Версия 07:51, 28 сентября 2010

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>>Математика: Решение неравенств с одной переменной

РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
В этом параграфе речь пойдет о принципиальных вопросах, связанных с решением неравенств с одной переменной: что такое равносильные неравенства; какие преобразования неравенств являются равносильными, а какие — нет. Эти вопросы мы обсуждали в курсе алгебры, начиная с 8-го класса, да и в настоящем учебнике о них уже шла речь, например, при решении показательных и логарифмических неравенств. Мы снова возвращаемся к этим вопросам потому, что завершая изучение школьного курса алгебры, целесообразно как бы заново переосмыслить общие идеи и методы.
1. Равносильность неравенств
Напомним, что решением неравенства а(х) > п(х) называют всякое значение переменной х, которое обращает заданное неравенство с переменной в верное числовое неравенство. Иногда используют термин частное решение. Множество всех частных решений неравенства называют общим решением, но чаще употребляют термин решение. Таким образом, термин решение используют в трех смыслах: и как общее решение, и как частное решение, и как процесс, но обычно по смыслу бывает ясно, о чем идет речь.
Определение 1. Два неравенства с одной переменной f(x)>g(x)и p(х)> h(x) называют равносильными, если их решения (т.е. множества частных решений) совпадают.
Вы, конечно, понимаете, что использование в определении знака > непринципиально. Можно и в этом определении, и во всех утверждениях, имеющихся в данном параграфе, использовать любой другой знак неравенства, как строгого, так и нестрогого.
Определение 2. Если решение неравенства

