Версия 13:30, 12 августа 2010

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>>Математика: Определенный интеграл

§ 38. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла
Задача 1 (о вычислении площади криволинейной трапеции).
В декартовой прямоугольной системе координат хОу дана фигура (рис. 153), ограниченная осью х, прямыми х=а,х=Ь (а <Ъ) и графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке [а, Ь] функции у = f(х); назовем эту фигуру криволинейной трапецией. Требуется вычислить площадь криволинейной трапеции.
Решение. Геометрия дает нам рецепты для вычисления площадей многоугольников и некоторых частей круга (сектор, сегмент). Используя геометрические соображения, мы сумеем найти лишь приближенное значение искомой площади, рассуждая следующим образом.
Разобьем отрезок [а, Ь] (основание криволинейной трапеции) на п равных частей; это разбиение осуществим с помощью точек

Проведем соответствующие ординаты. Тогда заданная криволинейная трапеция разобьется на n частей — на n узеньких столбиков. Площадь всей трапеции равна сумме площадей столбиков.
Рассмотрим отдельно k-тый столбик, т.е. криволинейную трапецию, основанием которой служит отрезок Заменим его прямоугольником с тем же основанием и высотой, равной f(х_к) (рис. 154). Площадь прямоугольника равна — длина отрезка ; естественно считать составленное произведение приближенным значением площади к-то столбика.
Если теперь сделать то же самое со всеми остальными столбиками, то придем к следующему результату: площадь 5 заданной криволинейной трапеции приближенно равна площади 5. ступенчатой фигуры, составленной из п прямоугольников (рис. 155). Имеем:

Здесь ради единообразия обозначений мы считаем, что
Итак, S = S_n, причем это приближенное равенство тем точнее, чем больше п.
Принято считать, что искомая площадь есть предел последовательности
Задача 2 (о вычислении массы стержня).
Дан прямолинейный неоднородный стержень (рис. 156), плотность в точке х вычисляется по формуле р=р(х). Найти массу стержня.
Решение. Масса тела, как известно из курса физики, равна произведению плотности на объем (вместо объема берут площадь — если речь идет о плоской пластине; вместо объема берут длину — если речь идет о прямолинейном стержне без учета его толщины). Но этот закон действует только для однородных тел, т.е. в тех случаях, когда плотность постоянна. Для неоднородного стержня используется тот же метод, что был применен при решении задачи 1.

1)    Разобьем отрезок [а, Ь] на п равных частей.
2)    Рассмотрим k-тый участок  и будем считать, что плотность во всех точках этого участка постоянна, а именно такая, как, например, в точке хк. Итак, мы считаем, что р = р (хк).
3)    Найдем приближенное значение массы mк к-то участка: 
4)    Найдем приближенное значение массы m стержня:

5)    Точное значение массы стержня вычисляется по формуле

Задача 3 (о перемещении точки).
По прямой движется материальная точка. Зависимость скорости от времени выражается формулой v = v(t); пусть для определенности t>(f) >0. Найти перемещение точки за промежуток времени [а, Ь].
Решение. Ее ли бы движение было равномерным, то задача решалась бы очень просто: Для неравномерного движения приходится использовать те же идеи, на которых было основано решение двух предыдущих задач.
1)    Разделим промежуток времени [а, Ь] на п равных частей.
2)    Рассмотрим промежуток времени  и будем считать, что в этот промежуток времени скорость была постоянной, такой, как в момент времени. Итак, мы считаем, что v = v (t₄).
3)    Найдем приближенное значение перемещения точки зк за промежуток времени 
4)    Найдем приближенное значение перемещения з:

5)    Точное значение перемещения вычисляется по формуле
Подведем итоги. Три различные задачи привели при их решении к одной и той же математической модели. Многие задачи из различных областей науки и техники приводят в процессе решения к такой же модели. Значит, данную математическую модель надо специально изучить, т.е.:
а) присвоить ей новый термин,
б)    ввести для нее обозначение,
в) научиться с ней работать.
Этим и займемся.
2. Понятие определенного интеграла
Дадим математическое описание той модели, которая была построена в трех рассмотренных задачах для функции у = f(х), непрерывной (но необязательно неотрицательной, как это предполагалось в рассмотренных задачах) на отрезке [а, Ь]:
1)    разбивают отрезок [а, Ь] на n равных частей;
2)    составляют сумму:

3) вычисляют
В курсе математического анализа доказано, что при указанных условиях этот предел существует. Его называют определенным интегралом от функции у =f(x) по отрезку [а, Ь] и обозначают так:

