличие от диаметра, хорда не проходит через центр окружности - ей больше нравится находиться около окружности.<br>
+
А '''круг '''- это часть плоскости, ограниченная окружностью.<br>
-
'''[[Image:O.gif]] '''Круговым '''сектором '''или просто сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.
+
'''Диаметр '''- это отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через центр этой окружности, это максимальное расстояние между точками одной фигуры. А вот половинка диаметра называется радиусом.
+
+
'''Радиус '''соединяет центр окружности с любой точкой окружности. Есть еще такое необычное слово - хорда.
+
+
'''Хорда '''- это отрезок, который соединяет две точки окружности, но, в отличие от диаметра, хорда не проходит через центр окружности - ей больше нравится находиться около окружности.<br>
+
+
'''Круговым сектором '''или просто сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.
Для построения окружности необходим новый чертежный инструмент – '''циркуль'''.
Для построения окружности необходим новый чертежный инструмент – '''циркуль'''.
+
{{#ev:youtube|wjdLFDt1qKQ}}
{{#ev:youtube|wjdLFDt1qKQ}}
-
<br>
-
=== <u>Уравнение окружности. </u> ===
+
=== Уравнение окружности ===
-
''Есть много способов для предоставления уравнения окружности, но как по мне, одним из самых простых это с помощью теоремы '''Пифагора'''. ''<br>
+
Есть много способов для предоставления уравнения окружности, но как по мне, одним из самых простых это с помощью теоремы '''Пифагора'''. <br>
-
[[Image:T.gif]] '''теорема Пифагора:'''<br>
+
'''Теорема Пифагора:'''<br>
-
'''''Геометрическая формулировка:'''''
+
'''Геометрическая формулировка:'''
*В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.<br>
*В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.<br>
Пусть есть окружность с центром в точке A (a; b) и радиусом R. Возьмем произвольную точку В (x; y) на окружности. Тогда, как видно из рисунка можно применить теорему Пифагора.<br>
Пусть есть окружность с центром в точке A (a; b) и радиусом R. Возьмем произвольную точку В (x; y) на окружности. Тогда, как видно из рисунка можно применить теорему Пифагора.<br>
-
Получаем прямоугольный треугольник с сторонами АВ, ВС и СА.<br>
В геометрии треугольника ''окружность девяти точек'' — это окружность, проходящая '''через середины всех трёх сторон треугольника'''. Она также называется окружностью '''Эйлера''', окружностью '''Фейербаха''', окружностью шести точек.<br>
+
В геометрии треугольника '''окружность девяти точек''' — это окружность, проходящая '''через середины всех трёх сторон треугольника'''. Она также называется окружностью '''Эйлера''', окружностью '''Фейербаха''', окружностью шести точек.<br>
Окружность девяти точек получила такое название из-за следующей теоремы:
Окружность девяти точек получила такое название из-за следующей теоремы:
-
[[Image:T.gif]] Основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, лежат все на одной окружности.
+
Основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, лежат все на одной окружности.
-
''Окружность девяти точек обладает ещё целым рядом свойств:''
+
'''Окружность девяти точек обладает ещё целым рядом свойств:'''
*Центр окружности девяти точек лежит на прямой Эйлера, точно в середине отрезка между ортоцентром и центром описанной окружности.
*Центр окружности девяти точек лежит на прямой Эйлера, точно в середине отрезка между ортоцентром и центром описанной окружности.
Строка 226:
Строка 206:
*(теорема Фейербаха) Окружность девяти точек произвольного треугольника касается вписанной и всех трёх вневписанных окружностей этого треугольника.
*(теорема Фейербаха) Окружность девяти точек произвольного треугольника касается вписанной и всех трёх вневписанных окружностей этого треугольника.
-
Эйлер в 1765 году доказал, что основания высот и середины сторон лежат на одной окружности (отсюда название «окружность шести точек»). Первое полное доказательство общего результата было, по-видимому, опубликовано Карлом Фейербахом в 1821 году (вместе с теоремой, носящей его имя), но есть указания на то, что оно было известно и ранее.<u></u><u></u><u></u><u></u><u></u><br>
+
Эйлер в 1765 году доказал, что основания высот и середины сторон лежат на одной окружности (отсюда название «окружность шести точек»). Первое полное доказательство общего результата было, по-видимому, опубликовано Карлом Фейербахом в 1821 году (вместе с теоремой, носящей его имя), но есть указания на то, что оно было известно и ранее.
-
<u></u>
-
<u></u>
+
==Вопросы==
-
----
+
#''Что такое геометрические примитивы?''
+
#''В чем разница между кругом и окружностью?''
+
#''С помощью какой теоремы можно представить уравнение окружности?''
-
<u>'''Вопросы:'''</u>
+
==Список использованных источников==
-
#Что такое геометрические примитивы?<br>
+
#''Бубенцова Марина Николаевна, учитель математики МОУ СОШ с. Ульяновка, Тамалинского района''
-
#В чем разница между кругом и окружностью?
