Переход к новому основанию логарифма — Гипермаркет знаний

KNOWLEDGE HYPERMARKET

Переход к новому основанию логарифма

 		Версия 09:09, 8 августа 2010 (просмотреть исходный код)
User9  (Обсуждение | вклад)
← Предыдущая правка
		Версия 09:25, 8 августа 2010 (просмотреть исходный код)
User9  (Обсуждение | вклад) 
Следующая правка →
		
Строка 1:
Строка 1:
 '''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]&gt;&gt;[[Математика|Математика]]&gt;&gt;[[Математика 10 класс|Математика 10 класс]]&gt;&gt;Математика: Переход к новому основанию логарифма<metakeywords>Переход к новому основанию логарифма</metakeywords>'''    '''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]&gt;&gt;[[Математика|Математика]]&gt;&gt;[[Математика 10 класс|Математика 10 класс]]&gt;&gt;Математика: Переход к новому основанию логарифма<metakeywords>Переход к новому основанию логарифма</metakeywords>'''  
  
- <br> + <br>  
  
- '''§ 53. ПЕРЕХОД К НОВОМУ ОСНОВАНИЮ ЛОГАРИФМА'''<br>Логарифмических функций бесконечно много:[[Image:a10245.jpg]] и т.д. Возникает вопрос,<br>как они связаны между собой? Есть ли, например, какая-то связь между функциями у=log<sub>2</sub> х и y=log<sub>3</sub> x? На рис. 231 изображены графики функций у=log<sub>2</sub> х и у=log<sub>3</sub> х. Не кажется ли вам, что график первой функции получается из графика второй функции растяжением от оси х с некоторым коэффициентом к &gt;1. Если наше геометрическое наблюдение верно, то должно выполняться равенство: + '''§ 53. ПЕРЕХОД К НОВОМУ ОСНОВАНИЮ ЛОГАРИФМА'''<br>Логарифмических функций бесконечно много:[[Image:A10245.jpg]] и т.д. Возникает вопрос,<br>как они связаны между собой? Есть ли, например, какая-то связь между функциями у=log<sub>2</sub> х и y=log<sub>3</sub> x? На рис. 231 изображены графики функций у=log<sub>2</sub> х и у=log<sub>3</sub> х. Не кажется ли вам, что график первой функции получается из графика второй функции растяжением от оси х с некоторым коэффициентом к &gt;1. Если наше геометрическое наблюдение верно, то должно выполняться равенство:  
  
- [[Image:a10246.jpg]]<br>Так ли это? На все поставленные вопросы мы ответим в этом параграфе. Теоретической основой для ответа является следующая теорема. + [[Image:A10246.jpg]]<br>Так ли это? На все поставленные вопросы мы ответим в этом параграфе. Теоретической основой для ответа является следующая теорема.  
  +  
  + [[Image:A10247.jpg]]<br>Теперь нетрудно ответить на поставленный выше вопрос: как связаны между собой различные логарифмические функции? Рассмотрим две логарифмические функции у =log<sub>2</sub> х и у =log<sub>3</sub> х, графики которых изображены на рис. 231. Имеем: 
  +  
  + [[Image:A10248.jpg]]<br>Таким образом, наша догадка подтвердилась: действительно, справедливо соотношение [[Image:a10249.jpg]]; подтвердилась и наша догадка о том, что в данном случае к &gt; 1, поскольку log<sub>2</sub> 3 &gt; 1.<br>Аналогичные формулы связывают и другие логарифмические функции. Например, справедливы соотношения:<br>
  +  
  + [[Image:a10250.jpg]]<br>
  +  
  + Рассмотрим два важных частных случая формулы перехода к новому основанию логарифма, два следствия из доказанной теоремы.<br>'''Следствие 1.''' Если а и b положительные и отличные от 1 числа, то справедливо равенство:
  +  
  + [[Image:a10251.jpg]]<br>'''Доказательство'''. Положив в формуле (1) с =Ь, получим: [[Image:a10252.jpg]]<br>'''Следствие 2'''. Если а и b — положительные числа, причем [[Image:a10253.jpg]], то для любого числа [[Image:a10254.jpg]] справедливо равенство:
  +  
  + [[Image:a10255.jpg]]<br>'''Доказательство.''' Перейдем в выражении [[Image:a10256.jpg]] к логарифмам по основанию а: [[Image:a10257.jpg]]<br>'''Пример 1.''' Дано: [[Image:a10258.jpg]]
  +  
  + '''Решение.''' 
  +  
  + [[Image:a10259.jpg]]<br>'''Пример 2'''. Решить уравнение: [[Image:a10260.jpg]]<br>'''Решение.''' Перейдем во всех логарифмах к одному основанию 4. Для этого дважды воспользуемся формулой, доказанной в следствии 2:
  +  
  + [[Image:a10261.jpg]]<br>Теперь заданное уравнение можно переписать в более простой форме: 
  +  
  + [[Image:a10262.jpg]]<br>Ответ: х = 3.<br> 
  
