Версия 06:11, 20 августа 2010

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>>Математика: Свойства корня n-й степени

§41. СВОЙСТВА КОРНЯ n-й СТЕПЕНИ
Чтобы успешно использовать на практике операцию извлечения корня, нужно познакомиться со свойствами этой операции, что мы и сделаем в настоящем параграфе.
Все свойства формулируются и доказываются только для неотрицательных значений переменных, содержащихся под знаками корней.

Доказательство. Введем следующие обозначения:   Нам надо доказать, что для неотрицательных чисел х, у, z выполняется равенство х-уz.
Так как
Итак, Но если степени двух неотрицательных чисел равны и показатели степеней равны, то равны и основания степеней; значит, из равенства xⁿ =(уz)^п следует, что х-уz, а это и требовалось доказать.   
Приведем краткую запись доказательства теоремы.

Замечания:

1. Теорема 1 остается справедливой и для случая, когда подкоренное выражение представляет собой произведение более чем двух неотрицательных чисел.
2. Теорему 1 можно сформулировать, используя конструкцию "если...то» (как это принято для теорем в математике). Приведем соответствующую формулировку: если а иb — неотрицательные числа, то справедливо равенство Следующую теорему мы именно так и оформим.

Краткая (хотя и неточная) формулировка, которую удобнее использовать на практике: корень из дроби равен дроби от корней.
Доказательство. Приведем краткую запись доказательства теоремы 2, а вы попробуйте сделать соответствующие комментарии, аналогичные тем, что были приведены при доказательстве теоремы 1.

ВЫ, конечно, обратили внимание на то, что доказанные два свойства корней п-й степени представляют собой обобщение известных вам из курса алгебры 8-го класса свойств квадратных корней. И если бы других свойств корней п-й степени не было, то как бы все было просто (и не очень интересно). На самом деле есть еще несколько интересных и важных свойств, которые мы обсудим в этом параграфе. Но сначала рассмотрим несколько примеров на использование теорем 1 и 2.
Пример 1. Вычислить
Решение. Воспользовавшись первым свойством корней (теорема 1), получим:

Замечание 3. Можно, конечно, этот пример решить по-другому, особенно если у вас под рукой есть микрокалькулятор: перемножить числа 125, 64 и27,а затем извлечь кубический корень из полученного произведения. Но, согласитесь, предложенное решение «интеллигентнее».
224
Пример 2. Вычислить
Решение. Обратим смешанное число в неправильную дробь.
Имеем 5— = 5 + — = —. Воспользовавшись вторым свойством корней (тео-16 16 16 рема 2), получим:
Пример 3. Вычислить: а) 3/24 б) 496:413.
Решение. Любая формула в алгебре, как вам хорошо известно, используется не только «слева направо», но и «справа налево». Так, первое свойство корней означает, что 4аЬ можно представить в виде 4а и, наоборот, 4а ■ 4ь можно заменить выражением 4аЬ . То же относится и ко второму свойству корней. Учитывая это, выполним вычисления:
а)л/24-У9=л/24-9=л/8-27    =Ш У27 = 2 3 = 6;
б)    5л/96: л/3 = 6:3 = 5л/32 = 2.    <Ц
Пример 4. Выполнить действия: а) 4а ■ 4ь ■ 4Ь; б) 4а ■ 4а.
Решение, а) Имеем: 4а -4ь -4ь =ЦаЬЬ = УаЬг.
б) Теорема 1 позволяет нам перемножать только корни одинаковой степени, т.е. только корни с одинаковым показателем. Здесь же предлагается умножить корень 2-й степени из числа а на корень 3-й степени из того же числа. Как это делать, мы пока не знаем. Вернемся к этой проблеме позднее. <Д
Продолжим изучение свойств радикалов.
Теорема3. Еслиа>0,к — натуральное число ип — натуральное число, большее 1, то справедливо равенство
(VI)4
Иными словами, чтобы возвести корень в натуральную степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное выражение.
Это — следствие теоремы 1. В самом деле, например, для к = 3 получаем: (4а)3 = 4а-4а-4а = 4ааа . Точно так же можно рассуждать в случае любого другого натурального значения показателя к.
Теорема 4. Еслиа>О ип,к — натуральные числа, большие 1, то справедливо равенство
Иными словами, чтобы извлечь корень из корня, достаточно перемножить показатели корней.
Например,%[4а =х4а; 544а =х4а; -Щ = 4а.
Доказательство. Как и в теореме 2, приведем краткую запись доказательства, а вы попробуйте самостоятельно сделать со-
Ш У81 _3=15 \1в № 2 ' '