+
#''Понарин Я.П. Элементарная геометрия. В 2 тт.. — М.: МЦНМО, 2004''
-
#С помощью какой теоремы можно представить уравнение окружности?<br>
+
#''Льюис Кэррол, «История с узелками»''
-
<u>'''Список использованных источников:'''</u>
-
-
#Бубенцова Марина Николаевна, учитель математики МОУ СОШ с. Ульяновка, Тамалинского района<br>
-
#Понарин Я.П. Элементарная геометрия. В 2 тт.. — М.: МЦНМО, 2004<br>
-
#Льюис Кэррол, «История с узелками»<br>
----
----
-
'''<u>Над уроком работали:</u>'''
-
Потурнак С.А.<br>
+
'''Над уроком работали'''
+
+
Потурнак С.А.
Бубенцова Марина Николаевна
Бубенцова Марина Николаевна
+
----
----
-
Поставить вопрос о современном образовании, выразить идею или решить назревшую проблему Вы можете на [http://xvatit.com/forum/ '''Образовательном форуме'''], где на международном уровне собирается образовательный совет свежей мысли и действия. Создав [http://xvatit.com/club/blogs/ '''блог,'''] Вы не только повысите свой статус, как компетентного преподавателя, а и сделаете весомый вклад в развитие школы будущего. [http://xvatit.com/school/guild/ '''Гильдия Лидеров Образования'''] открывает двери для специалистов высшего ранга и приглашает к сотрудничеству в направлении создания лучших в мире школ.<br>
+
+
Поставить вопрос о современном образовании, выразить идею или решить назревшую проблему Вы можете на [http://xvatit.com/forum/ '''Образовательном форуме'''], где на международном уровне собирается образовательный совет свежей мысли и действия. Создав [http://xvatit.com/club/blogs/ '''блог,'''] Вы не только повысите свой статус, как компетентного преподавателя, а и сделаете весомый вклад в развитие школы будущего. [http://xvatit.com/school/guild/ '''Гильдия Лидеров Образования'''] открывает двери для специалистов высшего ранга и приглашает к сотрудничеству в направлении создания лучших в мире школ.<br>
Воспитательные - посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.
Задачи урока
Проверить умение учащихся решать задачи.
План урока
Вступительное слово.
Повторение ранее изученного материала.
Уравнение окружности.
Вступительное слово
По традиции начнем с повторения ранее изученного материала. Для того что бы полностью разобраться с уравнением окружности нам нужно вспомнить:
какие геометрические примитивы существуют
как окружность взаимосвязана с другими примитивами
что такое прямоугольная система координат
что такое окружность и круг на первый взгляд
Вы уверены что знаете, что такое окружность? Окружность- это не только замкнутая линия, но и совершенная линия, так считал Аристотель. А как считают сейчас? Где вы видите окружность? А она... Эллипс - окружность?
Немного истории
Только в Древней Греции окружность и круг получили свои названия.
Самая простая из всех кривых линий - окружность. Это одна из древнейших геометрических фигур. Философы древности придавали ей большое значение. Согласно Аристотелю, небесная материя, из которой состоят планеты и звезды, как самая совершенная, должна двигаться по самой совершенной линии - окружности. Сотни лет астрономы считали, что планеты двигаются по окружностям. Это ошибочное мнение было опровергнуто лишь в XVII веке учением Коперника, Галилея, Кеплера и Ньютона.
Аристотель, также известный как Стагирит по месту рождения (384, Стагир — 322 до н.э., Халкида на Эвбее) — древнегреческий философ и учёный.
Николай Коперник (1473-1543) — польский астроном, создатель гелиоцентрической системы мира.
Галилео Галилей (итал. Galileo Galilei; 1564-1642) — итальянский физик, механик, астроном, философ и математик, оказавший значительное влияние на науку своего времени.
Иоганн Кеплер (нем. Johannes Kepler; 1571-1630) — немецкий математик, астроном, оптик и астролог. Открыл законы движения планет.
Сэр Исаак Ньютон (англ. Sir Isaac Newton, 1642-1727) — английский физик, математик и астроном, один из создателей классической физики.
Повторение ранее изученного материала
Круглые тела в древности заинтересовали человека. Так в Древнем Египте для постройки знаменитых египетских пирамид никаких технических сооружений еще не было. Даже шлифовать огромные каменные глыбы приходилось вручную, а перемещали их с помощью бревен круглой формы. Позже вместо бревен стали использовать их части – в виде колес, которые катились уже легче.
Геометрические примитивы
Фигура – это произвольное множество точек на плоскости. Точка, прямая, отрезок, луч, треугольник, круг, квадрат и так далее – всё это примеры геометрических фигур.
Основными геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая. Этим фигурам в геометрии не даётся определений.
Неопределяемыми геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая.
Точки принято обозначать прописными латинскими буквами: А, В, С, D …. Прямые обозначаются строчными латинскими буквами: а, b, с, d ….
Точка — это одно из фундаментальных понятий геометрии, поэтому "точка" не имеет определения. Евклид определил точку как то, что нельзя разделить. Также в геометрии нет определения "прямой" (имеется в виду прямая линия).