- [[Image:a10247.jpg]]<br>Теперь нетрудно ответить на поставленный выше вопрос: как связаны между собой различные логарифмические функции? Рассмотрим две логарифмические функции у =log<sub>2</sub> х и у =log<sub>3</sub> х, графики которых изображены на рис. 231. Имеем:  
  
- [[Image:a10248.jpg]]<br>Таким образом, наша догадка подтвердилась: действительно, справедливо соотношение 1о^2 х = к1о§3 х, где к =1о§2 3; подтвердилась и наша догадка о том, что в данном случае к &gt; 1, поскольку 1О§2 3 &gt; 1.<br>Аналогичные формулы связывают и другие логарифмические функции. Например, справедливы соотношения: 1о§5 х = /г1о§7 х, где к =\о&amp;ь 7;<br>1§ х = к1о§05 х, где к=1&amp;0,5и т.д.<br>Рассмотрим два важных частных случая формулы перехода к новому основанию логарифма, два следствия из доказанной теоремы.<br>Следствие 1. Если аиЪ положительные и отличные от 1 числа, то справедливо равенство:<br>1оеаь= 1 . _д<br>Например, 1о§23=—-—; 1§5 =—-—.<br>1ое3 2&nbsp;&nbsp;&nbsp; \о§б 10<br>Доказательство. Положив в формуле (1) с =Ь, получим: 1° ёаЬ = \<br>_<br>1од„а 1оё„а<br>Следствие 2. Если аиЪ — положительные числа, причем аФ 1, то для любого числа гфО справедливо равенство:<br>1оеаЬ = 1оёа, ьг.<br>Например, 1ое23=1о§22 З2 =10^ 3 1&nbsp;&nbsp;&nbsp; л/Зит.д.<br>Доказательство. Перейдем в выражении 1о§аГЬГ к лога-<br>, .. 1ое„Ьг г\овЬ , рифмам по основанию а: 1о§ г о =——— =—=-2— =1о§ Ь.<br>1о ёааг г<br>Пример 1. Дано: 3 = а, 5 = Ь. Вычислить 1ое215. Решение.<br>1ое 15^15 = М3 5К&nbsp;&nbsp;&nbsp; =а+Ь<br>г 1в2 18(10:5) 1810-185 1-Ь'<br>284<br>&lt;я<br>Пример 2. Решить уравнение: х + х = ^ 3.<br>Решение. Перейдем во всех логарифмах к одному основанию 4. Для этого дважды воспользуемся формулой, доказанной в следствии 2:<br>1ое2 х = 1ое2&gt; х2 = 1о&amp;4 х2;<br>1о8^3 = 1ое(.Л).33=1ое427.<br>Теперь заданное уравнение можно переписать в более простой форме: 1ое4 х2 + 1о&amp;4х = 1ое427.<br>Далее получаем:<br>1о§4(^х) = 1ог427, 1ое4х3=1ое427, х2 =27, х = 3.<br>Ответ: х = 3.<br>  
  
 А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс    А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс  
Версия 09:25, 8 августа 2010
Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>>Математика: Переход к новому основанию логарифма 

 
§ 53. ПЕРЕХОД К НОВОМУ ОСНОВАНИЮ ЛОГАРИФМА
Логарифмических функций бесконечно много: и т.д. Возникает вопрос,
как они связаны между собой? Есть ли, например, какая-то связь между функциями у=log₂ х и y=log₃ x? На рис. 231 изображены графики функций у=log₂ х и у=log₃ х. Не кажется ли вам, что график первой функции получается из графика второй функции растяжением от оси х с некоторым коэффициентом к >1. Если наше геометрическое наблюдение верно, то должно выполняться равенство: 

Так ли это? На все поставленные вопросы мы ответим в этом параграфе. Теоретической основой для ответа является следующая теорема. 