(читают: «интеграл от а до Ь эф от икс дз икс»). Числа а и Ь называют пределами интегрирования (соответственно нижним и верхним).
Замечание. Приведем правдоподобную версию происхождения указанного обозначения и термина: — стилизованная буква   напоминание о слагаемых вида из которых состоит сумма 5_д. Само слово интеграл происходит от латинского слова integer — «целый». Употребление этого термина вполне оправданно: вспомните, какой смысл вкладывается в русском языке в слово интеграция — восстановление, восполнение, воссоединение; подробнее — это процесс, ведущий к состоянию связанности отдельных частей в целое. В построенной математической модели речь фактически идет о воссоединении целого по отдельным частям (например, о нахождении всей площади — по площадям столбиков, как было в задаче 1).
Вернемся к трем рассмотренным выше задачам. Результат, полученный в задаче 1, теперь можно переписать следующим образом:

здесь S — площадь криволинейной трапеции, изображенной на рис. 153. В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла.
Из решения задачи 2 следует, что масса m неоднородного стержня с плотностью р(х) вычисляется по формуле

В этом состоит физический смысл определенного интеграла.
Из решения задачи 3 следует, что перемещение з точки, движущейся по прямой со скоростью v = v(t), за промежуток времени от t =а до 1 = Ъ, вычисляется по формуле

Это — еще одно физическое истолкование определенного интеграла.
3. Формула Ньютона—Лейбница
После внимательного изучения предыдущего параграфа у вас, наверное, возник вопрос: почему в названии построенной математической модели содержится слово «интеграл», ведь в § 37 это слово ассоциировалось у нас с термином «первообразная». Есть ли какая-либо связь между определенным интегралом и первообразной?
Ключ к разгадке дает задача 3. С одной стороны, перемещение 8 точки, движущейся по прямой со скоростью v=v(t), за промежуток времени от t=a до t =Ь вычисляется по формуле

С другой стороны, координата движущейся точки есть первообразная для скорости — обозначим ее s (t); значит, перемещение S выражается формулой S = s(b) -S(а). В итоге получаем:

где S (t) — первообразная для v(t).
Вернемся к задаче 1 — о вычислении площади криволинейной трапеции (см. рис. 153). Мы установили, что

Сейчас мы покажем другое решение этой задачи, которое приведет нас к формуле

где F (х) — первообразная для f(х). Будем считать для упрощения, что у = f(х) — возрастающая функция на отрезке [а, Ь).
Выберем между а и Ь на оси абсцисс фиксированную точку х и рассмотрим криволинейную трапецию аАМх (рис. 157), обозначим ее площадь через 5 (х). Каждому х из отрезка [а, Ь] соответствует вполне определенное значение S(х), т.е. можно говорить о функции u = S(х). Эта функция определена на отрезке [а, Ь], она неотрицательна и возрастает (чем больше х, тем большую площадь имеет криволинейная трапеция аАМх).
Особо отметим значения функции на концах отрезка [а, b]:
если х=а, то трапеция аАМх «вырождается» в отрезок аА, его площадь равна нулю, т.е. S(а) =0;

если а = Ь, то трапеция аАМх совпадает с трапецией аAВЬ, площадь 5 которой нам как раз и надо вычислить, т.е. S(Ь) =5.
Вся подготовительная работа закончена, приступим к решению задачи о вычислении площади криволинейной трапеции аАВЬ. Осуществим это решение в два этапа.
Первыйэтап. Найдем производную функции u =S(х), применив выработанный в § 32 алгоритм.
1)    Для фиксированного значения х имеем:
2)    Дадим аргументу приращение (пусть для определенности выполняется неравенство ). Для значения имеем (рис. 158)

  площадь узенького столбика хМРр на рис. 158.
4)    Функция у=f(х) возрастает на отрезке   значит, f(х) — наименьшее значение функции на указанном отрезке, а — наибольшее значение функции на указанном отрезке. Но тогда

Анализируя неравенство (2), логично предположить, что тогда в курсе математического анализа доказано, что это верно. Но, как известно,