содержится в решении неравенства

то неравенство (2) называют следствием неравенства (1)
Например, неравенство х² >9 является следствием неравенства 2х>6. В самом деле, преобразовав первое неравенство к виду х² -9 >0и далее к виду (х-3)(х+3) >0 и применив метод интервалов (рис. 245), получаем, что решением неравенства служит объединение двух открытых лучей: Решение второго неравенства 2х>6 имеет вид х>3, т.е. представляет собой открытый луч Решение второго неравенства является частью решения первого неравенства, а потому первое неравенство — следствие второго.
Любопытно, что ситуация изменится радикальным образом, если в обоих неравенствах изменить знак неравенства. Неравенство 2х < 6 будет следствием неравенства x² < 9. В самом деле, решением первого неравенства служит открытый луч . Преобразовав второе неравенство к виду х^r - 9 <0 и далее к виду (х-3)(х+3) <06 применив метод интервалов (см. рис. 245), получаем, что решением неравенства служит интервал (-3, 3). Решение второго неравенства является частью решения первого неравенства, а потому первое неравенство — следствие второго.
При решении уравнений мы не очень опасались того, что в результате некоторых преобразований можем получить уравнение-следствие, поскольку посторонние корни мы всегда могли отсеять с помощью проверки. В неравенствах, где решение чаще всего представляет собой бесконечное множество чисел, доводить дело до проверки нецелесообразно. Поэтому в неравенствах стараются выполнять только равносильные преобразования.
Решение неравенств, встречающихся в школьном курсе алгебры, основано на шести теоремах о равносильности, в определенном смысле аналогичных соответствующим теоремам о равносильности уравнений (см. § 55).
Теорема 1. Если какой-либо член неравенства перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, оставив знак неравенства без изменения, то получится неравенство, равносильное данному.
Теорема 2. Если обе части неравенства возвести в одну и ту же нечетную степень, оставив знак неравенства без изменения, то получится неравенство, равносильное данному.
Теорема 3. Показательное неравенство равносильно:
а)    неравенству f(х) > g(х) того же смысла, если а > 1;
б)    неравенству f(x) < g(х) противоположного смысла, если О < а < 1.
Теорема 4. а) Если обе части неравенства f(х) > g(х) умножить на одно и то же выражение h(х), положительное при всех х из области определения (области допустимых значений) неравенства f(х) > g(х), оставив при этом знак неравенства без изменения, то получится неравенство f(х)h(х) > g(х)h(х), равносильное данному.
б) Если обе части неравенства f(х)>g(х) умножить на одно и то же выражение h(х), отрицательное при всех х из области определения неравенства f(х)> g(х), изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство f(х)h(х) < g(х)h(х), равносильное данному.
Теорема 5. Если обе части неравенства f(х) > g(х) неотрицательны в области его определения, то после возведения обеих частей неравенства в одну и ту же четную степень п получится неравенство того же смысла: f(х)ⁿ >g(х)ⁿ, равносильное данному.
Теорема 6. Если {(х) > О и §(х) > О, то логарифмическое неравенство 1о%а /(ж) >1 оёа ё(х) равносильно:
а)    неравенству /(х) >§(х) того же смысла, если а > 1;
б)    неравенству 1(х)<§(х) противоположного смысла, если О < а < 1.
Теоремами 1 и 4 вы активно пользовались в курсе алгебры 9-го класса, когда решали рациональные неравенства и их системы. Теорему 3 мы использовали выше, в § 47, для решения показательных неравенств. Теорему 6 мы использовали в § 52 для решения логарифмических неравенств.
2. Системы и совокупности неравенств
Определение 3. Говорят, что несколько неравенств с одной переменной образуют систему неравенств, если ставится задача найти все общие решения заданных неравенств. Значение переменной, при котором каждое из неравенств системы обращается в верное числовое неравенство, называют частным решением системы неравенств. Множество всех частных решений системы неравенств
310
представляет собой общее решение системы неравенств (чаще говорят просто решение системы неравенств).
Решить систему неравенств — значит найти все ее частные решения. Решение системы неравенств представляет собой пересечение решений неравенств, образующих систему.
Определение 4. Говорят, что несколько неравенств с одной переменной образуют совокупность неравенств, если ставится задача найти все такие значения переменной, каждое из которых является решением хотя бы одного из заданных неравенств. Каждое такое значение переменной называют частным решением совокупности неравенств. Множество всех частных решений совокупности неравенств представляет собой решение совокупности неравенств.
Решение совокупности неравенств представляет собой объединение решений неравенств, образующих совокупность.
Неравенства, образующие систему, объединяются фигурной скобкой, а неравенства, образующие совокупность, — квадратной скобкой. Впрочем, для неравенств, образующих совокупность, вполне допустима запись в строчку через точку с запятой. Напри-
• 2 1
мер, решение неравенства зш х > — сводится к решению совокуп-
1 1
ности неравенств: зшх > зтх <—.
2 2
Пример 1. Решить систему и совокупность неравенств: -1>3, Г2х-1>3,
2 >11; Зх-2>11.
Решение, а) Решая первое неравенство системы, находим 2х >4, х>2.
13
Решая второе неравенство системы, находим Зх> 13, х> —. Отметим эти
3
промежутки на одной координатной прямой, использовав для первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго — нижнюю штриховку (рис. 246). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. В рассматриваемом примере ("13 ^
получаем луч —~ I.    рис. 246
б) Решением совокупности неравенств будет объединение решений неравенств совокупности. В рассматриваемом примере получаем (см. рис. 246) открытый луч (2, + со) — промежуток, на котором имеется хотя бы одна штриховка.
13
Ответ: &)х>—; б)х>2.
Если в системе из нескольких неравенств одно является следствием другого (или других), то неравенство-следствие можно отбросить. Мы этим уже фактически пользовались. Рассмотрим еще раз пример решения логарифмического неравенства из § 52.
ьии^тем
(2х-
                                       
        , /                ' |    ; <    /    А   
    У о                                    X
                                       