Теперь нетрудно ответить на поставленный выше вопрос: как связаны между собой различные логарифмические функции? Рассмотрим две логарифмические функции у =log₂ х и у =log₃ х, графики которых изображены на рис. 231. Имеем: 

Таким образом, наша догадка подтвердилась: действительно, справедливо соотношение ; подтвердилась и наша догадка о том, что в данном случае к > 1, поскольку log₂ 3 > 1.
Аналогичные формулы связывают и другие логарифмические функции. Например, справедливы соотношения:



Рассмотрим два важных частных случая формулы перехода к новому основанию логарифма, два следствия из доказанной теоремы.
Следствие 1. Если а и b положительные и отличные от 1 числа, то справедливо равенство:

Доказательство. Положив в формуле (1) с =Ь, получим: 
Следствие 2. Если а и b — положительные числа, причем , то для любого числа  справедливо равенство:

Доказательство. Перейдем в выражении  к логарифмам по основанию а: 
Пример 1. Дано: 
Решение. 

Пример 2. Решить уравнение: 
Решение. Перейдем во всех логарифмах к одному основанию 4. Для этого дважды воспользуемся формулой, доказанной в следствии 2:

Теперь заданное уравнение можно переписать в более простой форме: 

Ответ: х = 3.
 


А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс 

 
_{Материалы по математике онлайн, задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике скачать} 

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников
 
Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 
 
Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки



 
Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам. 
Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.