иными словами, S (х) — первообразная для f(х).
Второй зтап. Имеем: S(Ь) = S; S (а) = 0, значит, S = S(b)-S(а).
Приступая к решению задачи, мы для функции f(х) выбрали первообразную F(х). Значит, теперь у нас есть две первообразные для f(х): F(х) и S (х). Они, как известно, отличаются друг от друга на постоянную величину, т.е.
S(х)=F(х)+С.
Далее имеем:
207
_8(Ь) = Р(Ь)+С, 8(а) = Р(а)+С. 8(Ъ)-8(а) = Р(.Ъ)-Р(.а) или 8 = Р(Ь)-Р(а). Сопоставив этот результат с формулой (1), получим:
а
Вообще, в курсе математического анализа доказана следующая теорема.
Теорема. Если функция у = /(дс) непрерывна на отрезке [о, Ь], то справедлива формула
]пх)ах = Р(Ь)-Р(а),
где Р (дс) — первообразная для /(х).
Приведенную формулу обычно называют формулой Ньютона—Лейбница в честь английского физика Исаака Ньютона (1643—1727) и немецкого философа Готфрида Лейбница (1646—1716), получивших ее независимо друг от друга и практически одновременно.
Замечание. То, что математическую формулу вывели философ и физик, никого не удивляет, ведь математика — язык, на котором говорит сама природа.
.(г
На практике вместо записи Р(Ь)-Р(а) используют запись Р{х)\а
(ее называют иногда двойной подстановкой) и соответственно переписывают формулу Ньютона—Лейбница в виде:
: = Р(х)\

Вычисляя определенный интеграл, сначала находят первообразную, а затем осуществляют двойную подстановку.
Пример 1. Вычислить ^x3(^x.
х*
Решение. Первообразной для х3 служит —. Значит,
4
г з ,
х3йх =— }    4
4 4 4 4    4=1
гт    о г.    гЗ*4 + х3 + 2х2 +1
Пример 2. Вычислить -;-ах.
{ *
Решение. Здесь для отыскания первообразной удобнее воспользоваться знаком неопределенного интеграла, при этом полезно числитель дроби, содержащейся под знаком интеграла, разделить почленно на ее знаменатель:
208
I
Зх*+х3 + 2х2 +1
Лх = \{ Зх2+х + 2 + \
ах =
=з$х2ах+1хах + 21ах+$^ах=з-+— + 2х--+с =
хг    1
= х3+ — + 2 х-- + С. 2    х
Теперь вычислим определенный интеграл: \3х4 +х3 +2хг +1 !—?—
х'+^+гх-1 2 * „
V    М
, г2 1 2 + —,+ 2-2-~ 2 2
V 2 Ъ
8+2+4-:
1+-+2-1 2
= 13,5-2,5 = 11.

Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной одной полуволной синусоиды у = 81п х и осью абсцисс.
Решение. Можно взять полуволну синусоиды от точки х = 0 до точки х = к (рис. 159) и воспользоваться формулой (1) при следующих условиях: а = О, Ь = п, /(дг) = зш х. Получим:
                IV                                       
                                                       
                                                       
                                                       
            0    7У////7\                                       
            /                    71                        X
        Ч1П                                               
1 1 1                                                       
71
5= |зш;сй;с = -со8;с
Рис. 159 = - (созл -созО) = - (-1 -1) = 2
(в процессе вычислений мы учли, что первообразной для зш* является -соз л:).
Ответ: 8—2.
Опираясь на формулу Ньютона—Лейбница, нетрудно обосновать некоторые свойства определенного интеграла.
Свойство 1. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов:
\    ь    ь    ь
_[(/■(*)+ё(х))йх=| гшх+\ё(х)ах.
а    а    а
Доказательство. Если Р(х) — первообразная для /(х), а С(д:) — первообразная для ё(х), то Дх)+(?(:*:) — первообразная для Т(х)+§(х). Тогда:

= (*(Ь)+С(Ь))-(*■(<»)+С(а)) =
о    о
= (Рф) -Р(а)) + (Оф) -О(а)) = \{(х)с1х+\ё(х)с1х.
209
Свойство 2. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:
ь    ь
\Щх)йх = к\{(х)<1х.
Свойство 3. Если а < с < Ь, то
ь
| Кх)йх+\Кх)йх = | Кх)йх
{аддитивное свойство интеграла).
Доказательство.
ь
            У                                           
        )    к                                           
                                                       
                                                       
                                                       
                        С,                    V    = Цх)       
                                                       