                        - з ■               
311
Пример 2. Решить неравенство 1об,(16 + 4х-х2)< -4.
2 1
Решение. Представим число -4 в виде логарифма по основанию -:
2
-4 = 1о®, (— ] =1о®, 16. Это позволит переписать заданное неравенство в
А2) 2
виде:
10^! (16 + 4х-Х2)< 10^116.
2 2
Учитывая, что здесь основанием логарифмов служит число меньше 1, составляем, пользуясь теоремой 6, систему неравенств, равносильную заданному логарифмическому неравенству:
(16 + 4х-х2 >0,
[16 + 4х-х2 >16.
Если выполняется второе неравенство системы, то автоматически выполняется и первое неравенство (если А> 16, то тем более А >0). Значит, первое неравенство — следствие второго и его можно отбросить. Решая второе неравенство, находим:
дс2 -4х <0;
*(*-4)<0;
0<*<4.
Ответ: 0< х <4.
Снова вернемся к § 52. Мы говорили, что при решении логарифмических неравенств переходят от неравенства
1оеаЛ*)>1°ев2(*)    (1)
при а > 1 к равносильной системе неравенств:
7(*)>о,
!?(*)> О,    (2)
Т(х)>8(х),
а при 0 < а < 1 к равносильной системе неравенств:
7(*)>о,
*(*)>0,    (3)
Г(х)<ё(х).
Первые два неравенства каждой из этих систем определяют ОДЗ переменной для неравенства (1), а знак последнего неравенства каждой из систем либо совпадает со знаком неравенства (1) — в случае, когда а >1, — либо противоположен знаку неравенства (1) — в случае, когда 0 < а < 1.
А теперь обратим внимание на одно обстоятельство, которое мы в общем виде не обсуждали в § 52. В каждой из составленных систем есть по одному «лишнему» неравенству. В системе (2) имеем {(х)>ё(х), >0; отсюда, по свойству транзитивности неравенств, можно сделать вывод, что /(х) >0. Это значит, что первое нера-
312
венство системы (2) является следствием второго и третьего неравенств, а неравенство-следствие можно отбросить. Таким образом, систему (2) можно заменить более простой системой:
8(х)>0, Кх)>8(х).
Аналогично можно установить, что систему (3) можно заменить более простой системой неравенств:
Пх)>0, Г(х)<в(х).
В примере 2 нам встретился типичный случай, когда решение заданного неравенства сводится к решению системы неравенств. Бывают и более сложные неравенства, сводящиеся к модели «совокупность систем неравенств». Это значит, что надо найти решения всех составленных систем неравенств, а затем эти решения объединить.
Пример 3. Решить неравенство 1оех_2(2х - 3) > 1оёх_2(24-6х).
Решение. Рассмотрим два случая: 1)х-2>1; 2)0<'х-2<1.
В первом случае, записав условия, определяющие ОДЗ: 2х-3>0 и 24-6* >0, — мы можем «освободиться» от знаков логарифмов, сохранив, согласно теореме 6 знак исходного неравенства: 2х -3 >24-6*.
Во втором случае, записав условия, определяющие ОДЗ: 2х-3 >0 и 24-6х >0, — мы можем «освободиться» от знаков логарифмов, изменив, согласно теореме 6 знак йсходного неравенства: 2х-3<24-6х.
Это значит, что заданное логарифмическое неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств:
[х-2>1,    ГО < ас —2 < 1,
2х-3>0,    2х-3>0,
24-6х >0,    24-6х>0,
2х-3>24-6х; [2*-3<24-6х.
27
Из первой системы неравенств находим — < х < 4, из второй — 2<х<3.
8
27
Ответ: 2<х<3; —<х<4.
8
Замечание. В первой из составленных систем при решении примера 3 можно отбросить второе неравенство, а во второй — третье. Подумайте, почему это так.
3. Иррациональные неравенства
Обсудим решение неравенства вида:
лЩ <*(*)•    (4)
Во-первых, запишем условие, определяющее ОДЗ: Цх) > 0.
313
Во-вторых, замечаем, что при ц(х) <0 неравенство (4) не имеет решений, значит, можно сразу потребовать выполнения условия
В-третьих, замечаем, что при указанных условиях (Дх) > 0 и 1?(х)>0) обе части неравенства (4) неотрицательны, значит, по теореме 5, возведя их в квадрат, получим неравенство Дх) <(/?(х))2, равносильное данному.
Таким образом, иррациональное неравенство (4) равносильно системе неравенств:
Г(х)> 0, ё(х)>0, Г(х)<(ё(х))2.
Обсудим решение неравенства вида
л/Л^ >*(*)•    (б)
Во-первых, запишем условие, определяющее ОДЗ: Дх) > 0.
Во-вторых, замечаем, что при #(х) <0 справедливость неравенства (5) не вызывает сомнений (поскольку Дх) > 0). Это значит, что решения системы неравенств Дх) > 0 и #(х) <0 являются одновременно и решениями неравенства (5).
В-третьих, замечаем, что, если #(х) > 0, то обе части неравенства (5) неотрицательны (мы, естественно, учитываем, что Д х) > 0). Значит, по теореме 5, возведя их в квадрат, получим неравенство Дх) >(#(х))2, равносильное данному.
Таким образом, иррациональное неравенство (5) равносильно совокупности систем неравенств:
« лъп [Я*)>0' Дх) > 0,
\ \ л ]*(*)> 0,
[Дх)>(^(х))2.
Первое неравенство второй системы можно опустить (подумайте, почему).
Пример 4. Решить неравенства:
а)л/х2 -х-12 <х; б)л/х2-х-12 >х.
Решение, а) Данное неравенство равносильно системе неравенств:
хг -х-12>0, х>0,
х2 — х — 12 < х2.
Для решения квадратного неравенства х2 - х -12 > 0 найдем корни квадратного трехчлена х2 - х-12; получим х1=4,хг = -3. Геометрическая модель, представленная на рис .247, помогает найти решение неравенства:
х < - 3; х>4.
314
        V                                           
        1\                                Л /           
                                    /    4           
                ч                /                   
                    Ч        *                       
Рис. 247    Рис. 248
Второе неравенство системы уже решено: х > 0. Из третьего неравенства находим: л: >-12.
Геометрическая модель, представленная на рис. 248, помогает найти решение системы неравенств: х > 4.
б) Данное неравенство равносильно совокупности систем неравенств:
(**-*-12>0,
(х2-х-12>0, \х<0;
х>0,
х* -х-12>х2.
-3
4-
Геометрическая модель, представленная на рис. 249, помогает найти решение первой системы: х <-3.    ___
Во второй системе можно опустить первое неравенство, поскольку оно является следствием третьего неравенства системы. Это позволяет переписать вторую систему в более простом виде:
{х <-12.
Эта система не имеет решений. Значит, решение совокупности систем неравенств совпадает с решением первой системы и имеет вид х <-3.
Ответ: а)х>4; 6) х<-3.
Рис. 249
4. Неравенства с модулями
Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля, решаются различными способами; мы покажем их на достаточно простом примере.
Пример 5. Решить неравенство |2х - 5|>4.
Решение проведем тремя способами.
Первый способ. Имеем:
|2(х-2,5)|>4,
2|х-2,5|>4,
|х-2,5|>2.
Геометрически выражение |х-2,5(означает расстояниер(х, 2,5)на координатной прямой между точками х и 2,5. Значит, нам нужно найти все такие точки х, которые удалены от точки 2,5 более, чем на 2, — это точки из промежутков (-«>, 0,5) и (4,5, + (рис. 250).
Итак, получили следующие решения неравенства: х<0,5; х>4,5.
Второй способ. Поскольку обе части заданного неравенства неотрицательны, то по теореме 5 возведение их в квадрат есть равносильное преобразование неравенства. Получим: |2х-5р >42.
                                                           
