Версия 18:47, 12 апреля 2011

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс. Полные уроки>>Геометрия: Теорема Фалеса. Полные уроки

ТЕМА УРОКА: Теорема Фалеса.

Цели урока:

• Познакомиться с новыми определениями и вспомнить некоторые уже изученные.
  
• Сформулировать и доказать свойства квадрата, доказать его свойства.
  
• Научиться применять свойства фигур при решении задач.
• Развивающие – развить внимание учащихся, усидчивость, настойчивость, логическое мышление, математическую речь.
• Воспитательные - посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.

Задачи урока:

• Проверить умение учащихся решать задачи.

План урока:

1. Историческая справка.
   
2. Фалес как математик и его труды.
3. Теорема Фалеса.
4. Полезно вспомнить.
   

Историческая справка.

Фалес.

Первым в ряду милетских философов был Фалес (родился приблизительно в 625 г. умер в середине VI в. до н.э.) – родоначальник европейской науки и философии, кроме того, он математик, астроном и политический деятель, пользовавшийся большим уважением сограждан, Фалес происходил из знатного финикийского рода, был современником Солона и Креза.

Несмотря на огромное значение, которое он имеет, о нем мало известно.

Будучи купцом, он использовал торговые поездки в целях расширения научных сведений и знания, которые он приобрел в Финикии и Египте – перенес в Грецию

Он был гидроинженером, прославившимся своими работами, разносторонним учёным и мыслителем, изобретателем астрономических приборов. Как учёный он широко прославился в Греции, сделав удачное предсказание солнечного затмения, наблюдавшегося в Греции в 585 г. до н.э. Для этого предсказания Фалес использовал почерпнутые им в Египте астрономические сведения, восходящие к наблюдениям и обобщениям вавилонской науки.

По свидетельствам Геродота и Диогена Фалес приобрел славу своей мудростью, причем весьма практической. Например, основываясь на своих знаниях однажды он предсказал обильный урожай оливок, и, арендовав маслобойню, получил большую прибыль.

Фалес также входил в число знаменитых семи мудрецов, чьи изречения дошли до наших дней. Ему приписывают следующие:

• Старше всех вещей – Бог, ибо он не рожден.
• Прекраснее всего – космос, ибо он – творение Бога.
• Больше всего – пространство, ибо оно вмещает всех.
• Мудрее всего - время, ибо оно обнаруживает всё.
• Быстрее всего – мысль, ибо она бежит без остановки.
• Сильнее всего – необходимость, ибо она одолевает всех.

Земля, с точки зрения философа, держится на воде и окружена со всех сторон океаном. Она пребывает на воде, как диск или доска, плавающая на поверхности водоёма.

Фалесу принадлежит попытка разобраться и в строении окружающей Землю вселенной, определить, в каком порядке расположены по отношению к Земле небесные светила: Луна, Солнце, звёзды. И в этом вопросе Фалес опирался на результаты вавилонской науки. Но ему представлялся порядок светил обратный тому, что существует в действительности: он полагал, что ближе всего к Земле находится так называемое небо неподвижных звёзд, а дальше всего – Солнце. Эта ошибка была исправлена его продолжателями.

Хотя идея Фалеса о первосущности представляется нам сейчас наивной, но с исторической точки зрения она чрезвычайно важна: в положении “все из воды” была дана отставка языческим богам, в конечном счете мифологическому мышлению, и продолжен путь к естественному объяснению природы.

Фалесу впервые пришла мысль о единстве мироздания. Эта идея, однажды родившись, никогда уже не умирала: она сообщалась его ученикам и ученикам его учеников.

Разносторонние познания Фалеса имели определенное влияние на развитие его философского мышления. Так, например, геометрия в то время была настолько развитой наукой, что являлась определенной основой научной абстракции. Именно это и повлияло на взгляды Фалеса.

Фалес как геометр и его труды.

Фалес известен и как геометр. Условно ему приписывают открытие и доказательство ряда теорем: о делении круга диаметром пополам, о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника, о равенстве вертикальных углов, один из признаков равенства прямоугольных треугольников и другие.Фалес открыл любопытный способ определения расстояния от берега до видимого корабля. Одни историки утверждают, что для этого им был использован признак подобия прямоугольных треугольников. Потомки Фалеса обязаны ему тем, что он, пожалуй, впервые ввел в науку, и в частности в математику, доказательство.

Известно сейчас, что многие математические правила были открыты намного раньше, чем в Греции. Но все - опытным путем. Строго логическое доказательство правильности каких-либо предложений на основании общих положений, принятых за достоверные истины, было изобретено греками. Характерно и совершенно новая черта греческой математики заключается в постепенном переходе при помощи доказательства от одного предположения к другому. Именно такой характер математике был предан Фалесом. И даже сегодня, через 25 веков, приступая к доказательству, например, теоремы о свойствах ромба, вы, в сущности, рассуждаете почти так, как это делали ученики Фалеса.

Трудно сейчас сказать, что в научном перечне принадлежит действительно Фалесу и что приписано ему потомками, восхищенными его гением. Несомненно, в лице Фалеса Греция впервые обрела одновременно философа, математика и естествоиспытателя. Не случайно древние причислили его к "великолепной семерке" мудрецов древности.

Полезно вспомнить.