                                                       
                                Я,                       
                                                       
        0    а            с                    Ь            X
            1            1                               
\{(х)<1х+\Кх)йх =
а    ■с
=(Е(е)-Е(а))+(т-т) =
= Р{Ь)-Р{а) = ]{Шх.    •
а
Геометрический смысл аддитивного свойства интеграла заключается в том, что (см. рис. 160) площадь криволинейной трапеции равна сумме
Рис. 160
площадей криволинейных трапеций, из которых она составлена: Ч — с . с
аАВЬ аЛСс с СВЬ '
4. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла
С помощью интеграла можно вычислить площади не только криволинейных трапеций того вида, который представлен на рис. 160, но и плоских фигур более сложного вида, например, такого, который представлен на рис. 161. Фигура Р (рис. 161а) ограничена прямыми ж =а, и графиками непрерывных функций у = ?(х), у = §(х), причем на отрез-
                            |                       
                            г.                       
        У                            У    =    \х    )+    п
        к                                           
                                                   
            0    7/////                                   
                '//Р /                                   
        /    —                        У    = а(х)+т           
                            г в                       
                                                   
        А                                           
                                                   
    0                                ь            X   
        1                            1               
Рис. 161
210
ке [а, Ь] выполняется неравенство &(х)<{(х). Для вычисления площади такой фигуры будем рассуждать следующим образом.
Выполним параллельный перенос фигуры Р на т единиц вверх (т > 0) так, чтобы фигура Р оказалась расположенной в координатной плоскости выше оси абсцисс (рис. 161 б). Теперь она ограничена сверху и снизу графиками функций у = Цх)+т, у = &(х)+т, причем обе функции непрерывны и неотрицательны на отрезке [а, Ь]. Имеем:
ь    ь
=5АВСВ =$аОСЬ ~5аЛВЬ = _[(/(*) + »«)<& -]($(*) + ГП)<1х =
= }((/(*) + т)~ (8(х) + т))<Ь = }(/(*) -*(*))<&.
а    а
Итак, площадь 8 фигуры, ограниченной прямыми х = а, х = Ь и графиками функций у = ?(х)>У = 8(х)> непрерывных на отрезке [а, Ь] и таких, что§(х)<Цх)длявсеххиз отрезка [а, Ь], вычисляется по формуле
(3)
Пример 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х,у = Ъ- х, ж = 1, х = 2.
Решение. Фигура, площадь которой надо найти, изображена на рис. 162. Воспользовавшись формулой (3), получим: 2
8 = 1((5-х)-х)ах =
1
2
•    =1(5-2х)с1х=(5х-х2)
1
=(5 2-2г)-(51-12) = 2.
Ответ: 8 = 2.    Рис.162
Пример 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямойу-х-2 и параболой у = ж2 -4* + 2.
Решение. Прямую у = х-2 можно построить по точкам(2; 0) и(0; -2) (рис. 163). Абсциссу вершины параболы найдем из условия у'=0. Имеем:
у'= (ж2 - 4* + 2)'= 2х - 4; 2ж -4=0; ж = 2.
Если ж = 2, то у = 22 -4-2 +2 = -2. Значит, вершиной параболы служит точка (2; -2), а осью параболы — прямая ж = 2. Возьмем две пары точек,
        у                        1 1 1           
    >    к                        У-        Л   
                                /           
    ч                        /               
        ч                /                   
            ч        ✓                       
                X                           
                    ч                       
    0    /                ч                   
    /        2                ч                X
                                к           
                            1111               
211
            кУ    1                               
                \х=2                               
                        у        х*-4х+2               
                            _        х-    2       
                        шж                       
                    лз                           
            V У                                   
        0            / л                            X
        ?                                       
                                               
симметричных относительно оси параболы: (1; -1) и (3; -1), (0; 2) и (4; 2) и построим параболу по пяти точкам (рис. 163). Парабола и прямая пересекаются в двух точках Л и Б, для отыскания абсцисс этих точек надо решить уравнение
х2 -4х + 2 = х-2. Находим последовательно: дс2 — 5дс + 4 =0; х1=1;х2 =4.
Фигура, площадь которой надо найти, ограничена линиями у = х2 -4дс + 2 (снизу) и у = дс —2 (сверху). Можно считать, что с боков эта фигура ограничена прямыми дс = 1 и дс = 4. Значит, для вычисления площади фигуры можно применить формулу (3).
'б*2
Рис. 163
5 = |(( х - 2) - (х2 - 4х + 2))йх = |(5х - х2 - 4)йх =
* А
----4дс
42 43 5 --—-4 4 2 3
I2 I3 5--—-—4 1 2 3
=4,5.
Ответ: 5 = 4,5.

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

_{Материалы по математике онлайн, задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике скачать}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников
 
Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 
 
Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.