                                                           
    (    /                                        < ^    /       
            0,5 1                ?    5            4 5—1               
                                            1 1               
Рис. 250
315
Воспользовавшись тем, что \а |2= а2, получим:
(2х-5)2 >42, (2х-5)2-42 > О, (2х-5-4)(2х-5 + 4)>0,
(2х-9)(2х-1)>0, 2(х-4,5) 2(х-0,5)>0, (х-4,5)(х-0,5)>0. Применив метод интервалов (рис. 251), получим: х <0,5; х >4,5.
Третий способ. Выражение 2х-5 может быть неотрицательным или отрицательным. Если 2х-5>0, то |2х-5|=2х-5 и заданное неравенство принимает вид 2х-5>4.
Если 2х-5<0, то |2х-5|=-(2ас-5) и заданное неравенство принимает вид: ~(2х -5) >4.
Таким образом, получаем совокупность двух систем неравенств: 2х-5>0, Г2х-5<0, 2х-5>4; |-(2зс-5)>4.
Решая первую систему, получаем:
Г*>2,5, [* >4,5,
т.е. д: >4,5.
Решая вторую систему, получаем:
х <2,5, х <0,5, т.е. а: <0,5.
Объединяя найденные решения двух систем, получаем: х < 0,5; х > 4,5.
Ответ: х <0,5; х>4,5.
Из указанных трех способов наиболее универсальным является третий. Но поскольку он представляется достаточно сложным с технической точки зрения, то, где возможно, стараются использовать второй и первый способы.
Пример 6. Решить неравенство\х? -Зх + 2\<2х-х2.
Решение. Здесь можно применить два из указанных в предыдущем примере способов решения: 1) рассмотрение двух случаев знака выражения, содержащегося под знаком модуля, и сведение заданного неравенства к совокупности систем неравенств; 2) возведение обеих частей неравенства в квадрат.
1                            1                            1   
+                                                        +   
                                                    А       
            о,'? 1                                4,5 1                'х
                                                           