Источник — «http://edufuture.biz/index.php?title=%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%85%D0%BE%D0%B4_%D0%BA_%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%BC%D1%83_%D0%BE%D1%81%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8E_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%B0»
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 '''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]&gt;&gt;[[Математика|Математика]]&gt;&gt;[[Математика 10 класс|Математика 10 класс]]&gt;&gt;Математика: Переход к новому основанию логарифма<metakeywords>Переход к новому основанию логарифма</metakeywords>'''
 <br>
-'''§ 53. ПЕРЕХОД К НОВОМУ ОСНОВАНИЮ ЛОГАРИФМА'''<br>Логарифмических функций бесконечно много:[[Image:a10245.jpg]] и т.д. Возникает вопрос,<br>как они связаны между собой? Есть ли, например, какая-то связь между функциями у=log<sub>2</sub> х и y=log<sub>3</sub> x? На рис. 231 изображены графики функций у=log<sub>2</sub> х и у=log<sub>3</sub> х. Не кажется ли вам, что график первой функции получается из графика второй функции растяжением от оси х с некоторым коэффициентом к &gt;1. Если наше геометрическое наблюдение верно, то должно выполняться равенство:
+'''§ 53. ПЕРЕХОД К НОВОМУ ОСНОВАНИЮ ЛОГАРИФМА'''<br>Логарифмических функций бесконечно много:[[Image:A10245.jpg]] и т.д. Возникает вопрос,<br>как они связаны между собой? Есть ли, например, какая-то связь между функциями у=log<sub>2</sub> х и y=log<sub>3</sub> x? На рис. 231 изображены графики функций у=log<sub>2</sub> х и у=log<sub>3</sub> х. Не кажется ли вам, что график первой функции получается из графика второй функции растяжением от оси х с некоторым коэффициентом к &gt;1. Если наше геометрическое наблюдение верно, то должно выполняться равенство:
-[[Image:a10246.jpg]]<br>Так ли это? На все поставленные вопросы мы ответим в этом параграфе. Теоретической основой для ответа является следующая теорема.
+[[Image:A10246.jpg]]<br>Так ли это? На все поставленные вопросы мы ответим в этом параграфе. Теоретической основой для ответа является следующая теорема.
+[[Image:A10247.jpg]]<br>Теперь нетрудно ответить на поставленный выше вопрос: как связаны между собой различные логарифмические функции? Рассмотрим две логарифмические функции у =log<sub>2</sub> х и у =log<sub>3</sub> х, графики которых изображены на рис. 231. Имеем:
+[[Image:A10248.jpg]]<br>Таким образом, наша догадка подтвердилась: действительно, справедливо соотношение [[Image:a10249.jpg]]; подтвердилась и наша догадка о том, что в данном случае к &gt; 1, поскольку log<sub>2</sub> 3 &gt; 1.<br>Аналогичные формулы связывают и другие логарифмические функции. Например, справедливы соотношения:<br>
+[[Image:a10250.jpg]]<br>
+Рассмотрим два важных частных случая формулы перехода к новому основанию логарифма, два следствия из доказанной теоремы.<br>'''Следствие 1.''' Если а и b положительные и отличные от 1 числа, то справедливо равенство:
+[[Image:a10251.jpg]]<br>'''Доказательство'''. Положив в формуле (1) с =Ь, получим: [[Image:a10252.jpg]]<br>'''Следствие 2'''. Если а и b — положительные числа, причем [[Image:a10253.jpg]], то для любого числа [[Image:a10254.jpg]] справедливо равенство:
+[[Image:a10255.jpg]]<br>'''Доказательство.''' Перейдем в выражении [[Image:a10256.jpg]] к логарифмам по основанию а: [[Image:a10257.jpg]]<br>'''Пример 1.''' Дано: [[Image:a10258.jpg]]
+'''Решение.'''
+[[Image:a10259.jpg]]<br>'''Пример 2'''. Решить уравнение: [[Image:a10260.jpg]]<br>'''Решение.''' Перейдем во всех логарифмах к одному основанию 4. Для этого дважды воспользуемся формулой, доказанной в следствии 2:
+[[Image:a10261.jpg]]<br>Теперь заданное уравнение можно переписать в более простой форме:
+[[Image:a10262.jpg]]<br>Ответ: х = 3.<br>
-[[Image:a10247.jpg]]<br>Теперь нетрудно ответить на поставленный выше вопрос: как связаны между собой различные логарифмические функции? Рассмотрим две логарифмические функции у =log<sub>2</sub> х и у =log<sub>3</sub> х, графики которых изображены на рис. 231. Имеем:
-[[Image:a10248.jpg]]<br>Таким образом, наша догадка подтвердилась: действительно, справедливо соотношение 1о^2 х = к1о§3 х, где к =1о§2 3; подтвердилась и наша догадка о том, что в данном случае к &gt; 1, поскольку 1О§2 3 &gt; 1.<br>Аналогичные формулы связывают и другие логарифмические функции. Например, справедливы соотношения: 1о§5 х = /г1о§7 х, где к =\о&amp;ь 7;<br>1§ х = к1о§05 х, где к=1&amp;0,5и т.д.<br>Рассмотрим два важных частных случая формулы перехода к новому основанию логарифма, два следствия из доказанной теоремы.<br>Следствие 1. Если аиЪ положительные и отличные от 1 числа, то справедливо равенство:<br>1оеаь= 1 . _д<br>Например, 1о§23=—-—; 1§5 =—-—.<br>1ое3 2&nbsp;&nbsp;&nbsp; \о§б 10<br>Доказательство. Положив в формуле (1) с =Ь, получим: 1° ёаЬ = \<br>_<br>1од„а 1оё„а<br>Следствие 2. Если аиЪ — положительные числа, причем аФ 1, то для любого числа гфО справедливо равенство:<br>1оеаЬ = 1оёа, ьг.<br>Например, 1ое23=1о§22 З2 =10^ 3 1&nbsp;&nbsp;&nbsp; л/Зит.д.<br>Доказательство. Перейдем в выражении 1о§аГЬГ к лога-<br>, .. 1ое„Ьг г\овЬ , рифмам по основанию а: 1о§ г о =——— =—=-2— =1о§ Ь.<br>1о ёааг г<br>Пример 1. Дано: 3 = а, 5 = Ь. Вычислить 1ое215. Решение.<br>1ое 15^15 = М3 5К&nbsp;&nbsp;&nbsp; =а+Ь<br>г 1в2 18(10:5) 1810-185 1-Ь'<br>284<br>&lt;я<br>Пример 2. Решить уравнение: х + х = ^ 3.<br>Решение. Перейдем во всех логарифмах к одному основанию 4. Для этого дважды воспользуемся формулой, доказанной в следствии 2:<br>1ое2 х = 1ое2&gt; х2 = 1о&amp;4 х2;<br>1о8^3 = 1ое(.Л).33=1ое427.<br>Теперь заданное уравнение можно переписать в более простой форме: 1ое4 х2 + 1о&amp;4х = 1ое427.<br>Далее получаем:<br>1о§4(^х) = 1ог427, 1ое4х3=1ое427, х2 =27, х = 3.<br>Ответ: х = 3.<br>
 А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

Авторські права | Privacy Policy |FAQ | Партнери | Контакти | Кейс-уроки

© Автор системы образования 7W и Гипермаркета Знаний - Владимир Спиваковский

При использовании материалов ресурса
ссылка на edufuture.biz обязательна (для интернет ресурсов - гиперссылка).
edufuture.biz 2008-© Все права защищены.
Сайт edufuture.biz является порталом, в котором не предусмотрены темы политики, наркомании, алкоголизма, курения и других "взрослых" тем.

Разработка - Гипермаркет знаний 2008-

Ждем Ваши замечания и предложения на email:
По вопросам рекламы и спонсорства пишите на email: