Версия 08:17, 20 августа 2010

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>>Математика: Степенные функции, их свойства и графики

§ 44. СТЕПЕННЫЕ ФУНКЦИИ, ИХ СВОЙСТВА И ГРАФИКИ
Обычно степенными функциями называют функции вида у = х^r, где r-любое действительное число. В этом параграфе мы ограничимся случаями рационального показателя r.
Целый ряд таких функций мы с вами уже изучили. Так, если r— натуральное число (r = п), то получаем функцию у = х^п; графики и свойства таких функций вам известны из курса алгебры 7—9-го классов. На рис. 180 изображен график функции у =х¹ (прямая), на рис. 181 изображен график функции у =х^г (парабола), на рис. 182 изображен график функции у =х³ (кубическая парабола). График

степенной функции у = хп в случае четного п (п =4, 6, 8, ...) похож на параболу, а график степенной функции у = х" в случае нечетного п(п= 5, 7, 9,...) похож на кубическую параболу.
Если г = -п, то получаем функцию   о таких функциях мы говорили в курсе алгебры 9-го класса. В случае четного п график имеет вид, изображенный на рис. 183; в случае нечетного п график имеет вид, изображенный на рис. 184.
Наконец, если г=0, т.е. речь идет о функции у=х°, то о ней и говорить неинтересно, поскольку это — функция у = 1, где ; график этой функции изображен на рис. 185.

Теперь познакомимся с функциями у = хг, где г положительное или отрицательное дробное число.
Рассмотрим в качестве примера функцию y=x^2,5. Область ее определения — луч Построим на этом луче графики функций у = х² (ветвь параболы) и у=х³ (ветвь кубической параболы) — эти графики изображены на рис. 186. Обратите внимание: на интервале (0, 1) кубическая парабола располагается ниже, а на открытом луче выше параболы.

Нетрудно убедиться в том, что график функции у =х^2,5, проходит через точки (0; 0) и (1; 1), как и графики функций у = х², у = х³. При остальных значениях аргумента х график функции у=х^2,5 находится между графиками функций у=х² и у=х³ (рис. 186). Почему? Смотрите:

1) Если О<х< 1, то:

2) Если х> 1, то:
х4 < хъ < х6
х4 <л/х°"<л/хг; х2 < х2,6 < х3.
Примерно так же обстоит дело для любой степенной функции
вида у=хг, где г = — — неправильная дробь (числитель больше зна-п
менателя). Ее графиком является кривая, похожая на ветвь параболы. Чем больше показатель г, тем «круче» устремлена эта кривая вверх.
— т
Свойства функции у = х" , где — > 1:
п
1Щ/)=[0,+°=);
2)    не является ни четной, ни нечетной;
3)    возрастает на [0, + <*>);
4)    не ограничена сверху, ограничена снизу;
5)    не имеет наибольшего значения; унаим =0;
6)    непрерывна;
7)Д(/)=[0,    + оо);
8)    выпукла вниз.
т
Рассмотрим степенную функцию у = хп для случая, когда — —
п
правильная дробь I 0 < — < 1
п
Все рассмотренное в § 40 в отношении
функции у = 4~х или, что то же самое, у = хп (ее график изображен на рис. 169) имеет место и по отношению к любой степенной
функции вида у = хг, где г = — — правиль-
п
ная дробь (числитель меньше знаменателя). График функции у = хг изображен на рис. 187.
    1У        I I I I I I                               
            >                    -1           
    11—                                       
                                           