Рис. 251
                       
—У (                А    ( '    —1*
Рис. 252
316
Рис. 253
Первый способ. Если х2 - Зх + 2 > 0, то | х2 - Зх + 21 = х2 - Зх + 2, и заданное неравенство принимает вид: х2 -Зх + 2<2х-х2.
Еслих2 -Зх + 2<0,то|х2 -Зх + 2|=-(х2 - Зх + 2), и заданное неравенство принимает вид: - (х2 - Зх + 2)<2х - х2.
Таким образом, задача сводится к решению совокупности двух систем неравенств:
]х2-Зх + 2>0,    (х2 -Зх + 2<0,
|х2 - Зх + 2 <2х - х2; [-(х2 - Зх + 2)<2х - х2.
1)    Решим первое неравенство первой системы. Найдем корни уравнения х2-Зх + 2=0; получим х1 =1, хг=2. Схематически изобразив параболу у = х2 - Зх + 2 (ее ветви направлены вверх), получаем с помощью геометрической модели, представленной на рис. 252, решение неравенства:
х<1, х>2.
2)    Решим второе неравенство первой системы, но сначала преобразуем его к более простому виду: 2х2 - 5х + 2 <0. Найдем корни уравнения
2х2-5х + 2=0; х1=-, хг=2. Схематически изобразив параболу 2
у = 2х2 -Зх + 2 (ее ветви направлены вверх), получаем с помощью геометрической модели, представленной на рис. 253, решение неравенства:
^ < х < 2. . 2
3)    Отметив найденные решения первого и второго неравенств на координатной прямой, находим пересечение решений (рис. 254): ^<х<1; х = 2. Это — ре-
2
шейие первой системы неравенств.
4)    Решим первое неравенство второй системы. С помощью геометрической модели, представленной
на рис. 252, получаем решение неравенства: 1 < х < 2.
5) Решим второе неравенство второй системы, но сначала преобразуем его к более простому виду:
-(х2 -Зх + 2) <2х-х2, -х2 +3х -2-2х + х2 <0, х<2.
6)    Отметив найденные решения первого и второго неравенств на координатной прямой, находим пересечение решений (рис. 255): 1<х<2. Это — решение второй системы неравенств.
7)    Объединяя найденные решения систем неравенств
^<х<1; х = 2; 1<х<2, 2
получаем: - < х < 2. 2
Второй способ. Перепишем данное неравенство в виде:
2х-х2 >|х2 -Зх + 2|>0. Отсюда следует, что2х - х2 > 0. Значит, обе части заданного неравенства неотрицательны, и мы имеем право возвести их в квадрат. Получим систему неравенств:
317
                                   
                                   
    <    с»                \ (        г'   
                                    к
        г            1               
Рис. 254
                                   
                                   
            /        //               
-    -                2 -                X
                    1               
Рис. 255
1 " +        1 ■ ■ —1        11 ■ +
        / / /        2 Ъ
Рис. 256
2х-х2>0,
х2 -Зх + 2^<(2х-х2)2. Решим первое неравенство этой системы: 2х-хг>0, х2-2х<0, *(*-2)<0, откуда находим (рис. 256): 0<х <2. Решим второе неравенство системы: \х?-Зх + 2\2 <{2х~хг)\ (х2-Зх + 2)2<(2*-*2)2, (х2 -Зх + 2)2-(2х-х?)2<0, ((х2 -Зх + 2)-(2х-хг))((хг -Зх + 2) + (2х-х2))< О, (2хг -5х + 2)(-х + 2) <0, (2х2 -5х + 2)(х-2)>0.
Корни квадратного трехчлена2х* -5х + 2 найдены выше: ^ =-, х2 =2.
С их помощью составим разложение трехчлена на множители:
(
2хг-5х + 2 = 2(х-2) х —
I 2
Это позволяет переписать последнее неравенство в виде 2(х-2)|*-^*-2)>0
и далее:(х-2)г|
                               
-    1 ,        +            +       
    1    г        \    ч    ч        X
    2            I               
Рис. 257
Отметим точки х = -их = 2на координатной прямой 2
( 1Л
и расставим знаки функции у=(х - 2)2 х — на по-
V г)
лученных промежутках (рис. 257). Эта геометрическая модель позволяет сделать вывод о решении
неравенства^-2)2
>0; получаем: х> -
Итак, для первого неравенства системы получили: 0 < х <2, для второго— —. Значит, решение системы таково: - <х<2. 2 2
Ответ: - < х <2. 2

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

_{Материалы по математике онлайн, задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике скачать}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.