Файл:12042011 3.gif

Две прямые AB и CD (рис.) называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются, сколько бы их ни продолжать. Обозначение: AB|| CD. Все точки одной параллельной прямой находятся на одинаковом расстоянии от другой параллельной прямой. Все прямые, параллельные одной прямой, параллельны между собой. Принято считать, что угол между параллельными прямыми равен нулю. Угол между двумя параллельными лучами равен нулю, если у них одинаковые направления, и 180°, если их направления противоположны.

Файл:12042011 4.gif

Все перпендикуляры (AB, CD, EF,  рис.) к одной и той же прямой KM параллельны между собой. Обратно, прямая KM, перпендикулярная к одной из параллельных прямых, перпендикулярна и к остальным. Длина отрезка перпендикуляра, заключённого между двумя параллельными прямыми, есть расстояние между ними.

Файл:12042011 5.gif

При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, образуются восемь углов (рис.), которые попарно называются:

1)  соответственные углы ( 1 и 5; 2 и 6; 3 и 7; 4 и 8 ); эти углы попарно 
          равны: ( 1 = 5; 2 = 6; 3 = 7; 4 = 8 );
2)  внутренние накрест лежащие углы ( 4 и 5; 3 и 6 ); они попарно равны;
3)  внешние накрест лежащие углы ( 1 и 8; 2 и 7 ); они попарно равны;
4)  внутренние односторонние углы ( 3 и 5; 4 и 6 ); их сумма равна 180°
          ( 3 + 5 = 180° ; 4 + 6 = 180° );
5)  внешние односторонние углы  ( 1 и 7; 2 и 8 ); их сумма равна 180°
          ( 1 + 7 = 180°; 2 + 8 = 180°).

Теорема Фалеса.

Файл:12042011 6.gif

Если на одной из двух прямых отложить последовательно равные отрезки и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

Справедливо и более общее утверждение, называемое обобщенной теоремой Фалеса:

отрезки, высекаемые параллельными прямыми на одной прямой, пропорциональны отрезкам на другой прямой.

Никакие труды Фалеса до нас не дошли и их содержание историки науки восстанавливают по косвенным данным. Фалесу приписывают доказательства семи геометрических теорем, среди них приведенную выше, а также теорему о равенстве вертикальных углов. В иностранных учебниках геометрии теоремой Фалеса называется утверждение о том, что вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой.

Файл:T.gif Теорема. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Доказательство.

Пусть точки A₁, A₂, A₃ – точки пересечения параллельных прямых с одной из сторон угла. А точки B₁, B₂, B₃ – соответствующие точки пересечения этих прямых с другой стороной угла. Докажем, что если A₁A₂ = A₂A₃, то B₁B₂=B₂B₃.
Проведем через точку В₂ прямую С₁С₂, параллельную прямой A₁A₂. Получаем параллелограммы A₁C₁BA₂ и A₂B₂C₂A₃. По свойствам параллелограмма, A₁A₂ = C₁B₂ и A₂A₃ = B₂C₂. Так как A₁A₂ = A₂A₃, то C₁B₂ = B₂C₂.
Δ C₁B₂B₁ = Δ C₂B₂B₃ по второму признаку равенства треугольников (C₁B₂ = B₂C₂, ∠ C₁B₂B₁ = ∠ C₂B₂B₃, как вертикальные, ∠ B₁C₁B₂ = ∠ = B₃C₂B₂, как внутренние накрест лежащие при прямых B₁C₁ и C₂B₃ и секущей С₁С₂). Из равенства треугольников следует, что B₁B₂=B₂B₃. Теорема доказана.

То есть что имеется в виду.

(АВ = BC, AA₁||BB₁||CC₁)  A₁B₁ = В₁С₁

Теорема о пропорциональных отрезках (обобщение теоремы Фалеса).

Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.

или

Интересный факт:

• Теорема Фалеса до сих пор используется в морской навигации в качестве правила о том, что столкновение судов, двигающихся с постоянной скоростью, неизбежно, если сохраняется курс судов друг на друга.
  

Морская навигация

• Вне русскоязычной литературы теоремой Фалеса иногда называют другую теорему планиметрии, а именно, утверждение о том, что вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, является прямым. Открытие этой теоремы действительно приписывается Фалесу, о чём есть свидетельство Прокла.

• Основы геометрии Фалес постигал в Египте.
  

Вопросы:

1. Какие прямые называются параллельными?<u</u>
   
2. Где практически применяется теорема Фалеса?
   
3. О чем гласит теорема Фалеса?
   

Список использованных источников:

1. Энциклопедия для детей. Т.11. Математика/Глав.ред.М.Д.Аксенова.-м.:Аванта+,2001.
2. «Единый государственный экзамен 2006. Математика. Учебно-тренировочные материалы для подготовки учащихся/ Рособрнадзор, ИСОП – М.: Интеллект-Центр, 2006»
3. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина «Геометрия, 7 – 9: учебник для общеобразовательных учреждений»

Над уроком работали:

Кузнецов А. В.

Потурнак С.А.

Поставить вопрос о современном образовании, выразить идею или решить назревшую проблему Вы можете на Образовательном форуме, где на международном уровне собирается образовательный совет свежей мысли и действия. Создав блог, Вы не только повысите свой статус, как компетентного преподавателя, а и сделаете весомый вклад в развитие школы будущего. Гильдия Лидеров Образования открывает двери для специалистов  высшего ранга и приглашает к сотрудничеству в направлении создания лучших в мире школ.