Прямая — одно из основных понятий геометрии. Геометрическая прямая (прямая линия) — незамкнутый с двух сторон, протяженный не искривляющийся геометрический объект, поперечное сечение которого стремится к нулю, а продольная проекция на плоскость даёт точку.
Треугольник — простейший многоугольник, имеющий 3 вершины (угла) и 3 стороны; часть плоскости, ограниченная тремя точками, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки.
Прямоугольник — это параллелограмм , у которого все углы прямые (равны 90 градусам).
Окружность — геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой центром, на заданное ненулевое расстояние, называемое её радиусом.
Связь окружности с другими фигурами
Описанная окружность многоугольника — окружность, содержащая все вершины многоугольника. Центром является точка (принято обозначать O) пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.
Окружность называется вписанной в выпуклый многоугольник, если она лежит внутри данного многоугольника и касается всех прямых, проходящих через его стороны.
Прямоугольная система координат
И так эта система координат имеет два своих вполне оправданных названия. Первым из них является декартова, такое название она получила от фамилии своего автора. И второе не менее интересное и оправданное - прямоугольная система координат, происхождение такого имени становится понятным после первого взгляда на саму систему координат. Угол между двумя направляющими равен 90° такое угол зачастую называют прямым, откуда и пошло второе название.
Окружность и круг.
Окружность - это замкнутая прямая линия, все точки которой расположены на одинаковом расстоянии от одной внутренней точки, которая называется центром.
А круг - это часть плоскости, ограниченная окружностью.
Диаметр - это отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через центр этой окружности, это максимальное расстояние между точками одной фигуры. А вот половинка диаметра называется радиусом.
Радиус соединяет центр окружности с любой точкой окружности. Есть еще такое необычное слово - хорда.
Хорда - это отрезок, который соединяет две точки окружности, но, в отличие от диаметра, хорда не проходит через центр окружности - ей больше нравится находиться около окружности.
Круговым сектором или просто сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.
Для построения окружности необходим новый чертежный инструмент – циркуль.
Уравнение окружности
Есть много способов для предоставления уравнения окружности, но как по мне, одним из самых простых это с помощью теоремы Пифагора.
Теорема Пифагора:
Геометрическая формулировка:
В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.
Алгебраическая формулировка:
В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
Пусть есть окружность с центром в точке A (a; b) и радиусом R. Возьмем произвольную точку В (x; y) на окружности. Тогда, как видно из рисунка можно применить теорему Пифагора.
Получаем прямоугольный треугольник с сторонами АВ, ВС и СА.
Если центр окружности находится в начале координат, т.е. a=0 и b=0, то уравнение окружности принимает вид:
Обратно: любая точка В, координаты которой удовлетворяет данному уравнению окружности, принадлежат окружности.
Интересный факт
Окружность девяти точек.
В геометрии треугольника окружность девяти точек — это окружность, проходящая через середины всех трёх сторон треугольника. Она также называется окружностью Эйлера, окружностью Фейербаха, окружностью шести точек.
Окружность девяти точек получила такое название из-за следующей теоремы:
Основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, лежат все на одной окружности.
Окружность девяти точек обладает ещё целым рядом свойств:
Центр окружности девяти точек лежит на прямой Эйлера, точно в середине отрезка между ортоцентром и центром описанной окружности.
Радиус окружности девяти точек равен половине радиуса описанной окружности. Более того, описанная окружность есть образ окружности девяти точек относительно гомотетии с центром в ортоцентре и коэффициентом 2.
(теорема Фейербаха) Окружность девяти точек произвольного треугольника касается вписанной и всех трёх вневписанных окружностей этого треугольника.
Эйлер в 1765 году доказал, что основания высот и середины сторон лежат на одной окружности (отсюда название «окружность шести точек»). Первое полное доказательство общего результата было, по-видимому, опубликовано Карлом Фейербахом в 1821 году (вместе с теоремой, носящей его имя), но есть указания на то, что оно было известно и ранее.
Вопросы
Что такое геометрические примитивы?
В чем разница между кругом и окружностью?
С помощью какой теоремы можно представить уравнение окружности?
Список использованных источников
Бубенцова Марина Николаевна, учитель математики МОУ СОШ с. Ульяновка, Тамалинского района
Понарин Я.П. Элементарная геометрия. В 2 тт.. — М.: МЦНМО, 2004
Льюис Кэррол, «История с узелками»
Над уроком работали
Потурнак С.А.
Бубенцова Марина Николаевна
Поставить вопрос о современном образовании, выразить идею или решить назревшую проблему Вы можете на Образовательном форуме, где на международном уровне собирается образовательный совет свежей мысли и действия. Создав блог, Вы не только повысите свой статус, как компетентного преподавателя, а и сделаете весомый вклад в развитие школы будущего. Гильдия Лидеров Образования открывает двери для специалистов высшего ранга и приглашает к сотрудничеству в направлении создания лучших в мире школ.