                                           
    0|    1                                    X
        I                                   
Рис. 187
т
Свойства функции у = хп, где О < — <1:
п
1)2)(/)=[0,+оо);
2)    не является ни четной, ни нечетной;
3)    возрастает на [0, +
4)    не ограничена сверху, ограничена снизу;
237
5)    не имеет наибольшего значения; унаим =0;
6)    непрерывна;
7)Д(/)=[0,    + оо);
8)    выпукла вверх.
т
Нам осталось рассмотреть степенную функцию вида у = х " . Область ее определения — открытый луч(0, + оо). Выше мы построили
график степенной функции у = х~", где п — натуральное число. При х > 0 график функции у =х'п пцхож на ветвь гиперболы (рис. 184). Точно так же обстоит дело для
т
любой степенной функции вида у = х л , график которой изображен на рис. 188. Отметим, что график данной функции имеет горизонтальную асимптоту у = 0 и вертикальную асимптоту х = 0.
м
Свойства функции у = х ":
1)Ж/)=(0,    +оо);
2)    не является ни четной, ни нечетной;
3)    убывает на (0, + оо);
4)    не ограничена сверху, ограничена снизу;
5)    не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения;
6)    непрерывна;
7)Д(/)=(0,    +оо);
8)    выпукла вниз.
Вы заметили, наверное, что мы пока ничего не сказали о свойстве дифференцируемости степенной функции. Начнем издалека.
Мы знаем, чему равна производная функции у =х", где п — натуральное число:
(х")'=пхп'1.    (1)
Нетрудно найти производную степенной функции у = х~п, где п — натуральное число. Для этого надо переписать выражение х'я
в виде—и воспользоваться правилом дифференцирования дроби: хп
Итак, для любого х * 0 справедлива формула
(х-*)' =-пх-"-1.    (2)
            у|                               
        к                                   
            1                               
            1                               
                                           
                            у=х'"               
                    ч                       
                                           
        0        - 1 -                            X
                                           
Рис. 188
238
Формулы (1) и (2) можно объединить в одну:
(хп)'=тхт-1,
(3)
где т — любое целое число.
Идем дальше. Мы знаем, что (л/х)'    Эту формулу можно за-
2-]х
писать следующим образом:
( 1Л \ /
= — X
(4)
И формула (3), и формула (4) являются частными случаями общего утверждения (которое мы приводим без доказательства).
Теорема. Если х > 0 и г — любое рациональное число, то производная степенной функции у =хг вычисляется по формуле
(хТ)'= гх
г -1
Например,
(х1000)' = 1000х999; (х-5)' =-5х"в;
( \ \
\
1 -
= -х 3
(мы учли, что — 1 = —).
3 3
Нетрудно получить и соответствующую формулу для интегрирования степенной функции: если г * -1, то
(5)
В самом деле,
Гхг + М _(г+1)хг
г+1
г+1
= х .
. г +1
Значит, функция у =
г+1
является первообразной для функ-
ции у = хг, а потому справедлива формула (5). Например,
239
1    3
1 х5 1    -5+1 -4 4х4
2    ,    3
-?    ~5    5    с 3
' -1 + 1 » 3 5    5
Рассмотрим ряд примеров.
Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции у=хг\ а) на отрезке [1, 9]; б) на интервале (0, 4); в) на луче [25, +
Решение. Нам нет необходимости строить график функции, можно воспользоваться тем, что она возрастает и, следовательно, свое наименьшее и наибольшее значения достигает соответственно в левом и правом концах заданного промежутка, если, разумеется, концы промежутка принадлежат самому промежутку.
а)Унаим.    =/Ш=ч/1*" = 1; унаи6.=л/9Г=33 =27.
б)    Здесь нет ни наименьшего, ни наибольшего значения функции, поскольку концы промежутка — точки 0 и 4 — интервалу (0, 4) не принадлежат.
в)г/нанм.    =л/257 = 53 =125; уит6 не существует.    <Ц
Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
г 1 8    П т
у = -х2--х на отрезке [1, 9].
Решение. Воспользуемся алгоритмом отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке (см. § 36).

1)    Имеем у'
3 2 3
2)    Производная существует при всех х, значит, критических точек у функции нет, а стационарные найдем из условия у'=0. Имеем:
Ых-х2 =0;
8л/я =лс2;
(8-Ух)2 =(лс2)2;
64* = х4;
х(х3 -64)=0;
^ =0, х2 =4.
Отрезку [1,9] принадлежит лишь точка х = 4.
16 — 1
3)    Составим таблицу значений функции у- — хг —дс3, включив в
3 3
нее концы отрезка — точки дс = 1 и дс = 9 — и найденную стационарную точку х = 4:
240
X    1    4    9
У    5    64 3    -91
Таким образом, у,
наим. =-91 (достигается в точке х = 9);
унаи6 = — (достигается в точке х = 4). 3

Пример 3. Решить уравнение х3 = 12 - х.
Решение. Нетрудно подобрать один корень этого уравнения: х = 8. В самом деле,
2
83 =#"=4и 12-8=4,
значит, при х-4 уравнение обращается в верное числовое равенство 4=4.
2
Так как степенная функция у = х3 возрастает, а линейная функция у = 12 - х убывает, то других корней у уравнения нет. Ответ: х = 8.
Пример 4. Построить график функции
2
1/=(х-1)~3-2.
Решение. 1) Перейдем к вспомогательной системе координат с началом в точке (1; -2) — пунктирные прямые ж = 1иу = -2на рис. 189.
2
2) «Привяжем» функцию у = х 3 к новой системе координат. Для этого выберем контрольные точки для
ПП Л    й
, но строить их бу-
        у    I                   
            I                   
            л    -1               
                               
    0    1                        X
                               
-2 1                            2   
                               
                    1           
Рис. 189

Ш
функцииу = х 3:(1;1),|8; ^Д^ 4
дем не в старой, а в новой системе координат. Затем по этим точкам построим кривую того вида, какой представлен на рис. 188. Это и будет требуемый график (рис. 190).    <1
Пример 5. Составить уравнение касательной к
1 -графику функции: а) у = — в точке зс = 1; б) у = х 3 в
х
точке х = 1.
Решение. Напомним общий вид уравнения касательной:
у = Ка)+Г(а)(х-а). Воспользуемся алгоритмом составления уравнения касательной (см. § 34).
а)Л*) = -:
х
1)    а = 1;
2)/(а)=/(1)Л    = 1;
Рис. 190
(6)
241
3 )Г(х) = -\; /'(«)=/'( 1)=-1 = -1;
х    1
4) Подставим найденные три числа: а = 1, /(а) = 1, /'(а)=-1 в формулу (6). Получим:
у = 1-(*-1),
у = 2-х. 2 У
б )Г(х) = х~~':
1)    а = 1;
2)/(а)=Я1)    = | = 1;
2 ---1 о --    2
3)/'(*)    = -- * 3 = з. /'(1)=--.
2
4)    Подставим найденные три числа: а = 1, /(а)=1, /'(а) = —вформулу
3
(6). Получим:
у = 1-|(лс-1Х
2 5 у =—х + -. * 3 3
2    5
Ответ: &)у = 2-х; б)у = — лс+ -.
3    3
л 1 Замечание. График функции у = х 3 похож на ветвь гиперболы у = —'.
х
оба графика имеют своими асимптотами оси координат, оба графика проходят через точку (1; 1). Но их поведение в точке (1; 1) различное, у них, как мы увидели при решении примера 5, разные касательные в этой точке (см. рис. 191,192).
Пример 6. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = Чх, у=0, х=8.
        у                                   
                                           
                                           
                                           
                                           
                            У=        2/:       
                                           
                                           
    0            1_        ?                    X
                    1                       
        У                                   
                                           
                                           
                                           
                        Ч=*1х                   
—    2 1-                                       
                                           
                            ////               
        2                            1        X
                                    1       
Рис. 191
Рис. 192
Рис. 193
Решение. Фигура, площадь которой требуется вычислить, изображена на рис. 193. Имеем (см. § 38):

+ 1
3
= -• х-
4
8 3    ( 4 4 \
    83 -О3
о ~4    V У
= - (16-0)=12.
Ответ: 5 = 12.
242

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

_{Материалы по математике онлайн, задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике скачать}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников
 
Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 
 
Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.