8 Мордкович «Алгебра, 10 кл.»
225
ответствующие комментарии, аналогичные тем, что были приведены при доказательстве теоремы 1.
Подготовка к доказа-    Перевод на более    Доказательство
тельству (введение    простой язык   
новых переменных)       
Ф17 = х;       
    ((*)")*= а;   
    у"=а   
        х = у
Доказать: х = у        •
Замечание 4. Давайте переведем дух. Чему мы научились благодаря доказанным теоремам? Мы узнали, что над корнями можно осуществлять четыре операции: умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня (из корня). А как же обстоит дело со сложением и вычитанием корней? Никак. Об этом мы говорили еще в 8-м классе по поводу операции извлечения квадратного корня.
Например, вместо 3/8+ 27 нельзя написать 3/8 + 3/27. В самом деле, 3/8+27 =3/35, а 3/8 + 3/27 = 2 + 3=5. Но ведь очевидно, что 3/35*5. Будьте внимательны!
Самое, пожалуй, интересное свойство корней — это то, о котором пойдет речь в следующей теореме. Учитывая особую значимость этого свойства, мы позволим себе нарушить определенный стиль формулировок и доказательств, выработанный в этом параграфе, с тем чтобы формулировка теоремы 5 была немного «мягче», а ее доказательство — понятнее.
Теорема 5. Если показатели корня и подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то значение корня не изменится, т.е.
ЛР1 „ кр _п1 к
Ыа* =Уа .
Например:
=л[а* (показатели корня и подкоренного выражения разделили на 4);
Л (показатели корня и подкоренного выражения разделили на 3);
№ = 1$а* (показатели корня и подкоренного выражения умножили на 2).
Доказательст во. Обозначим левую часть доказываемого равенства буквой х: "$акр = х. Тогда по определению корня должно выполняться равенство
х1* =а*р.    (1)
226
Обозначим правую часть доказываемого тождества буквой у:
л/а* =у.
Тогда по определению корня должно выполняться равенство
. п _~ к
У =а .
Возведем обе части последнего равенства в одну и ту же степень р; получим:
у4" =акр.    (2)
Итак (см. равенства (1) и (2)),
х" =а*, упр =акр.
Сопоставляя эти два равенства, приходим к выводу, что хпр = упр, а значит, х =у, что и требовалось доказать.    О
Доказанная теорема позволит нам решить ту проблему, с которой мы столкнулись выше при решении примера 5, где требовалось выполнить умножение корней с разными показателями:
4а-%/а.
Вот как обычно рассуждают в подобных случаях.
1)    По теореме 5 в выражении 4а можно и показатель корня (т.е. число 2) и показатель подкоренного выражения (т.е. число 1) умножить на одно и то же натуральное число. Воспользовавшись этим, умножим оба показателя на 3; получим:
2)    По теореме 5 в выражении л/о можно и показатель корня (т.е. число 3) и показатель подкоренного выражения (т.е. число 1) умножить на одно и то же натуральное число. Воспользовавшись этим, умножим оба показателя на 2; получим:
3)    Поскольку получили корни одной и той же 6-й степени, то можно их перемножить:
Замечание 5. Вы не забыли, что все свойства корней, которые мы обсуждали в этом параграфе, рассмотрены нами только для случая, когда переменные принимают лишь неотрицательные значения? Почему пришлось сделать такое ограничение? Потому, что корень п-й степени из отрицательного числа не всегда имеет смысл — он определен только для нечетных значений п. Для таких значений показателя корня рассмотренные свойства корней верны и в случае отрицательных подкоренных выражений.
8*
227

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

_{Материалы по математике онлайн, задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике скачать}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников
 
Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 
 
Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.