Версия 09:09, 8 августа 2010

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>>Математика: Переход к новому основанию логарифма

§ 53. ПЕРЕХОД К НОВОМУ ОСНОВАНИЮ ЛОГАРИФМА
Логарифмических функций бесконечно много: и т.д. Возникает вопрос,
как они связаны между собой? Есть ли, например, какая-то связь между функциями у=log₂ х и y=log₃ x? На рис. 231 изображены графики функций у=log₂ х и у=log₃ х. Не кажется ли вам, что график первой функции получается из графика второй функции растяжением от оси х с некоторым коэффициентом к >1. Если наше геометрическое наблюдение верно, то должно выполняться равенство:

Так ли это? На все поставленные вопросы мы ответим в этом параграфе. Теоретической основой для ответа является следующая теорема.

Теперь нетрудно ответить на поставленный выше вопрос: как связаны между собой различные логарифмические функции? Рассмотрим две логарифмические функции у =log₂ х и у =log₃ х, графики которых изображены на рис. 231. Имеем:

Таким образом, наша догадка подтвердилась: действительно, справедливо соотношение 1о^2 х = к1о§3 х, где к =1о§2 3; подтвердилась и наша догадка о том, что в данном случае к > 1, поскольку 1О§2 3 > 1.
Аналогичные формулы связывают и другие логарифмические функции. Например, справедливы соотношения: 1о§5 х = /г1о§7 х, где к =\о&ь 7;
1§ х = к1о§05 х, где к=1&0,5и т.д.
Рассмотрим два важных частных случая формулы перехода к новому основанию логарифма, два следствия из доказанной теоремы.
Следствие 1. Если аиЪ положительные и отличные от 1 числа, то справедливо равенство:
1оеаь= 1 . _д
Например, 1о§23=—-—; 1§5 =—-—.
1ое3 2    \о§б 10
Доказательство. Положив в формуле (1) с =Ь, получим: 1° ёаЬ = \
_
1од„а 1оё„а
Следствие 2. Если аиЪ — положительные числа, причем аФ 1, то для любого числа гфО справедливо равенство:
1оеаЬ = 1оёа, ьг.
Например, 1ое23=1о§22 З2 =10^ 3 1    л/Зит.д.
Доказательство. Перейдем в выражении 1о§аГЬГ к лога-
, .. 1ое„Ьг г\овЬ , рифмам по основанию а: 1о§ г о =——— =—=-2— =1о§ Ь.
1о ёааг г
Пример 1. Дано: 3 = а, 5 = Ь. Вычислить 1ое215. Решение.
1ое 15^15 = М3 5К    =а+Ь
г 1в2 18(10:5) 1810-185 1-Ь'
284
<я
Пример 2. Решить уравнение: х + х = ^ 3.
Решение. Перейдем во всех логарифмах к одному основанию 4. Для этого дважды воспользуемся формулой, доказанной в следствии 2:
1ое2 х = 1ое2> х2 = 1о&4 х2;
1о8^3 = 1ое(.Л).33=1ое427.
Теперь заданное уравнение можно переписать в более простой форме: 1ое4 х2 + 1о&4х = 1ое427.
Далее получаем:
1о§4(^х) = 1ог427, 1ое4х3=1ое427, х2 =27, х = 3.
Ответ: х = 3.

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

_{Материалы по математике онлайн, задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике скачать}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников
 
Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 
 
Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.